数学理卷·2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考（2018

数学理卷·2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考（2018

绝密★启用前 荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2018 届高三 2 月联考 理科数学试题 命题学校：宜昌一中 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 (其中 是虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象 限 3．设 则“ ”是“ ” 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 5．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边 数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就 是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 的 值为 （参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305） }{ 1M x x= ≤ }{ 2 , 1N y y x x= = ≤ M N= M N⊆ M N = ∅ N M⊆ 1 2 i+ i ,R∈θ 1212 ππθ <− 2 1sin <θ ( , )4 2 π πα ∈ cos(cos )a αα= cos(sin )b αα= sin(cos )c αα= a b c< < a c b< < b a c< < c a b< < n A．12 B．20 C．24 D．48 6．已知实数 满足约束条件 若 的最大值为 4，则 A．2 B． C．3 D．4 7 ． 已 知 数 列 都 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 ， 其 首 项 分 别 为 且 ， 设 则数列 的前 10 项和等于 A．55 B．70 C．85 D．100 8．若圆 与圆 相交于 两点，且两圆在点 处的 切线互相垂直，则线段 的长度是 A．3 B．4 C． D．8 9．若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 = A． B． C． D． 10．已知函数 ，若方程 在 上有且只有四 个实数根，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听 到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 4s．已知各观测点到该中心 的距离都是 1020m．则该巨响发生在接报中心的( )处．（假定当时声音传播的速度 为 340m/s，相关各点均在同一平面上） A．西偏北 45°方向，距离 B．东偏南 45°方向，距离 C．西偏北 45°方向，距离 D．东偏南 45°方向，距离 12．对 ，设 是关于 的方程 的实数根， （符号 表示不超过 的最大整数）．则 A．1010 B．1012 C．2018 D．2020 ( ) ( )0cos3sin >−= ωωω xxxf ( ) 1−=xf ( )π，0 ω ,x y 2 2 0, 2 2 0, 2 0, x y x y x y − + ≥  − − ≤  + − ≤ ( )0z x ay a= − > a = 2 3 *},{},{ Nnba nn ∈ 1 1,a b， 511 =+ ba * 11, Nba ∈ ),( *Nnac nbn ∈= { }nc 5: 22 1 =+ yxO 20)(: 22 2 =++ ymxO ,A B A AB 32 )2( −= xfy 2log3 += xy xy = )(xf 223 −x 123 −x x23 223 +x ]2 7,6 13( ]6 25,2 7( ]2 11,6 25( ]6 37,2 11( m10680 m10680 m5680 m5680 *Nn∈ nx x 023 =−+ nxnx ),3,2(],)1[( ⋅⋅⋅=+= nxna nn ][x x =+⋅⋅⋅++ 2017 201832 aaa 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知函数 ，则 ． 14．设 ，则 　 　． 15 ．已知平面向量 的夹角为 120° ，且 ．若平面向量 满足 ，则 ． 16．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工 成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最 大值为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 . （1）用正弦定理证明： ； （2）若 ，求 的长． 18．（12 分） 如图，在几何体 中，平面 平面 ，四边形 为菱形，且 , ， 为 中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的平面角的正弦值．    > ≤− = 0, 0,21 )( 2 1 xx x xf x =− ))1(( ff *Nn∈ =+⋅⋅⋅+++ −12321 777 nn nnnn CCCC ,a b  1, 2a b= =  m 1m a m b⋅ = ⋅ =    m = AD ABC∆ BAC∠ BC D AB BD AC DC = 120 , 2, 1BAC AB AC∠ = = = AD ABCDEF ⊥ADE ABCD ABCD °=∠ 60DAB ABEFEFABEDEA //,2=== M BC //FM BDE CBFD −− 19．（12 分） 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口 400 万，其中老人（年龄 60 岁及以上）人数约有 66 万，为了了解老人们的健康状况，政府从老 人中随机抽取 600 人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、 不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计，样 本分布被制作成如下图表： （1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一步了解他们 的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？ （2）估算该市 80 岁及以上长者占全市户籍人口的百分比； （3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月 发放生活补贴，标准如下： ①80 岁及以上长者每人每月发放生活补贴 200 元； ②80 岁以下老人每人每月发放生活补贴 120 元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 100 元． 利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位 小数） 20．（12 分） 如图，一张坐标纸上已作出圆 ： 及点 ，折叠此纸片，E 8)1( 22 =++ yx )0,1(P 使 与圆周上某点 重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线 的交点为 ，令点 的轨迹为 . （1）求轨迹 的方程； （2）若直线 与轨迹 交于两个不同的点 ,且直线 与以 为直径的 圆相切，若 ，求 的面积的取值范围． 21．（12 分） 已知 为正的常数，函数 . （1）若 ，求函数 的单调递增区间； （2）设 ，求 在区间[1, ]上的最小值．（ 为自然对数的 底数） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为 极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）已知曲线 的极坐标方程为 点 是曲线 与 的交 点，点 是曲线 与 的交点，且 均异于原点 ，且 ，求实数 的 值． a xxaxxf ln||)( 2 +−= 2=a )(xf x xfxg )()( = )(xg e 71828.2≈e P 'P 'EP M M C C mkxyl +=: C BA, l EP ]4 3,3 2[∈⋅OBOA ABO∆ xoy 1C    = += ϕ ϕ sin2 cos22 y x ϕ O x 2C θρ sin4= 1C 2C 3C ),,0(, R∈<<= ρπααθ A 3C 1C B 3C 2C BA, O 24=AB α 23． [选修 4—5：不等式选讲] （10 分） 已知函数 . （1）若不等式 恒成立，求实数 的最大值； （2）当 ，函数 有零点，求实数 的取值范围． ( ) ( )02 1 ≠+−= aaaxxf ( ) ( ) 1≤+− mxfxf 2 1 DACADCACDC CDADDACACD >∴∠>∠∴ , 3 4=∴ AD 2 2 2 2 2 22 ( 7) 1 5cos 2 2 2 7 2 7 AB BC ACB AB BC + − + −= = =⋅ × × 2 2 7 2 7 5=4+ 2 23 3 2 7   − × × ×    4= 9 2 3AD = 又 BD⊂平面 BDE，且 MN⊄平面 BDE，所以 MN∥平面 BDE，因为 EF∥AB，AB=2EF，所以 EF ∥CD，EF=DN．所以四边形 EFND 为平行四边形． ………………2 分 所以 FN∥ED．又 ED⊂平面 BDE 且 FN⊄平面 BDE， 所以 FN∥平面 BDE， 又 FN∩MN=N，所以平面 MFN∥平面 BDE． 又 FM⊂平面 MFN，所以 FM∥平面 BDE． ………………4 分 （2）解：取 AD 中点 O，连结 EO，BO．因为 EA=ED，所以 EO⊥AD． 因为平面 ADE⊥平面 ABCD，所以 EO⊥平面 ABCD，EO⊥BO． 因为 AD=AB，∠DAB=60°，所以△ADB 为等边三角形． 因为 O 为 AD 中点，所以 AD⊥BO．因为 EO，BO，AO 两两垂直，设 AB=4， 以 O 为 原 点 ， OA ， OB ， OE 为 x ， y ， z 轴 ， 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O﹣xyz ………………6 分 由题意得，A（2，0，0）， ， ，D（﹣2，0，0）， ， ． 设平面 的法向量为 则 ， 即 ， 令 ． 则 所 以 ．…8 分 设平面 的法向量为 则 ，即， 令 ．则 所以 ．…10 分 二 面 角 平 面 角 的 正 弦 值 为 …………………12 分 19.解：（1）数据整理如下表： (0,2 3,0)B ( 4,2 3,0)C − (0,0,2 3)E ( 1, 3,2 3)F − )0,0,4(),32,3,3(),32,3,1(),0,32,2( =−=== CBCFDFDB BDF ),,( zyxn =    =⋅ =⋅ 0 0 DFn DBn    =++ =+ 0323 03 zyx yx 1=x 0,3 3 =−= zy )0,3 3,1( −=n BCF ),,( zyxm =    =⋅ =⋅ 0 0 CFm CBm    = =+− 0 03233 x zyx 1=z 2, 0y x= = (0,2,1)m = 5 5),cos( =⋅=∴ nm nmnm ∴ CBFD −− 5 52 健康状况 健康 基本健康 不健康尚能自理 不能自理 80 岁及以上 20 45 20 15 80 岁以下 200 225 50 25 从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取 8 人进一步了解他们 的生活状况， 80 岁 及 以 上 应 抽 取 ： 8 × =3 人 ， 80 岁 以 下 应 抽 取 ： 8 × =5 人．…………………2 分 （2）在 600 人中 80 岁及以上长者在老人中占比为： 用样本估计总体，80 岁及以上长者为：66× =11 万， 80 岁及以上长者占户籍人口的百分比为 ．……………4 分 （3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为 X 元， ， ， ， ……………8 分 则随机变量 X 的分布列为： X 0 120 200 220 300 P ……………10 分 全市老人的总预算为 28×12×66×104=2.2176×108 元． 政府执行此计划的年度预算约为 2.22 亿元． ……………12 分 20.