数学（理）卷·2018届江西师范大学附属中学高三4月月考（2018

数学（理）卷·2018届江西师范大学附属中学高三4月月考（2018

江西师大附中高三年级数学（理）月考试卷 命题人：谢辉 审题人：蔡卫强 2018.4‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确选项。‎ ‎1. 设集合A＝{x∈R||x－i|＜2}，B＝{y∈R|y＝}，则∁R(A∩B)＝(　　)‎ A．{x|0≤x≤3}　B．{x|x＜0或x≥}　 C．{x|x＜或x≥} 　D．{x|x＜0或x≥}‎ ‎2.已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则n，p分别等于（　　）‎ A．n=45，p= B．n=45，p= C．n=90，p= D．n=90，p=‎ ‎3.已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（   ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4.数列{an}的通项an是关于x的不等式x2﹣x＜nx（n∈N）的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn=（　　）‎ A．n2 B．n(n+1) C． D．(n+1)(n+2）‎ ‎5.函数y=x+cosx的大致图象是（　　）‎ ‎ ‎ ‎ A B C D ‎6. 和是抛物线上不同两点，为焦点，‎ 以下正确选项是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎9. （x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90‎ ‎10.函数是偶函数，则函数的对称轴是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为 A. B. C.4 D.3‎ ‎12.定义域和值域均为（常数a>0）的函数和大致图象如图所示，给出下列四个命题：‎ ‎①方程有且仅有三个解；‎ ‎②方程有且仅有三个解；‎ ‎③方程有且仅有九个解；‎ ‎④方程有且仅有一个解。那么，其中一定正确的命题是（    ）‎ A．①②    B．②③    C．①④    D．②④‎ 二、填空题 ：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎ 13.已知向量夹角为，且，则 ‎14.已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为　　．‎ ‎15.设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上运动， 的最大值为m， 的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为　　．‎ ‎16.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 .‎ 三、解答题：共70分。第17题到第21题为必答题，每题12分。第22题和第23题为选做题，考生只需选择其中之一做答，该小题10分。‎ ‎17.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，S是该三角形的面积，且 ‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若角A为锐角，，求边BC上的中线AD的长.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ ‎[来源]‎ ‎18.如图,在直三棱柱中,AB=BC，D、E分别为的中点.‎ ‎(1)证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线段； ‎ ‎(2)设AB=1,,求二面角A1—AD—C1的大小.‎ ‎19.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ 已知甲厂生产的产品共有98件.‎ ‎（1）求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎ 20. 已知椭圆的两个焦点分别为和 ，过点的直线与椭圆相交于两点，且,。‎ （1） 求椭圆的离心率； ‎ ‎ ‎ （2） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值 ‎ ‎21.已知函数。（为常数，）‎ ‎（1）求证：当时，在上是增函数；‎ ‎（2）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。‎ ‎22. 已知关于的不等式（其中）。‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式有解，求实数的取值范围。‎ ‎23.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.‎ 试卷答案 ‎1. B　由集合A得＜2，‎ ‎∴A＝{x|－＜x＜}，‎ 由集合B得B＝{y|y≥0}，‎ ‎∴A∩B＝{x|0≤x＜}，‎ ‎∴∁R(A∩B)＝{x|x＜0或x≥}．‎ ‎2.C ‎【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．‎ ‎【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，‎ 可得np=30，npq=20，q=，则p=，n=90，‎ 故选C．‎ ‎3.C ‎4.C ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】通过解不等式求出数列{an}的通项an判断数列{an}是什么数列，即可数列{an}的前n项和Sn ‎【解答】解：不等式x2﹣x＜nx（n∈N）的解集为{x|0＜x＜n+1}‎ ‎∵通项an是解集中的整数个数 ‎∴an=n（n∈N）‎ ‎∵an+1﹣an=n+1﹣n=1（常数），‎ ‎∴数列{an}是首先为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴前n项和Sn=．‎ 故选C ‎5.B ‎【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．‎ ‎【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．‎ ‎【解答】解：由于f（x）=x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣x+cosx，‎ ‎∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），‎ 故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；‎ 又当x=时，x+cosx=x，‎ 即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．‎ 故选：B．‎ ‎6. A 试题分析：在抛物线中焦参数为，因此，，所以，即．故选A．‎ ‎7.A ‎【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．‎ ‎【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，然后挖掉一个相同的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此，故选A.‎ ‎【错选原因】错选B：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.