数学理·贵州省遵义市2017届高三上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析]

数学理·贵州省遵义市2017届高三上学期期中数学试卷（理科）+Word版含解析]

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）‎ ‎1．已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（2，6） B．（2，7） C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）‎ ‎2．已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i ‎3．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（　　）‎ A．0116 B．0927 C．0834 D．0726‎ ‎4．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（　　）‎ A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x3‎ ‎5．已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（　　）‎ A．100° B．160° C．100°或160° D．130°‎ ‎6．已知，给出下列四个结论：‎ ‎①a＜b ‎②a+b＜ab ‎③|a|＞|b|‎ ‎④ab＜b2‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．②④ C．②③ D．③④‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．7或8‎ ‎9．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 B．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 C．为a1，a2，…，an的算术平均数 D．A+B为a1，a2，…，an的和 ‎10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎12．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）‎ ‎13．已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为　　．‎ ‎14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为　　．‎ ‎15．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是　　m．‎ ‎16．已知平面α截一球面得圆M，过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（1）求乙厂生产的产品数量：‎ ‎（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：AB⊥BC；‎ ‎（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：‎ ‎（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．‎ ‎（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；‎ ‎（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省遵义市高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.（请把所选答案填涂在答题卡上的相应表格内）‎ ‎1．已知集合A={x|﹣3＜x＜6}，B={x|2＜x＜7}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．（2，6） B．（2，7） C．（﹣3，2] D．（﹣3，2）‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】求出B的补集，从而求出其和A的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵B={x|2＜x＜7}，‎ ‎∴∁RB）={x|x≤2或x≥7}，‎ ‎∴A∩（∁RB）=（﹣3，2]，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=a+i，若z+=4，则复数z的共轭复数=（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i ‎【考点】复数代数形式的加减运算．‎ ‎【分析】利用复数的加法的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z=a+i，若z+=4，‎ 可得a+i+a﹣i=4，可得a=2．‎ 则复数z的共轭复数=2﹣i．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．某年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，…，1000，现用系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（　　）‎ A．0116 B．0927 C．0834 D．0726‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为1000÷200=5，‎ 因为122÷5=24余2，故抽取的余数应该是2的号码，‎ ‎116÷5=23余1，927÷5=185余2，834÷5=166余4，726÷5=145余1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（　　）‎ A．y=﹣2x+1 B．y= C．y=lgx D．y=x3‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】分别判断给定四个函数的单调性，可得答案．‎ ‎【解答】解：函数y=﹣2x+1，则y′=﹣2，在定义域上单调递减；‎ 函数，则y′=﹣，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是单调函数；‎ 函数y=lgx，则y′=＞0恒成立，在定义域上单调递增；‎ 函数y=x3，则y′=3x2≥0恒成立，在定义域上单调递增；‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知倾斜角为α的直线l过x轴上一点A（非坐标原点O），直线l上有一点P（cos130°，sin50°），且∠APO=30°，则α等于（　　）‎ A．100° B．160° C．100°或160° D．130°‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】设OP与x轴的负半轴的夹角为β，利用任意角的三角函数的定义可求β，分类讨论，利用三角形内角和定理即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，设OP与x轴的负半轴的夹角为β，‎ ‎∵由已知可得：P（﹣cos50°，sin50°），‎ ‎∴tanβ=||=tan50°，可得：β=50°，‎ ‎∴当A点在x轴正半轴时，α=180°﹣（50°﹣30°）=160°，‎ 当A点在x轴负半轴时，α=180°﹣50°﹣30°=100°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知，给出下列四个结论：‎ ‎①a＜b ‎②a+b＜ab ‎③|a|＞|b|‎ ‎④ab＜b2‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．②④ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由条件可b＜a＜0，然后根据不等式的性质分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵，∴b＜a＜0．