2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1
章末检测(二) 圆锥曲线与方程
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是( )
A. B．
C．3 D．6
解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即b＝.
答案：B
2．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．4 B．6
C．7 D．8
解析：由渐近线方程y＝x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，
∴|PF2|＝7.
答案：C
3．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔
或
答案：C
4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
答案：A
8
5．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析：由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，
∴a2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
答案：D
6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|，
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝k>|OF|，
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．
答案：A
7．从抛物线y2＝4x上一点P引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，
且|PF|＝5，则△MPF的面积为( )
A．5 B.
C．20 D．10
解析：由题意，设P，则|PF|＝|PM|＝＋1＝5，所以y0＝±4，
所以S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.
答案：D
8．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
解析：依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为＝
8
，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
答案：B
9．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )
A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)
C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)
解析：设P(x0，y0)，M(x，y)，则，所以，由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，
即y2＝(x－1)．
答案：D
10．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
解析：易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，
四边形PF1QF2的面积最大．
此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，
∴＝(－，－1)，＝(，－1)，
∴·＝－2.
答案：D
11．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为( )
A．2 B．3
C. D.
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，
即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案：A
12．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A，B，所以|AF|＝p，
|BF|＝2p，所以＝.
8
答案：
16. 已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．
答案：＋＝1(y≠0)
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．
解析：①当直线l的斜率不存在时，x＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x－1)，
与y＝2x2联立，得2x2－kx＋k－2＝0，
由Δ＝k2－8(k－2)＝0得k＝4，
所以直线l的方程为y＝4x－2.
综上，直线l的方程为x＝1或y＝4x－2.
18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2, 0)作斜率为 的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线方程．
解析：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由右焦点为F(2,0)知c＝2，b2＝4－a2，则双曲线方程为－＝1.直线MN的方程为：y＝(x－2)，代入双曲线方程整理，得
(20－8a2)x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|MN|＝×＝
× ＝4.
解得：a2＝1，∴b2＝4－1＝3.
故所求双曲线方程为：x2－＝1.
8
19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上，且过点P(2,2)，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．
解析：(1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.
∴y2＝2x为所求抛物线的方程．
(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：x2－(1＋2t2)x＋＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝.
∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2，又AB＝x1＋x2＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．
20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线
y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
解析：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1>0，x2>0,2p>0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p.
21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
解析：(1)依题意，可设椭圆方程为＋y2＝1，则右焦点为F(，0)．
由题意，知＝3，解得a2＝3.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点M，N的坐标分别为M(xM，yM)，N(xN，yN)，弦MN的中点为P(xP，yP)．
由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.
8
∵直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0⇒m2<3k2＋1， ①
∴xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝＝－.
又|AM|＝|AN|，
∴AP⊥MN，
则－＝－，
即2m＝3k2＋1， ②
把②代入①，得m2<2m，解得00，解得m>.
综上可得，m的取值范围是b>0)，其右焦点为F2(1,0)，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的左顶点A作两条互相垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)两点M，N.
问：直线MN是否一定经过x轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
解析：(1)∵椭圆E的右焦点为F2(1,0)，∴c＝1，左焦点为F1(－1,0)，∵点P在椭圆E上．
∴2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＋＝4.
∴a＝2，b＝＝.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)知A点坐标为(－2,0)，设直线AM的方程为y＝k(x＋2)，
8
则由⇒(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，
解得M，
同理可得N.
若＝，则得k2＝1，即直线MN的方程为x＝－，此时过x轴上一点Q.
当k2≠1时，假设直线MN过x轴上一定点Q′(m,0)，则∥，又＝，＝，
则由∥，解得m＝－.
∴直线MN过x轴上一定点Q.
8
