2017-2018学年黑龙江省大庆市东风中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆市东风中学高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省大庆市东风中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分共60分）‎ ‎1．（5分）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 ‎2．（5分）命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题及其真假性为（　　）‎ A．“若x=4，则x2﹣3x﹣4=0”为真命题 B．“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”为假命题 D．“若x=4，则x2﹣3x﹣4=0”为假命题 ‎3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（5分）从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行（见下表），如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为（　　）‎ ‎9264　4607　2021　3920　7766　3817　3256　1640‎ ‎5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814‎ ‎2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815‎ ‎5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702‎ ‎9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488．‎ A．76，63，17，00 B．16，00，02，30 C．17，00，02，25 D．17，00，02，07‎ ‎5．（5分）利用秦九韶算法求多项式7x3+3x2﹣5x+11在x=1时，该多项式的值等于（　　）‎ A．16 B．15 C．18 D．17‎ ‎6．（5分）中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，则分段的间隔为（　　）‎ A．50 B．40 C．16 D．20‎ ‎7．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（　　）‎ A．﹣3 B． C． D．‎ ‎8．（5分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是（　　）‎ A．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定 B．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 C．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定 D．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定 ‎9．（5分）已知集合A={1，m2+1}，B={2，4}，则“m=”是“A∩B={4}”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．（5分）袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，‎ ‎①恰有1个白球和全是白球；‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球；‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球；‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是对立事件的为（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎11．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．6 B．6 C．4 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：　 　．‎ ‎14．（5分）已知x、y的取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=　 　．‎ ‎15．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0上的点到直线x﹣y=1的最大距离为　 　．‎ ‎16．（5分）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的中位数是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p∧q为真命题，求实数c的取值范围．‎ ‎18．（12分）判断直线y=2x+3和圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系？如果相交，求弦长．‎ ‎19．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中x的值；‎ ‎（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．‎ ‎（1）求证：CD∥平面PAB；‎ ‎（2）求证：PE⊥AD．‎ ‎21．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）求回归直线方程=x+，其中=﹣20，=﹣‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）‎ ‎22．（12分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早5分钟到校的概率．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年黑龙江省大庆市东风中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分共60分）‎ ‎1．（5分）某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（　　）‎ A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法 ‎【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 ‎【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：400=5：4，所抽取的比例也是5：4．‎ 故选D ‎【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题及其真假性为（　　）‎ A．“若x=4，则x2﹣3x﹣4=0”为真命题 B．“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”为假命题 D．“若x=4，则x2﹣3x﹣4=0”为假命题 ‎【分析】直接写出命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题并判断真假得答案．‎ ‎【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，是假命题，‎ 如x=﹣1≠4，有x2﹣3x﹣4=0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题的逆否命题，考查命题的真假判断，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=10，i=0‎ i=1，S=9‎ 不满足条件S≤1，i=2，S=7‎ 不满足条件S≤1，i=3，S=4‎ 不满足条件S≤1，i=4，S=0‎ 满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）从30个个体中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行（见下表），如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为（　　）‎ ‎9264　4607　2021　3920　7766　3817　3256　1640‎ ‎5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814‎ ‎2889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 3815‎ ‎5131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 2702‎ ‎9055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488．‎ A．76，63，17，00 B．16，00，02，30 C．17，00，02，25 D．17，00，02，07‎ ‎【分析】利用随机数表法直接求解．‎ ‎【解答】解：某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，‎ 选取的前4个的号码分别为：17，00，02，07．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查样本号码的求法，考查随机数表法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）利用秦九韶算法求多项式7x3+3x2﹣5x+11在x=1时，该多项式的值等于（　　）‎ A．16 B．15 C．18 D．17‎ ‎【分析】由于函数f（x）=7x3+3x2﹣5x+11=（（（7x+3）x﹣5）x+11，当x=1时，分别算出v0=7，v1=7×1+3=10，v2=5，v3=11，即可得出．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=7x3+3x2﹣5x+11=（（（7x+3）x﹣5）x+11，‎ 当x=1时，分别算出v0=7，‎ v1=7×1+3=10，‎ v2=5，‎ v3=11，‎ 当x=1时，则f（x）=16‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，则分段的间隔为（　　）‎ A．50 B．40 C．16 D．20‎ ‎【分析】利用系统抽样性质直接求解．‎ ‎【解答】解：中学采用系统抽样方法，‎ 从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，‎ 则分段的间隔为：=16．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抽样间隔的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（　　）‎ A．﹣3 B． C． D．‎ ‎【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，由几何意义可得．‎ ‎【解答】解：由题意作出其平面区域，‎ 将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，‎ 由解得，‎ E（，﹣）；‎ 此时z=x﹣2y有最大值+2×=；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时注意几何意义的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x甲、x乙，则下列判断正确的是（　　）‎ A．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定 B．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 C．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定 D．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定 ‎【分析】根据平均数的公式进行计算，结合数据分布情况判断稳定性．‎ ‎【解答】解：由茎叶图知x甲=（77+76+88+90+94）=，‎ x乙=（75+86+88+88+93）=，‎ 所以x甲＜x乙；‎ 又乙的成绩主要集中在88附近，而甲的成绩分散些，‎ 所以乙比甲的成绩稳定．