‎ ‎①a＜b，错误．‎ ‎②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．‎ ‎③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．‎ ‎④ab﹣b2=b（a﹣b），∵b＜a＜0，‎ ‎∴a﹣b＞0，即ab﹣b2=b（a﹣b）＜0，‎ ‎∴ab＜b2成立．‎ ‎∴正确的是②④．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知可得：几何体为三棱柱，求出底面面积，周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得：几何体为三棱柱，‎ 底面是斜边长为4，斜边上的高为的直角三角形，‎ 底面面积为：2，底面周长为：6+2，‎ 棱柱的高为4，‎ 故棱柱的表面积S=2×2+4×（6+2）=24+12，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n（n∈N*）年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．7或8‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设该设备第n年的营运费为an万元，则数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an=3n﹣1，‎ 则该设备使用了n年的营运费用总和为Tn==n2+n，‎ 设第n年的盈利总额为Sn，则Sn=21n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+n﹣9，‎ ‎∴由二次函数的性质可知：n=时，Sn取得最大值，‎ ‎∵n∈N*，故当n=7时，Sn取得最大值，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 B．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 C．为a1，a2，…，an的算术平均数 D．A+B为a1，a2，…，an的和 ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，‎ 可知：该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2=25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，‎ 则a2+（a+1）2=25，a＞0．‎ 解得a=3．‎ ‎∴sinθ=，cos．‎ ‎∴sin2θ==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，建立方程组，求出a，b，即可求出该双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，，‎ 解的b=2，a=2，‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义域为R的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意x∈[0，+∞），均满足：xf'（x）＞﹣2f（x）．若g（x）=x2f（x），则不等式g（2x）＜g（1﹣x）的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B． C． D．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由题意和乘积的导数可得偶函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为|2x|＜|1﹣x，解之可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的偶函数，‎ ‎∵xf'（x）＞﹣2f（x），x2f′（x）+2xf（x）＞0，‎ ‎∴g′（x）=（x2f（x））′=2xf（x）+x2f′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）=x2f（x）在[0，+∞）R上单调递增，‎ ‎∵不等式g（2x）＜g（1﹣x），‎ ‎∴|2x|＜|1﹣x|，‎ 即（x+1）（3x﹣1）＜0，‎ 解得﹣1＜x＜‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（请把答案填在答题卡内的相应横线上）‎ ‎13．已知x，y满足，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为　﹣3　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出可行域，利用目标函数等于直线在y轴的截距最大值求z 的最大值．‎ ‎【解答】解：x，y满足的平面区域如图：‎ 当直线y=2x+z经过图中的A时，‎ z最大，由得到A（3，3），所以z=﹣2×3+3=﹣3；‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎14．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为　40　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a的值来，然后再由规律求出常数项 ‎【解答】解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，‎ 所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为 由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40‎ 故答案为40‎ ‎　‎ ‎15．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量的看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10cm，则旗杆的高CD的长是　　m．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得AD，进而可得CD．‎ ‎【解答】解：如图所示，依题意可知∠AED=45°，‎ ‎∠EAD=180°﹣60°﹣15°=105°‎ ‎∴∠EDA=180°﹣45°﹣105°=30°‎ 由正弦定理可知AD==米 ‎∴在Rt△ADC中，‎ CD=ACDsin∠DAC=×=m，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎16．已知平面α截一球面得圆M，过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°，平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为　　．‎ ‎【考点】球面距离及相关计算．‎ ‎【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．‎ ‎【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．‎ ‎∵圆M的面积为4π，‎ ‎∴圆M的半径为2．‎ 根据勾股定理可知OM=2，‎ ‎∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，‎ ‎∴∠OMN=30°，‎ 在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a2=3，且a1、a3、a7成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{an}的前n项和为Sn，记bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，即可得到数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）利用等差数列的求和公式求得S3n，然后利用裂项相消法求和即可．