2020年高中数学第二章推理与证明2

2020年高中数学第二章推理与证明2

‎2.1.1‎‎ 合情推理 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列推理是归纳推理的是(　　)‎ A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝‎2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.‎ 答案：B ‎2．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28 B．32‎ C．33 D．27‎ 解析：因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.‎ 答案：B ‎3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是(　　)‎ A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．‎ 答案：A ‎4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，‎ 记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝ (　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ 解析：本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D.‎ 答案：D ‎5．n个连续自然数按规律排列如下表：‎ ‎01234567891011…‎ 6‎ 根据规律，从2 010到2 012箭头的方向依次为(　　)‎ A．↓→ B．→↑‎ C．↑→ D．→↓‎ 解析：观察题图的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由2,3,4可知从2 010到2 012为↑→，故应选C.‎ 答案：C ‎6．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，‎ ‎①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．‎ 对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量②，‎ 请你写出类似于①的式子：___________________________________________，‎ ‎②式可以用语言叙述为：_______________________________________________.‎ 解析：半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，则(πR3)′＝4πR2.‎ 答案：(πR3)′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数 ‎7．观察下列等式：‎ ‎12＝1；‎ ‎12－22＝－3；‎ ‎12－22＋32＝6；‎ ‎12－22＋32－42＝－10；‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ 解析：观察等号左边的规律发现，左边的项数依次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3，…，n，指数都是2，符号成正负交替出现，可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的绝对值的和，故等式的右边可以表示为(－1)n＋1·，∴第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)．‎ 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·(n∈N*)‎ ‎8．设函数f(x)＝(x>0)，‎ 观察：f1(x)＝f(x)＝，‎ 6‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.‎ 解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8, 16，…可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.‎ 答案： ‎9．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论，‎ ‎2cos＝，‎ ‎2cos＝ ，‎ ‎2cos＝ ，‎ ‎……‎ 证明：2cos＝2·＝，‎ ‎2cos＝2＝2＝ ，‎ ‎2cos＝2＝2 ‎＝ ‎…‎ 观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cos，由此可归纳出一般性的结论为：2cos＝‎ ‎10．点P在圆C：x2＋y2＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，‎ 6‎ 又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R在圆C的内部．直线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x2＋y2＝r2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？‎ 解析：点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数的点可以排成一个正三角形(如下图)，‎ 试求第七个三角形数是(　　)‎ A．27 B．28‎ C．29 D．30‎ 解析：观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第七个三角形数为＝28.‎ 答案：B ‎2．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体PABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.‎ 证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V.‎ ‎∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，‎ ‎∴r＝.‎ 6‎ 答案：C ‎3．(2014·高考陕西卷)观察分析下列中的数据：‎ 多面体 面数(F)‎ 顶点数(V)‎ 棱数(E)‎ 三棱柱 ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎6‎ ‎10‎ 立方体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是________．‎ 解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.‎ 答案：F＋V－E＝2‎ ‎4．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．‎ 解析：观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2.‎ 答案：若m，n∈R＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2 ‎5．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A‎1A2…An中，有怎样的不等式成立？‎ 解析：根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3)．‎ ‎∴在n边形A‎1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)．‎ ‎6.如图，设有双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上．‎ ‎(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积．‎ ‎(2)若∠F1MF2＝60°，‎ ‎△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积又是多少？‎ ‎(3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．‎ 解析：(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，‎ 6‎ 设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)．‎ 由双曲线定义，有r1－r2＝‎2a＝4，两边平方得r＋r－2r1·r2＝16，‎ 即|F‎1F2|2－4S△F1MF2＝16，‎ 也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.‎ ‎(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF‎1F2中，由余弦定理得|F‎1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60°，‎ ‎|F‎1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，所以r1r2＝36.‎ 求得S△F1MF2＝r1r2sin 60°＝9.‎ 同理可求得若∠F1MF2＝120°，‎ S△F1MF2＝3.‎ ‎(3)由以上结果猜想，随着∠F1MF2的增大，△F1MF2的面积将减小．‎ 证明如下：‎ 令∠F1MF2＝θ，则S△F1MF2＝r1·r2sin θ.‎ 由双曲线定义及余弦定理，有 ‎②－①得r1·r2＝，‎ 所以S△F1MF2＝ ‎＝，‎ 因为0<θ<π，0<<，‎ 在(0，)内，tan 是增函数．‎ 因此当θ增大时，S△F1MF2＝将减小.‎ 6‎