‎ 错选C：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个圆锥，且未挖掉一个相同的圆锥.‎ 错选D：圆锥的公式记忆错误.‎ ‎8.D ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由于=﹣，‎ 则n=1，S=﹣1；n=2，S=﹣+﹣1=﹣1；‎ n=3，S=2﹣+﹣+﹣1=2﹣1；‎ ‎…‎ n=2016，S=﹣1；‎ n=2017，S=﹣1.2017＞2016，此时不再循环，‎ 则输出S=﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎9. . D ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：Tr+1=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．‎ ‎【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：Tr+1=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，‎ 令5﹣r=2，解得r=3．‎ ‎∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，‎ ‎∴x5y2的系数=×9=90．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10.A ‎11 C ‎ 本题考查向量数量积的坐标运算、不等式组表示的可行域以及借助于数形结合求最值的能力，难度中等。‎ ‎ 作出不等式组对应的平面区域如图，且，即为 ‎，z的几何意义是斜率为的直线在y轴上的纵截距，当目标函数经过点时取得最大值4. ‎ ‎ 12.答案：C ‎ ‎13.‎ 试题分析：对两边平方得，即，解得.‎ 考点：向量运算.‎ ‎14.7‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，‎ ‎∴x+y=x+=x﹣1++1‎ ‎=x﹣1++3≥2+3=7‎ 当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，‎ 故答案为：7．‎ ‎15.[，1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题椭圆定义利用配方法求得的最大值m，再由平面向量的坐标运算求得•的最小值n，由m≥2n，结合隐含条件求得椭圆的离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，‎ ‎∴|PF2|=2a﹣|PF1|（a﹣c≤|PF1|≤a+c），‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=|PF1|（2a﹣|PF1|）=﹣|PF1|2+2a|PF1|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2‎ ‎∵a﹣c≤|PF1|≤a+c ‎∴|PF1|•|PF2|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2∈[b2，a2]，‎ ‎∴的最大值m=a2；‎ 设P（x，y），‎ 则=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）‎ ‎=x2+y2﹣c2=x2+﹣c2=，‎ ‎∵x∈[﹣a，a]，∴x2∈[0，a2]，‎ ‎∴•的最小值为n=b2﹣c2，‎ 由m≥2n，得a2≥2（b2﹣c2）=2（a2﹣2c2）=2a2﹣4c2，‎ ‎∴a2≤4c2，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎16.cm3.‎ ‎ 解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心， 分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为. 故应注水＝‎ ‎17.解析:（1）原式 …………………………2分 ‎    ‎ ‎     …………………………4分 ‎    因 …………………………………………………… 6分 ‎   （2）因A为锐角，则 ‎    而面积 …………………8分 ‎    解法一：又由余弦定理，………………10分 ‎    又，‎ ‎    即 ……………………………………………………………………12分 ‎    解法二：作CE平行于AB，并延长AD交CE地E，‎ ‎ ‎ ‎    在△ACE中，‎ ‎    又 ‎    即 ‎    这样 …………………………………………12分 ‎18.证明：(Ⅰ) 设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ‎ ‎∵AB＝BC，∴BO⊥AC，‎ 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，‎ ‎∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 解：（Ⅱ）连接A1E，由AB=1,AA1＝AC＝可知，A1ACC1为正方形，‎ ‎∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．‎ 由已知AB＝ED=1, AA1＝AC＝，∴AE=A1E=1，‎ EF＝＝，‎ tan∠A1FE＝=，∴∠A1FE＝60°． ‎ 所以二面角A1－AD－C1为60°．‎ ‎19.（1）乙厂生产的产品总数为； ……………………… 3分 ‎（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；………6分 ‎（3）， ，‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 均值. ……………………………………………… 12分 ‎20.解析：（1）解：由//且，得，从而 ‎ 整理，得，故离心率 ‎ ‎(2)解法一：由（II）可知 ‎ 当时，得，由已知得.‎ 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.‎ 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ‎ ， 由解得故 当时，同理可得. ‎ 解法二：由（II）可知 当时，得,由已知得 由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，‎ 且，所以四边形为等腰梯形.‎ ‎ 由直线的方程为,知点H的坐标为.‎ 因为，所以，解得m=c（舍），或.‎ 则，所以. ‎ 当时同理可得 ‎ ‎21.解：‎ ‎ ‎ ‎（1）当时， ‎ 当时， 又 ‎ 故在上是增函数 ‎ ‎（2）时，由（2）知，在上的最大值为 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。‎ 记 则 当时， 在区间上递减，此时 由于，时不可能使恒成立，故必有 若，可知在区间上递减，在此区间上，有 ‎，与恒成立相矛盾，故，这时，‎ 在上递增，恒有，满足题设要求，‎ ‎ 即 实数的取值范围为 略 ‎22.‎ ‎23.‎ ‎（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为. ………………………2分 又，‎ 所以曲线的直角坐标方程为. …………………4分 ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得，…………………6分 令，得，即点的坐标为(2，0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，‎ 半径，则， …………………………………………8分 所以. ………………………………………………10分