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求平均数和判断数据的稳定性问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知集合A={1，m2+1}，B={2，4}，则“m=”是“A∩B={4}”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合集合关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若A∩B={4}，则m2+1=4，即m2=3，解得m=或m=﹣，‎ 故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，‎ ‎①恰有1个白球和全是白球；‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球；‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球；‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球．‎ 在上述事件中，是对立事件的为（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【分析】从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，进而可分析四个事件的关系；‎ ‎【解答】解：从白球3个，黑球4个中任取3个，共有四种可能，全是白球，两白一黑，一白两黑和全是黑球，故 ‎①恰有1个白球和全是白球，是互斥事件，但不是对立事件，‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球是对立事件；‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件，‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查互斥事件和对立事件的关系，对于题目中出现的两个事件，观察两个事件之间的关系，这是解决概率问题一定要分析的问题，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+‎ ‎（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴k=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）‎ A．6 B．6 C．4 D．4‎ ‎【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，‎ ‎∴．AC==6，AD=4，‎ 显然AC最长．长为6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．（5分）把二进制数110011（2）化为十进制数是：　51　．‎ ‎【分析】根据所给的二进制的数字，写出用二进制的数字的最后一位乘以2的0次方，倒数第二位乘以2的1次方，以此类推，写出后相加得到结果．‎ ‎【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51‎ 故答案为：51‎ ‎【点评】本题考查进位制之间的转化，本题解题的关键是用二进制的最后一位乘以2的0次方，注意这里的数字不用出错．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知x、y的取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为=0.95x+a，则a=　2.6　．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．‎ ‎【解答】解：点在回归直线上，‎ 计算得；‎ 代入得a=2.6；‎ 故答案为2.6．‎ ‎【点评】统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）圆x2+y2﹣2x+4y+3=0上的点到直线x﹣y=1的最大距离为　2　．‎ ‎【分析】圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心（1，﹣2），半径r=，圆心（1，2）到直线的距离d==，圆x2+y2﹣2x+4y+3=0上的点到直线x﹣y=1的最大距离为：d+r．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+3=0的圆心（1，﹣2），半径r==，‎ 圆心（1，2）到直线的距离d==，‎ ‎∴圆x2+y2﹣2x+4y+3=0上的点到直线x﹣y=1的最大距离为：d+r==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查圆上的点到直线的距离的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的中位数是　13　．‎ ‎【分析】由题设条件，一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，设出公差为d，用公差与与a3=8表示出a1，a7再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的中位数．‎ ‎【解答】解：设公差为d，由a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，‎ 可得64=（8﹣2d）（8+4d）=64+16d﹣8d2，‎ 即0=16d﹣8d2，又公差不为0，解得d=2‎ 此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，‎ 故样本的中位数是：=13．‎ 故答案为：13．‎ ‎【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是根据题设中数列的性质建立方程求出数列的各项，即求出样本数据，再由中位数的求法求出即可．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（10分）已知命题p：函数y=（c﹣1）x+1在R上单调递增；命题q：不等式x2﹣x+c≤0的解集是∅．若p∧q为真命题，求实数c的取值范围．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的c的范围，根据p∧q为真命题取交集即可．‎ ‎【解答】解：若命题p是真命题，‎ 则c﹣1＞0，c＞1；‎ 若命题q是真命题，则△=1﹣4c＜0，c＞．‎ 因此，由p∧q是真命题得即c＞1，‎ 即实数c的取值范围是（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断，考查一次、二次不等式，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）判断直线y=2x+3和圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系？如果相交，求弦长．‎ ‎【分析】直接利用点到直线的距离公式求出直线和远的位置关系为相交，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎【解答】解：圆的方程可化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，‎ 故圆心为（3，4），半径r=5．‎ 又直线方程为2x﹣y+3=0，‎ 所以圆心到直线的距离为d==，‎ 所以弦长为2=2×=4．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．‎ ‎（Ⅰ）求直方图中x的值；‎ ‎（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？‎ ‎【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．‎ ‎（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．‎ ‎【解答】（本小题10分）‎ 解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得 ‎（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1‎ 得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）‎ 因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，‎ 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5‎ 得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）‎ ‎（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，‎ 月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，‎ 月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）‎ 抽取比例==，‎ 所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点．‎ ‎（1）求证：CD∥平面PAB；‎ ‎（2）求证：PE⊥AD．‎ ‎【分析】（1）由已知CD∥AB，由此能证明CD∥平面PAB．‎ ‎（2）推导出PE⊥AB，从而PE⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥AD．‎ ‎【解答】证明：（1）∵底面ABCD是菱形，‎ ‎∴CD∥AB．（2分）‎ 又∵CD⊄平面PAB，（4分）‎ 且AB⊂平面PAB，‎ ‎∴CD∥平面PAB．（5分）‎ ‎（2）∵PA=PB，点E是AB的中点，‎ ‎∴PE⊥AB．（6分）‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABCD，‎ 平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，（8分）‎ ‎∴PE⊥平面ABCD．（9分）‎ ‎∵AD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PE⊥AD．（10分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ ‎（1）求回归直线方程=x+，其中=﹣20，=﹣‎ ‎（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）‎ ‎【分析】（1）利用回归直线过样本的中心点（，），即可求出回归直线方程；‎ ‎（2）设工厂获得利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数关系，用配方法求出工厂获得的最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，=（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，‎ ‎=（90+84+83+80+75+68）=80；‎ ‎∵y=x+，=﹣20‎ ‎∴80=﹣20×8.5+，‎ ‎∴=250‎ ‎∴=﹣20x+250．‎ ‎（2）设工厂获得的利润为L元，则 L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20+361.25，‎ ‎∴该产品的单价应定为元时，工厂获得的利润最大．‎ ‎【点评】本题考查了回归分析，考查了二次函数的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早5分钟到校的概率．‎ ‎【分析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，由题意可画出图形，利用测度比为面积比得答案．‎ ‎【解答】解：设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，由题意可画出图形，‎ 则总事件所占的面积为（50﹣30）2=400．‎ 小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={（x，y）|y﹣x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，‎ 如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15=，‎ ‎∴小张比小王至少早5分钟到校的概率为P（A）==．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