（1）折痕为 PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆 E 的半径为 ， ∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|= ＞|EP|， ……………2 分 ∴E 的轨迹是以 E、P 为焦点的椭圆，且 ， ∴ ，∴M 的轨迹 C 的方程为 ．……………4 分 （2） 与以 EP 为直径的圆 x2+y2=1 相切，则 O 到 即直线 AB 的距离： 15 15 25+ 25 15 25+ 15 20 45 20 1 600 6 + + + = 1 6 11 100% 2.75%400 × = 4( 0) 5P X = = 1 475 95 1 85 17( 120) , ( 200)5 600 600 5 600 600P X P X= = × = = = × = 1 25 5 1 15 3( 220) , ( 300)5 600 600 5 600 600P X P X= = × = = = × = 4 5 95 600 17 600 5 600 3 600 0 120 95 200 17 220 5 300 3 28600EX + × + × + × + ×= = 2 2 2 2 2, 1a c= = 2 2 2 1b a c= − = 2 2 12 x y+ = l l ，即 ， ……………5 分 由 ，消去 y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，……………6 分 ∵直线 与椭圆交于两个不同点， ∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2= ，……………7 分 又 ，∴ ，∴ ， 设 μ=k4+k2，则 ，∴ ，…………… 10 分 ∵S △AOB 关于 μ 在 单调递增，∴ ，∴△AOB 的面积的取值范围是 ． ………12 分 21.解：（1） 时, , ，可得单调增区间是 ………4 分 2=a    ≥+− <<+−=+−= 2,ln2 20,ln2ln|2|)( 2 2 xxxx xxxxxxxxf      ≥+− <<++− = 2,122 20,122 )( 2 2 / xx xx xx xx xf ),2[],2 31,0( +∞+ 2 | | 1 1 m k = + 2 2 1m k= + 2 2 12 x y y kx m  + =  = + l 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 km mx x x xk k −+ = − =+ + 2 2 1 1 2 k k − + 2 1 2 1 2 2 1 1 2 kOA OB x x y y k +⋅ = + = +   2 2 2 1 3 3 1 2 4 k k +≤ ≤+ 21 12 k≤ ≤ 1 | | 12AOBS AB∆ = × × = 2 4 2 2 2 2 2 4 2 1 4km 2 2 2( )1 ) 42 1+2k 1 2 4( ) 1 m k kk k k k − +× + × − × =+ + +（- 3 24 µ≤ ≤ 2 1 1 3, [ ,2]4 1 2 2 4 +1 4AOBS µ µµ µ∆ = = − ∈+ （ ） 3[ ,2]4 6 2 4 3AOBS∆≤ ≤ 6 2[ , ]4 3 （2） , 当 时 , 则 , , 得 ；……6 分 当 时, 单调递增, ； ……8 分 当 时, 在 上减, 上增, ……10 分 综上所述： ……12 分 22.解：（1）由曲线 的参数方程为 消去参数得曲线 的普通方程为 ． …………2 分 曲线 的极坐标方程为 ， ， 的直角坐标方程为 ，整理，得 ．…………4 分 （2）曲线 ： 化为极坐标方程为 ，…………6 分 设 ， 曲线 的极坐标方程为 ，点 A 是曲线 与 的交点，点 B 是曲 线 与 的交点，且 均异于原点 O，且 ， ，…………8 分 ，解得 ．…………10 分 23.解：（ 1）∵ ，∴ ， ∴ ， …………3 分      ≤<+− >+− =+−= axx xxa axx xax x xaxxg 0,ln ,ln ln||)( ea ≥ x xxaxg ln)( +−= 01ln1)( 22 / <+−−= xx xxg eeaegxg 1)()( min +−== 1≤a x xaxxg ln)( +−= agxg −== 1)1()( min ea <<1 )(xg ],1[ a ],[ ea a aagxg ln)()( min == min 1 , ( ) 1 , 1 ln ,1 a e a ee g x a a a a ea  − + ≥ = − ≤   < <  1C 2 2cos (2sin x y ϕ ϕϕ = +  = 为参数) 1C 2 2( 2) 4x y− + =  2C 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ∴ = ∴ 2C 2 2 4x y y+ = 2 2( 2) 4x y+ − = 1C 2 2( 2) 4x y− + = 4cosρ θ= 1 1 2 2( , ), ( , )A Bρ α ρ α  3C ,0 , Rθ α α π ρ= < < ∈ 3C 1C 3C 2C ,A B | | 4 2AB = 1 2| | | | | 4sin 4cos | 4 2 | sin( ) | 4 24AB πρ ρ α α α∴ = − = − = − = 3sin( ) 1, 0 , ,4 4 4 4 4 2 π π π π π πα α π α α∴ − = ± < < ∴− < − < ∴ − = 3 4 πα = ( ) 1 2f x x a a = − + ( ) 1 2f x m x m a a + = + − + ( ) ( )f x f x m x a x m a m− + = − − + − ≤ ∴ ，∴ ，∴实数 的最大值为 1； …………5 分 （2）当 时， ∴ ， …………8 分 ∴ 或 ∴ ，∴实数 的取值范围是 …………10 分 1m ≤ m1 1m− ≤ ≤ 1 2a < ( ) ( ) 12 1 2 1 2g x f x x x a x a = + − = − + − + 13 1, ,2 1 11, ,2 2 1 13 1, ,2 2 x a x aa x a a xa x a xa − + + + < = − − + + ≤ ≤   − + − > ( ) 2 min 1 1 1 2 1 02 2 2 2 a ag x g a a a − + + = = − + = ≤   2 10 ,2 2 1 0 a a a  < < − + + ≤ 2 0, 2 1 0 a a a < − + + ≥ 1 02 a− ≤ < a )0,2 1[−