2019-2020学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期中数学（文）试题（解析版）

2019-2020 学年黑龙江省大庆市大庆中学高一上学期期中数 学（文）试题 一、单选题 1．设函数 24y x  的定义域 A ，函数 y=ln(1-x)的定义域为 B ,则 A B = A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1) 【答案】D 【解析】由 24 0x  得 2 2x   ，由1 0x  得 1x  ， 故 A B={ | 2 2} { | 1} { | 2 1}x x x x x x          ，选 D. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦 恩图进行处理. 2．幂函数  f x 的图象过点 (2, 2) ，则 1 2f      （ ） A． 2 B．4 C． 2 2 D． 1 4 【答案】C 【解析】设出幂函数解析式,代入所过点的坐标.求得解析式,即可求得 1 2f      的值. 【详解】 因为  f x 为幂函数 所以设  f x x 因为  f x 的图象过点 (2, 2) 代入可得 2 2 解得 1 2   所以   1 2f x x 则 1 21 2 22 2 1f           故选:C 【点睛】 本题考查了幂函数解析式的求法,求函数值,属于基础题. 3．实数集 R ，设集合  2| 4 3 0P x x x    ，  2| 4 0Q x x   ，则  RP C Q = （ ） A． 2,3 B． 1,3 C． 2,3 D．   , 2 1,    【答案】D 【解析】因为 { |1 3}, { | 2 2}P x x Q x x       ，所以 { | 2RC Q x x   或 2}x  ，则 ( ) { | 2RP C Q x x    或 1}x ≥ ，应选答案 D． 4．若偶函数  f x 在区间 ( ]1 ， 上是增函数，则( ) A． 3 ( 1) (2)2f f f       B． 3( 1) (2)2f f f       C． 3(2) ( 1) 2f f f        D． 3(2) ( 1)2f f f       【答案】D 【解析】函数  f x 为偶函数，则    f x f x  则    2 2f f  ，再结合  f x 在 ( ]1 ， 上是增函数，即可进行判断. 【详解】 函数  f x 为偶函数,则    2 2f f  . 又函数  f x 在区间 ( ]1 ， 上是增函数. 则    3 122f f f        ，即    32 12f f f       故选：D. 【点睛】 本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题. 5．函数      log 2 3 4 1af x x a o a    且 的图象恒过定点（ ） A． 1,0 B． 1, 4 C． 2,0 D． 2, 4 【答案】D 【解析】令 2x-3=1 得 x=2, (2) log 1 4 4af     ,故  f x 过点 2, 4 , 故选 D． 6．若集合 {1,2,3,4,5}A  ,集合   | 4 0B x x x   ,则图中阴影部分表示  A． 1,2 ,3,4 B． 1,2,3 C． 4,5 D． 1,4 【答案】A 【解析】将阴影部分对应的集合 A B、 的运算表示出来，然后根据集合 A B、 表示元素的范 围计算结果. 【详解】 因为阴影部分是：  RA C B ； 又因为  4 0x x  ，所以 4x  或 0x  ，所以  4B x x 或 0x  ，所以  | 0 4RC B x x   ，又因为 {1,2,3,4,5}A  ，所以    1,2,3,4RA C B  ， 故选：A. 【点睛】 本题考查根据已知集合计算Venn 图所表示的集合，难度较易.对于Venn 图中的阴影部 分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值. 7．函数   1(xf x a b   其中 0 1a  且 0 1)b  的图象一定不经过  A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由 0 1a  可得函数 xy a 的图象单调递减，且过第一、二象限， 0 1 1 1 0 0 1 1b b b          ， ， ， xy a 的图象向下平移1 b 个单位即可得到 1xy a b   的图象， xy a b   的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限， 故选 C． 8．已知 a=21.3，b=40.7，c=log38，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A． a c b  B．b c a  C． c a b  D． c b a  【答案】C 【解析】利用指数函数 2xy  与对数函数 3logy x 的性质即可比较 a，b，c 的大小． 【详解】 1.3 0.7 1.4 38 2 2 4 2c log a b      ， c a b   ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．函数  f x 的递增区间是 2,3 ，则函数  5y f x  的递增区间是（ ） A． 3,8 B． 7, 2  C． 2,3 D． 0,5 【答案】B 【解析】函数  5y f x  是函数  f x 向左平移 5 个单位得到的，利用函数  f x 在 区间 2,3 是增函，即可得到结论． 【详解】 解：函数  5y f x  是函数  f x 向左平移 5 个单位得到的， ∵函数  f x 在区间 2,3 上是增函数， ∴  5y f x  增区间为  2,3 向左平移 5 个单位，即增区间为 7, 2  ， 故选 B． 【点睛】 本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题． 10．函数  1 xxay ax   的图形大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】按 x 的正负分类讨论，结合指数函数图象确定结论． 【详解】 由题意 , 0 , 0 x x a xy a x     ，∵ 1a  ，∴只有 C 符合． 故选：C． 【点睛】 本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数的图象，这类问题可先化简函数式， 然后结合基本初等函数的图象与性质确定结论． 11．