数学（理）卷·2018届天津市和平区高三上学期期末考试（2018

数学（理）卷·2018届天津市和平区高三上学期期末考试（2018

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级期末质量调查试卷 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．9 B．5 C．1 D．-5‎ ‎4．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）‎ A．72 B．90 C．101 D．110‎ ‎6．将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相交于点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数若始终存在实数，使得函数的零点不唯一，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．已知是虚数单位，则复数 ．‎ ‎10．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）‎ ‎11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．‎ ‎12．已知，则的最小值为 ．‎ ‎13．已知函数，若，则的值为 ．‎ ‎14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．在中，角所对的边分别是，且.‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的面积.‎ ‎16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.‎ ‎（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎17．如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和.‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：为定值.‎ ‎20．已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在上恒成立；‎ ‎（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.‎ 和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）‎ 期末质量调查试卷参考答案 一、选择题 ‎1-4:CABD 5-8:BDAC 二、填空题 ‎9． 10．60 11．‎ ‎12．-1 13．4 14．480‎ 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 由余弦定理，得 ‎.‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得.‎ ‎∵在中，为锐角，且，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由，及公式，‎ ‎∴的面积.‎ ‎16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，‎ 则事件“甲同学进入复赛的”表示为.‎ ‎∵与互斥，且彼此独立，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 数学期望.‎ ‎17．（Ⅰ）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，‎ 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ 可得，，，，，，.‎ ‎∵平面的一个法向量，，‎ ‎∴，即.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.‎ 由，，得 令，得，，即.‎ 设与平面所成角为，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为.‎ ‎18．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，‎ 由，得，，‎ 由，，得，，‎ ‎∴.‎ ‎∴的通项公式，的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，‎ 故.‎ 则.‎ 令，①‎ 则，②‎ 由②-①，得.‎ ‎∴.‎ ‎19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，‎ 则有.‎ 由，得.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，‎ 则.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，‎ 设直线的斜率为，依题意，‎ 则直线的方程为，直线的方程为.‎ 设，，，，‎ 由得，‎ 则，，‎ ‎.‎ 由整理得，则.‎ ‎.‎ ‎∴.‎ 综合（1）（2），为定值.‎ ‎20．解：（Ⅰ）∵，，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎∵，即，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）证明：设，‎ ‎.‎ 令，则有.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎∴，即在上恒成立.‎ ‎（Ⅲ）设，其中，‎ ‎.‎ 令，则有.‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎∴.‎ ‎，‎ 设，其中，则，‎ ‎∴在内单调递减，，‎ ‎∴，故，而.‎ 结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，‎ ‎∴方程在区间内实根的个数为2.‎