数学文卷·2018届广西钦州市高三上学期第一次质量检测（2017

数学文卷·2018届广西钦州市高三上学期第一次质量检测（2017

钦州市2018届高三第一次质量检测 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（ ）‎ A． B．2 C．4 D．8‎ ‎3．命题，则的否定是（ ）‎ A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 ‎4．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（ ）‎ A．2 B．0 C． D．‎ ‎5．若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A．1007 B．3025 C．2017 D．3024‎ ‎7．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）‎ A．1.3日 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日 ‎10．已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知（，为正实数），则的最小值为 ．‎ ‎14．若，满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15．数列的前项和满足，若，则数列的前10项和 ．‎ ‎16．在锐角三角形中，若，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.‎ ‎18．某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据，结果统计如下：‎ API 大于300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元），空气质量指数API为.在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元.‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.32‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.84‎ ‎5.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.82‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎19．在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20．已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于，两点，若存在点使为等边三角形，求直线的方程.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当，且时，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 钦州市2018届高三第一次质量检测 文科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCDCD 6-10:BCCCC 11、12：AC 二、填空题 ‎13． 14．0 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：化简可得：.‎ ‎（1）由，.‎ 得：.‎ ‎∴函数的单调增区间为，.‎ ‎（2）∵，即.‎ ‎∴.‎ 可得，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 由，且的面积为，即.‎ ‎∴.‎ 由余弦定理可得：.‎ ‎∴.‎ ‎18．解：（1）.‎ ‎（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于200元且不超过600元”为事件.‎ 由，得，频数为39，所以.‎ ‎（3）根据以上数据得到如下列联表：‎ 的观测值.‎ 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.‎ ‎19．解：（1）∵，且为的中点.‎ ‎∴.‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ 且平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ 即到平面的距离等于到平面的距离.‎ 由（1）知平面且.‎ ‎∴三棱锥的体积：‎ ‎.‎ ‎20．解：（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以，①‎ 由椭圆的通径，②‎ 解得：，.‎ ‎∴椭圆的标准方程：.‎ ‎（2）设直线：，，.‎ 易知：时，不满足，故，‎ 则，整理得：，‎ 显然，‎ ‎∴，，‎ 于是.‎ 故的中点.‎ 由为等边三角形，‎ 则.‎ 连接则，‎ 即，整理得，‎ 则，‎ 由为等边三角形，则，.‎ ‎∴.‎ 整理得：,‎ 即，解得：，则，‎ ‎∴直线的方程，即.‎ ‎21．解：（1）的定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ ‎∴单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 故，（）.‎ 由（），‎ 得，即.‎ 要证，需证，‎ 即证.‎ 设（），则要证（）.‎ 令.‎ 则.‎ ‎∴在上单调递增，则.‎ 即.‎ 故.‎ ‎22．解：（1）曲线的极坐标方程为：，‎ 即，‎ 化为直角坐标方程：.‎ 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线：.‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，‎ 展开可得：.‎ 可得直角坐标方程：.‎ 可得参数方程：（为参数）.‎ 代入曲线的直角坐标方程可得：.‎ 解得，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎23．解：（1）当时，解得.‎ 当时，无解，‎ 当时，解得.‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎（2）由已知恒成立.‎ ‎∴恒成立.‎ 又.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴时，不等式恒成立.‎