已知函数  2 2( ) log 3f x x ax a   在[2, ) 上是增函数，则 a 的取值范围是 （ ） A． ( ,4] B． ( ,2] C． ( 4,4] D． ( 4,2] 【答案】C 【解析】若函数 f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则 x2﹣ax+3a＞0 且 f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于 a 的不等式，解不等式即可得到 a 的取值范围． 【详解】 若函数 f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数， 则当 x∈[2，+∞）时， x2﹣ax+3a＞0 且函数 f（x）=x2﹣ax+3a 为增函数 即 22 a  ，f（2）=4+a＞0 解得﹣4＜a≤4 故选 C． 【点睛】 本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中 根据复合函数的单调性，构造关于 a 的不等式，是解答本题的关键． 12．已知函数 | lg |, 0( ) ( 4), 0 x xf x x x x     ，则函数   3y f x  的零点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由 ( ) 3 0y f x   ，得 ( ) 3f x  ，分别作出函数 ( )f x 和 3y  的图象，利用数 形结合即可得到结论． 【详解】 解：由 ( ) 3 0y f x   ，得 ( ) 3f x  ，分别作出函数 ( )f x 和 3y  的图象如图， 则由图象可知 ( ) 3f x  有 4 个不同的交点， 即函数 ( ) 3y f x  的零点的个数为 4 个． 故选： D 【点睛】 本题主要考查主要考查函数零点的个数的判断，利用函数零点的定义可以直接求解，也 可以利用数形结合来求解，属于基础题． 二、填空题 13．已知   22 1f x x x   ，则  5f  __________． 【答案】6 【解析】令 2 1 5x   ，求出 x ，代入条件即可. 【详解】 解：令 2 1 5x   ，得 2x  ，   25 2 2 6f    ， 故答案为：6. 【点睛】 本题考查已知解析式求函数值，是基础题. 14．计算： 10 22 93 ( 4 25)3 4 lg lg              的值是__________． 【答案】5. 【解析】利用指数的运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可. 【详解】   10 22 93 4 253 4 lg lg               21 3 lg 4 253      1 2 2   5 . 故答案为 5. 【点睛】 本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性 质及运算法则的合理运用. 15．函数     2 1( 2) 1 2 ax x xf x x x        是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是 ______ . 【答案】 1, 2      【解析】根据函数单调性定义，即可求得实数 a 的取值范围． 【详解】 因为函数     2 1( 2) 1 2 ax x xf x x x        是 R 上的单调递减函数 所以满足 0 1 22 4 2 1 2 1 a a a           解不等式组可得 1 2a   即 1, 2a       所以选 A 【点睛】 本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题． 16．设 2 5a b m  ,且 1 1 2a b   ,则 m  ______. 【答案】 10 【解析】变换得到 2loga m ， 5logb m ，代入化简得到 1 1 log 10 2ma b    ，得到 答案. 【详解】 2 5a b m  ，则 2loga m ， 5logb m ， 故 1 1 log 2 log 5 log 10 2, 10m m m ma b        . 故答案为： 10 . 【点睛】 本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力. 三、解答题 17．集合 A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7} （1）求 A∩B, A∪B （2）（∁ RA）∩B． 【答案】（1）  | 2 5A B x x     A∪B={x|-3≤x＜7}；（2）（∁ RA）∩B={x|5≤x＜ 7} 【解析】试题分析：利用数轴进行集合间的交并补运算. 试题解析： （1）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}， ∴  | 2 5A B x x     A∪B={x|-3≤x＜7}； （2）∵A={x|-3≤x＜5}，B={x|-2＜x＜7}， ∴∁ RA={x|x＜-3 或 x≥5} 则（∁ RA）∩B={x|5≤x＜7} 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行 集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离 散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 18．计算下列各题： （1）    32 26 527 32 2   ； （2） 21 log 3 2 2log 56 log 7 ln 2e    . 【答案】（1）13；（2） 19 2 . 【解析】（1）利用指数幂的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】 解：（1）     32 326 3 5527 32 2 27 32 2 3 8 2 13          ； （2） 2 2 1 1 log 3 log 32 2 2 2 56 1 19log 56 log 7 ln 2 log ln 2 2 3 67 2 2e e           . 【点睛】 本题考查指数幂和对数的运算性质，是基础题. 19．设 a 是实数，函数    2 2 1xf x a x R   . （1）若已知 1,2 为该函数图像上一点，求 a 的值； （2）证明：对于任意  ,a f x 在 R 上为增函数. 【答案】（1） 8 3 ；（2）证明见解析. 