2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二上学期期末数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.‎ ‎1．（5分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号3号，29号，42号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（　　）‎ A．16 B．19 C．24 D．36‎ ‎2．（5分）24化为二进制的数为（　　）‎ A．110110（2） B．00011（2） C．10100（2） D．11000（2）‎ ‎3．（5分）在对普通高中学生某项身体素质的测试中，测试结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在内（0，2）取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率（　　）‎ A．0.4 B．0.2 C．0.6 D．0.3‎ ‎4．（5分）下列说法不正确的是（　　）‎ A．随机变量ξ，η满足η=2ξ+3，则其方差的关系为D（η）=4D（ξ）‎ B．回归分析中，R2的值越小，说明残差平方和越小 C．残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域宽度越窄，回归方程的预报精度越高 D．回归直线一定过样本点中心 ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎6．（5分）随机变量X的分布列为P（X=k）=a（）k（k=1，2，3），则a的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）在正方形ABCD内随机生成个m点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有n个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）若（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（　　）项．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎10．（5分）掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B，则P（A|B），P（B|A）分别为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位男生，2位女生，如果2位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（　　）‎ A．12 B．24 C．36 D．60‎ ‎12．（5分）设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（modm），若a=﹣+22﹣23+…﹣219，a=b（MOD3），则B的值可以是（　　）‎ A．2011 B．2017 C．2018 D．2020‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.‎ ‎13．（5分）设X为随机变量，X～B（n，），若随机变量X的数学期望E（X）=2，则D（X）=　 　．‎ ‎14．（5分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”此文阐述求两个数的最大公约数的重要方法“更相减损术”．艾学习同学在使用“更相减损术”求588与315的最大公约数时，计算过程第二步不小心破损导致过程不完整，“（588，315）→（•，315）→（273，42）→…”艾学习同学计算过程中破损处应填写　 　．‎ ‎15．（5分）（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是　 　．‎ ‎16．（5分）由数字0，1，2，3，4，5组成有且只有2个数字相同的三位数，一共有　 　 个．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ ‎（1）在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）建立y关于x的回归方程，预测第几年的销售量约为71万件？．‎ ‎（附注：参考数据：xiyi=418．回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==，=﹣．）‎ ‎18．（12分）随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行了调查，随机调查了50人，进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 年龄不低于45岁的人 年龄低于45岁的人 合计 赞成 ‎10‎ 不赞成 ‎3‎ 合计 随着已知在这50人中随机抽取1人，抽到年龄低于45岁的人的概率为 ‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：k2=．‎ ‎19．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．‎ ‎（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；‎ ‎（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（12分）2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩作为样本．对这60名学生的成绩进行统计，并按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；‎ ‎（Ⅲ）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取3名，记其中成绩优秀的人数为ξ，求ξ的分布列与期望．‎ ‎21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．‎ ‎22．（12分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△PF1F2面积最大值为．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若曲线C的方程为（x﹣t）2+y2=（t2+2t）2（0＜t≤），过点A（﹣2，0）的直线l与曲线C相切，求直线l被椭圆截得的线段长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年吉林省松原市扶余一中高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.‎ ‎1．（5分）某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号3号，29号，42号的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号是（　　）‎ A．16 B．19 C．24 D．36‎ ‎【分析】求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：样本间隔为52÷4=13，‎ 则另外一个座位号为3+13=16，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）24化为二进制的数为（　　）‎ A．