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公差为d，依题意得，‎ 解得，‎ 所以an=2+（n﹣1）×1=n+1；‎ ‎（2）由（1）知，等差数列{an}的首项是2，公差是1，‎ 则S3n=3n×2+=，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎　‎ ‎18．2016年巴西奥运会的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品共98件中分别抽取9件和5件，测量产品中的微量元素的含量（单位：毫克）．下表是从乙厂抽取的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（1）求乙厂生产的产品数量：‎ ‎（2）当产品中的微量元素x、y满足：x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量：‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由分层抽样性质能求出乙厂生产的产品总数．‎ ‎（2）样品中优等品的频率为，由此能求出乙厂生产的优等品的数量．‎ ‎（3）由题意ξ=0，1，2，，由此能求出ξ的分布列和均值．‎ ‎【解答】解：（1）乙厂生产的产品总数为：‎ ‎；…‎ ‎（2）样品中优等品的频率为，‎ 乙厂生产的优等品的数量为；…‎ ‎（3）ξ=0，1，2.，‎ P（ξ=0）==，‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，…‎ ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…‎ 均值…‎ ‎　‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：AB⊥BC；‎ ‎（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．‎ ‎（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…‎ 因AA1=AB，则AD⊥A1B…‎ 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，‎ 且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…‎ 得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，‎ 所以AD⊥BC．…‎ 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，‎ 则AA1⊥底面ABC，‎ 所以AA1⊥BC．‎ 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，‎ 又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…‎ ‎（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，‎ 则CD是AC在平面A1BC内的射影 ‎∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…‎ 在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点 ‎∴，且，‎ ‎∴…‎ 过点A作AE⊥A1C于点E，连DE 由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A ‎∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…‎ 且直角△A1AC中：‎ 又，‎ ‎∴，‎ 且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角 ‎∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C： =1（a＞b＞0），离心率为，两焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题得：，4a=8，所以a=2，． …‎ 又b2=a2﹣c2，所以b=1即椭圆C的方程为．…‎ ‎（2）由题意知，|m|≥1．‎ 当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为，‎ 此时； 当m=﹣1时，同理可得…‎ 当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0）‎ 由 设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），‎ 则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0‎ 又由l与圆．得 所以==…‎ 因为|m|≥1所以，‎ 且当时，|AB|=2，‎ 由于当m=±1时，，所以|AB|的最大值为2．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=．‎ ‎（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程和函数f（x）的极值：‎ ‎（2）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；‎ ‎（2）对a讨论，若a＜1，若a≥1，讨论f（x1）﹣f（x2）的最值或范围，即可得到所求a的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）因为，所以f'（0）=﹣2，‎ 因为f（0）=1，‎ 所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y﹣1=0…‎ 由解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：‎ x ‎（﹣∞，2）‎ ‎2‎ ‎（2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 递减 极小值 递增 所以函数f（x）在x=2时，取得极小值…‎ ‎（2）由题设知：当x＞1时，，当x＜1时，，‎ 若a＜1，令x1=2，x2∈[a，1），则x1，x2∈[a，+∞），‎ 由于，显然不符合题设要求…‎ 若a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），f（x1）≤0，f（x2）≤0，‎ 由于，‎ 显然，当a≥1，对∀x1，x2∈[a，+∞），不等式恒成立，‎ 综上可知，a的最小值为1…‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．‎ ‎（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2的方程，然后写出曲线C2的参数方程；‎ ‎（2）设出曲线C2上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0，‎ 因为曲线C2的直角坐标方程为：．‎ ‎∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．‎ ‎（2）设P的坐标（），则点P到直线l的距离为：‎ ‎=，‎ ‎∴当sin（60°﹣θ）=﹣1时，点P（），‎ 此时．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．‎ ‎（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；‎ ‎（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，‎ ‎∴T=（﹣∞，1]；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，‎ 不等式•≥t恒成立，‎ 只需•≥tmax，‎ 所以•≥1，‎ 又因为m＞1，n＞1，‎ 所以＞0，＞0，‎ 又1≤•≤=（=时取“=”），‎ 所以≥4，‎ 所以≥2，mn≥9，‎ 所以m+n≥2≥6，‎ 即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．‎ ‎　‎ ‎2016年12月1日