【解析】（1）代入点 1,2 计算即可求出 a ； （2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先任取两个值 1 2x x， 后进行作差变形， 确定符号，最后下结论即可． 【详解】 （1）  1,2 为该函数图象上一点， 22 3a   8 3a  （2）证明：设任意 1 2 1 2x x R x x ， ， ， 则    1 2f x f x  1 2 2 2 2 1 2 1x xa a             ， 2 1 2 2 2 1 2 1x x        1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x x x x      指数函数 2xy  在 R 上是增函数，且 1 2x x ， 1 22 2x x  ，即 1 22 2 0x x  ， 又由 2 0x＞ ，得 12 1 0x   ， 22 1 0x      1 2 0f x f x   ，即    1 2f x f x ， 对于任意  ,a f x 在 R 上为增函数. 【点睛】 本题考查了函数值，通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数 单调性的知识，属于基础题. 20．已知对数函数  y f x 的图象经过点 1 ,38      . （1）求  f x 的解析式； （2）若   1f x  ，求 x 的取值范围. 【答案】（1）   1 2 logf x x （2） 10, 2x     【解析】（1）可设 ( ) logaf x x ，由函数 ( )f x 的图象经过点 1 ,38      ，可求 a ，进而可 求函数解析式； （2）因为 ( ) 1f x  ，结合对数函数的单调性可求 x ． 【详解】 解：（1）设   logaf x x （其中 0a  且 1a  ）， 因为函数  f x 的图象经过点 1 ,38      ， 所以 1log 38a  ， 解得 1 2a  ， 所以函数解析式为   1 2 logf x x ； （2）因为   1f x  ，所以 1 2 log 1x  ， 即 1 1 2 2 1log log 2x  ， 因为   1 2 logf x x 在 0,  上单调递减， 所以 1 2x  ， 因为 0x  ， 所以 10, 2x     【点睛】 本题考查待定系数法求对数函数解析式的求解，及对数函数的单调性在解不等式中的应 用，属于基础题． 21．已知二次函数  f x 的最小值为1，且    0 2 3f f  . （1）若  f x 在区间 2 , 1a a  上不单调，求 a 的取值范围； （2）求  f x 在区间 1,m 上的值域. 【答案】（1） 10 2a  ；（2）当 1 1m   时，值域为 22 4 3,9m m    ；当1 3m  时，值域为 1,9 ；当 3m  时，值域为 21,2 4 3m m    ． 【解析】由题意可得  f x 在 1x  时，取得最小值 1，设二次函数    21 1f x t x   ， 代入 0, 3x y  ，即可得到  f x 的解析式； （1）由对称轴 1x  ，可得 2 1 1a a   ，解不等式即可得到所求范围； （2）讨论对称轴和区间的关系，结合单调性求得最值，即可得到所求值域； 【详解】 由    0 2f f 可知二次函数  f x 的对称轴为 1x  ，又其最小值为1， 则可设二次函数    21 1f x t x   ， 又    0 3, 0 1 3f f t     ， 2 2( ) 2( 1) 1 2 4 3f x x x x       ． 即   22 4 3f x x x   ； （1）由函数  f x 在区间 2 , 1a a  上不单调， 所以 2 1 1a a   ， 解得 10 2a  ； （2）当 1 1m   时，        2 min max2 4 3, 1 2 4 3 9f x f m m m f x f          ， 此时函数值域为 22 4 3,9m m    ； 当1 3m  ，        min max1 1, 1 9f x f f x f     ， 此时值域为 1,9 ； 当 3m  时，         2 min max1 1, 2 4 3f x f f x f m m m      此时值域为 21,2 4 3m m    ． 综上可得：当 1 1m   时，函数值域为 22 4 3,9m m    ； 当1 3m  时，值域为 1,9 ； 当 3m  时，值域为 21,2 4 3m m    ． 【点睛】 本题考查二次函数的解析式的求法和值域问题，以及单调性的判断，考查分类讨论的思 想方法，考查运算能力，属于中档题． 22．定义在 R 上的函数  y f x .对任意的 ,a bR .满足：      f a b f a f b   ， 当 0x  时，有   1f x  ，其中  1 2f  . （1）求  0f ，  1f  的值； （2）判断该函数的单调性，并证明. 【答案】（1） (0) 1f  ； 1(-1)= 2f （2） ( )f x 在 ( , )  上单调递增；证明见解析 【解析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令 1a  ， 0b  ，则      1 0 1f f f  ，可 得  0f 的值，令 1a  ， 1b   ，则      0 1 1f f f   ，分析可得  1f  的值； （2）任取 1x ， 2 ( , )x    且 1 2x x ，则有 2 1 0x x  ，则 2 1( ) 1f x x  ，进而有          2 2 1 1 2 1 1 1f x f x x x f x x f x f x         ，结合单调性的定义分析可得 结论； 【详解】 解：（1）令 1a  ， 0b  ，则      1 0 1f f f   1 1f  ∴  0 1f  令 1a  ， 1b   ，则      0 1 1f f f    1 2f  ∴   11 = 2f  （2）  f x 在 ( , )  上单调递增 设任取 1 2, ( , )x x    且 1 2x x 2 1 0x x   由题设得  2 1 1f x x  对任意 0x  ， ( ) ( ) (0) 1f x f x f    ∴ 0x  ，∴ ( ) 1f x  ， ( ) 0f x  ∴对任意 xR ， ( ) 0f x  ∴ 1( ) 0f x ∵          2 2 1 1 2 1 1 1f x f x x x f x x f x f x         ∴  f x 在 ( , )  上单调递增. 【点睛】 本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值 法分析，属于中档题．