110110（2） B．00011（2） C．10100（2） D．11000（2）‎ ‎【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．‎ ‎【解答】解：24÷2=12…0‎ ‎12÷2=6…0‎ ‎6÷2=3…0‎ ‎3÷2=1…1‎ ‎1÷2=0…1‎ 故24（10）=11000（2）‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）在对普通高中学生某项身体素质的测试中，测试结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在内（0，2）取值的概率为0.6，则ξ在（0，1）内取值的概率（　　）‎ A．0.4 B．0.2 C．0.6 D．0.3‎ ‎【分析】先利用正态分布曲线的对称性，判断ξ在（0，1），（1，2）内取值的概率相等，再由已知概率求所求概率即可 ‎【解答】解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2）∴正态分布曲线关于u=1对称，‎ ξ在（0，1），（1，2）内取值的概率相等，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.6，‎ ‎∴ξ在（0，1）内取值的概率为0.3．‎ 故选 D．‎ ‎【点评】本题主要考查了正态分布的意义及正态曲线的图象性质，连续型随机变量概率分布的计算方法，属于中档题 ‎　‎ ‎4．（5分）下列说法不正确的是（　　）‎ A．随机变量ξ，η满足η=2ξ+3，则其方差的关系为D（η）=4D（ξ）‎ B．回归分析中，R2的值越小，说明残差平方和越小 C．残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域宽度越窄，回归方程的预报精度越高 D．回归直线一定过样本点中心 ‎【分析】根据题意，利用统计的初步知识，对选项中的命题分析、判断正误即可．‎ ‎【解答】解：对于A，随机变量ξ，η满足η=2ξ+3，‎ 则其方差的关系为D（η）=D（2ξ+3）=22D（ξ）=4D（ξ），A正确；‎ 对于B，回归分析中，R2的值越小，说明模拟效果越差，‎ 其残差平方和就越大，∴B错误；‎ 对于C，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，‎ 当带状区域宽度越窄时，回归方程的预报精度就越高，∴C正确；‎ 对于D，回归直线一定过样本的中心点（，），∴D正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题利用判断命题的真假性考查了统计知识的应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应的n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=1，S=1‎ S=3‎ 不满足条件S＞100，执行循环体，n=2，S=8‎ 不满足条件S＞100，执行循环体，n=3，S=19‎ 不满足条件S＞100，执行循环体，n=4，S=42‎ 不满足条件S＞100，执行循环体，n=5，S=89‎ 不满足条件S＞100，执行循环体，n=6，S=184‎ 此时，满足条件S＞100，退出循环，输出n的值为6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）随机变量X的分布列为P（X=k）=a（）k（k=1，2，3），则a的值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】由随机变量X的分布列为P（X=k）=a（）k（k=1，2，3），得到a[]=1，由此能求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X的分布列为P（X=k）=a（）k（k=1，2，3），‎ ‎∴a[]=1，‎ ‎∴a=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查随机变量X的分布列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．‎ ‎【解答】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，‎ 即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，‎ 则P（A）=P（A1）+P（A2）=，‎ 故选B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在正方形ABCD内随机生成个m点，其中在正方形ABCD内切圆内的点共有n个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设正方形的边长为2a，则该正方形的内切圆的半径为a，从而得≈，由此能估计圆周率π的近似值．‎ ‎【解答】解：依题意，设正方形的边长为2a，‎ 则该正方形的内切圆的半径为a，‎ ‎∴≈，‎ 解得π≈．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查圆周率π的近似值的估计，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（　　）项．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】根据二项展开式中只有第六项的二项式系数最大得出n的值，‎ 再利用展开式的通项公式求出展开式中的常数项是第几项．‎ ‎【解答】解：（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，‎ ‎∴最大，n=10；‎ ‎∴展开式的通项公式为 Tr+1=••2r•x﹣2r=2r••，‎ 令5﹣=0，求得r=2，‎ ‎∴展开式中的常数项是第3项．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为8”为事件A，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件B，则P（A|B），P（B|A）分别为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意，利用古典概型公式分别算出事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P（B|A）、P（A|B）的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，记小骰子的点数为x，大骰子的点数为y，‎ 事件A包含的基本事件有“x=2，y=6”，“x=y=4”，“x=6，y，2”，“x=3，y=5”，“x=5，y=3”共5个，‎ 事件B包含的基本事件有“x=1时，y=2、3、4、5、6”，“x=2时，y=3，4、5、6”，“x=3时，y=4、5，、6”，“x=4时，y=5、6”，“x=5，y=6”共15个，‎ 而事件AB包含的基本事件有“x=2，y=6”，”，“x=3，y=5”，共2个．‎ ‎∴P（B|A）=，P（A|B）=，‎ 故选：A ‎【点评】本题重考查了古典概型公式、条件概率的计算等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位男生，2位女生，如果2位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（　　）‎ A．12 B．24 C．36 D．60‎ ‎【分析】根据题意，根据题意，分2种情况讨论：①，第一个出场的是女生，则第二个出场的是男生，②，第一个出场的是除甲之外的剩余2个男生中1个，分别求出每种情况的排法数目，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①，第一个出场的是女生，则第二个出场的是男生，以后的顺序任意排，‎ 有C21×C31×A33=36种排法；‎ ‎②，第一个出场的是除甲之外的剩余2个男生中1个，将剩下2个男生排好，有C31×A22种情况，‎ 排好后，有3个空位可选，在其中任选2个安排2个女生，有A32种情况，‎ 则此时有C31×A22×A32=24种排法；‎ 则有36+24=60种不同的出场顺序；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（modm），若a=﹣+22﹣23+…﹣219，a=b（MOD3），则B的值可以是（　　）‎ A．2011 B．2017 C．2018 D．2020‎ ‎【分析】a=﹣+22﹣23+…﹣219=（1﹣2）19=﹣1，又﹣1=﹣1×3+2，a=b（MOD3），由此能求出B的值可以是2018．‎ ‎【解答】解：∵a=﹣+22﹣23+…﹣219=（1﹣2）19=﹣1，‎ ‎﹣1=﹣1×3+2，‎ ‎∵a=b（MOD3），‎ ‎2011=670×3+1，2017=672×3+1，2018=672×3+2，2020=673×3+1，‎ ‎∴B的值可以是2018．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是同余定理，其中正确理解a和b对模m同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理求出a的值，也很关键．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.‎ ‎13．（5分）设X为随机变量，X～B（n，‎ ‎），若随机变量X的数学期望E（X）=2，则D（X）=　　．‎ ‎【分析】X为随机变量，X～B（n，），随机变量X的数学期望E（X）=2，求出n=6，由此能求出D（X）的值．‎ ‎【解答】解：∵X为随机变量，X～B（n，），‎ 随机变量X的数学期望E（X）=2，‎ ‎∴E（X）==2，解得n=6，‎ ‎∴D（X）=6×=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）《九章算术》是中国古代的数学专著，其中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”此文阐述求两个数的最大公约数的重要方法“更相减损术”．艾学习同学在使用“更相减损术”求588与315的最大公约数时，计算过程第二步不小心破损导致过程不完整，“（588，315）→（•，315）→（273，42）→…”艾学习同学计算过程中破损处应填写　273　．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出答案．‎ ‎【解答】解：588﹣315=273，‎ ‎315﹣273=42，‎ ‎273﹣42=231，‎ ‎231﹣42=189，‎ ‎189﹣42=147，‎ ‎147﹣42=105‎ ‎105﹣42=63‎ ‎63﹣42=21‎ ‎42﹣21=21；‎ 故588，315最大公因数为21；‎ 故答案为：273．‎ ‎【点评】本题考查了更相减损术的方法和步骤：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是　﹣3　．‎ ‎【分析】由（1﹣x）6（1+x）4变形为：（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），即可得出．‎ ‎【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4=（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），‎ ‎∴展开式中x2的系数1﹣=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）由数字0，1，2，3，4，5组成有且只有2个数字相同的三位数，一共有　75　 个．‎ ‎【分析】根据题意，分3种情况讨论：①三个数中不含0的，②三个数中含1个0的，③三个数中含2个0的；由排列组合公式，计算出每种情况下的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求三位数中有且只有2个数字相同，即这个三位数中有2个不同的数字组成，‎ 分3种情况讨论：‎ ‎①，三个数中不含0，有2C52×C31=60种情况，即有60个有且只有2个数字相同的三位数，‎ ‎②，三个数中有1个0，在1、2、3、4、5中任选1个，有C51=5选法，‎ 数字0可以放在后2位，有2种情况，‎ 将选出的数字放在剩下数位，有1种情况，‎ 则此时有5×2=10种情况，即有10个有且只有2个数字相同的三位数，‎ ‎③，三个数中有2个0，在1、2、3、4、5中任选1个，有C51=5选法，‎ ‎2个0只能放在后2位，有1种情况，‎ 将选出的数字放在首位，有1种情况 则此时有5×1=5种情况，即有5个有且只有2个数字相同的三位数；‎ 则一共有60+10+5=75个有且只有2个数字相同的三位数；‎ 故答案为：75．‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用，注意分情况讨论时，做到不重不漏，在本题中，尤其注意0不能做首位数字这一限制条件．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y（单位：万件）之间的关系如表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ ‎（1）在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎（2）建立y关于x的回归方程，预测第几年的销售量约为71万件？．‎ ‎（附注：参考数据：xiyi=418．回归方程=+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==，=﹣．）‎ ‎【分析】（1）由数据画出散点图即可；‎ ‎（2）求出回归方程的系数，求出回归方程，代入x，求出对应y的预报值即可．‎ ‎【解答】解：（1）作出散点图如图：‎ ‎（2）由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，说明与x的具有比较好的线性相关关系，‎ ‎∴可以用线性回归模型拟合与x的关系．‎ ‎=，=，xiyi=418，x2=30，=5，‎ ‎=，=﹣2，‎ 故关于x的回归直线方程为=x﹣2，‎ 当x=5时，解得=71，‎ 所以第5年的销售量约为71万件．‎ ‎【点评】本题考查了散点图，求回归方程问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式，某机构对使用微信交流的态度进行了调查，随机调查了50人，进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 年龄不低于45岁的人 年龄低于45岁的人 合计 赞成 ‎10‎ 不赞成 ‎3‎ 合计 随着已知在这50人中随机抽取1人，抽到年龄低于45岁的人的概率为 ‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（2）判断是否有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异？‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：k2=．‎ ‎【分析】（1）计算年龄低于45岁的人数，由题意填写列联表；‎ ‎（2）计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）年龄低于45岁的人为50×=30人，由题意可得列联表如下：‎ 年龄不低于45岁的人 年龄低于45岁的人 合计 赞成 ‎10‎ ‎27‎ ‎37‎ 不赞成 ‎10‎ ‎3‎ ‎13‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（2）因为K2观测值为k=≈9.979，且9.979＞6.635，‎ 所以有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异．‎ ‎【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店．‎ ‎（1）若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；‎ ‎（2）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，利用对立事件概率计算公式能求出至少1名倾向于选择实体店的概率．‎ ‎（2）X的取值为0，1，2，分别出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，‎ 则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，‎ 则P（A）=1﹣P（）=1﹣=．‎ ‎（2）X的取值为0，1，2，‎ P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E（X）==．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从参赛的全体学生中抽出60人的成绩作为样本．对这60名学生的成绩进行统计，并按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；‎ ‎（Ⅱ）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）；‎ ‎（Ⅲ）若规定80分以上（含80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取3名，记其中成绩优秀的人数为ξ，求ξ的分布列与期望．‎ ‎【分析】（I）根据加权平均数公式计算；‎ ‎（II）根据中位数定义计算；‎ ‎（III）根据二项分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设样本数据的平均数为，则．‎ ‎∴估计参赛学生的平均成绩为72.5分．‎ ‎（Ⅱ）设样本数据的中位数为a，由0.05+0.15+0.2+0.3＞0.5知a∈（70，80）．‎ ‎∴0.05+0.15+0.2+（a﹣70）×0.03=0.5，解得，‎ 故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分．‎ ‎（Ⅲ）由题意知，样本中80分以上（包括80分）的概率为，‎ 则随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为，∴ξ～B（3，）．‎ ‎∴，；‎ ‎；，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图，二项分布，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；‎ ‎（Ⅱ）若AB=EC=2，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，可得MBFG是平行四边形，即MB∥FG，由面面垂直的性质可得MB⊥平面ACC1A1，即FG⊥平面ACC1A1，可证得平面AEF⊥平面ACC1A1．‎ ‎（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M﹣xyz，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，0，2），，，利用向量法求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则，‎ 又MG∥EC∥BF，‎ ‎∴MBFG是平行四边形，故MB∥FG．‎ ‎∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，‎ ‎∴MB⊥平面ACC1A1，而BM∥FG，‎ ‎∴FG⊥平面ACC1A1，‎ ‎∵FG⊂平面AEF，‎ ‎∴平面AEF⊥平面ACC1A1．‎ ‎（Ⅱ）以MA、MB、MG为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系M﹣xyz，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，0，2），，‎ ‎，，，‎ 设平面ACF的一个法向量，‎ 则有即 令y1=1，则，‎ 设平面AEF的一个法向量，‎ 则有即 令x2=1，则，‎ 设二面角C﹣AF﹣E的平面角θ，‎ 则．‎ ‎∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为 ‎【点评】本题考查了空间面面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△PF1F2面积最大值为．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若曲线C的方程为（x﹣t）2+y2=（t2+2t）2（0＜t≤），过点A（﹣2，0）的直线l与曲线C相切，求直线l被椭圆截得的线段长的最小值．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率可得a，b与c的关系，可知当P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2面积有最大值，由此列关于c的方程求得c，则a，b可求，椭圆方程可求；‎ ‎（2）过点A（﹣2，0）与x轴垂直的直线l与曲线C不相切，故可设直线l：y=k（x+2）．由直线与圆相切可得t与k的关系，由t的范围求得k的范围，联立直线方程与椭圆方程，求出B的坐标，利用两点间的距离公式可得|AB|=．令，然后利用函数的单调性求解直线l被椭圆截得的线段长的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为e=，∴a=2c，b=，‎ 又当P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2面积最大值为，∴，‎ 解得：c=1，a=2，b=，‎ 则椭圆方程为；‎ ‎（2）过点A（﹣2，0）与x轴垂直的直线l与曲线C不相切，故可设直线l：y=k（x+2）．‎ 则，化简得：，t∈（0，]，‎ 由0，解得0＜k2≤1．‎ ‎ 联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0．‎ 直线l被椭圆解得线段的一个端点为A（﹣2，0），设另一端点为B，‎ 则B（），‎ 有|AB|=．‎ 令，则|AB|=，n∈（1，]．‎ 由函数y=4n﹣在区间（1，]上为增函数，可得当n=时，y=4n﹣取得最大值．‎ 从而．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，是中档题．‎ ‎　‎