2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎2．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|‎ ‎4．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c且=1，则角A=（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎5．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14‎ ‎6．（5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎7．（5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎8．（5分）某厂生产甲种产品不少于45个，乙种产品不少于50个，所用原料为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2，3m2，用A种金属板可生产甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可生产甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最小？（　　）‎ A．A用3张，B用6张 B．A用4张，B用5张 C．A用2张，B用6张 D．A用3张，B用5张 ‎9．（5分）已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=504（a+b），则a2+b2的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．9 D．12‎ ‎10．（5分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．2或 C．2或 D．2‎ ‎11．（5分）若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎12．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）‎ A．8日 B．9日 C．12日 D．16日 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知数列{an}的前n项和，则a1+a5=　 　．‎ ‎14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则当y≤ax+a﹣1恒成立时，实数a的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是　 　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，已知a=x，b=2，∠B=60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且2asinB=b．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{bn}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinA=3asinC，cosA=．‎ ‎（1）若b=3，求a的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求sinB的值．‎ ‎20．（12分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．‎ ‎（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且﹣1，Sn，an+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设数列{bn}满足bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与﹣的大小．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．‎ ‎【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，‎ ‎∴由正弦定理得：sinB===．‎ 故选B ‎【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（　　）‎ A．58 B．88 C．143 D．176‎ ‎【分析】根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11= 运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，‎ ‎∴a1+a11=a4+a8=16，‎ ‎∴S11==88，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|‎ ‎【分析】由题意可得a和b为负数且a＞b，由不等式的性质逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，‎ ‎∴a2＜b2，故A正确；‎ 再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；‎ 由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；‎ 再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c且=1，则角A=（　　）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．‎ ‎【解答】解：∵==1，‎ ‎∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，‎ ‎∴cosA===，‎ 又A为三角形的内角，‎ 则A=60°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（　　）‎ A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14‎ ‎【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，‎ 把解代入方程求出a、b即可．‎ ‎【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是 即方程ax2+bx+2=0的解为 故 则a=﹣12，b=﹣2，‎ a+b=﹣14．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（　　）‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．‎ ‎【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1‎ ‎∴a4=2‎ a4+2a7=a4+2a4q3=2×‎ ‎∴q=，a1==16‎ 故S5==31‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【分析】由题意和和差角公式易得sin（A﹣B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，‎ ‎∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），‎ ‎∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，‎ ‎∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，‎ ‎∴sin（A﹣B）=0，‎ ‎∴A﹣B=0，即A=B，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）某厂生产甲种产品不少于45个，乙种产品不少于50个，所用原料为A，B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2，3m2，用A种金属板可生产甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可生产甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最小？（　　）‎ A．A用3张，B用6张 B．A用4张，B用5张 C．A用2张，B用6张 D．A用3张，B用5张 ‎【分析】设A、B两种金属板各取x，y张，用料面积为zm2，建立约束条件和目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解．‎ ‎【解答】解：设A、B两种金属板各取x，y张，用料面积为zm2，‎ 则，目标函数z=2x+3y，‎ 可行域如右图．‎ 由得．‎ 所以直线3x+6y﹣45=0与直线5x+6y﹣50=0的交点为M（2，6）．‎ 而当动直线y=﹣x+，经过点M时，z=2x+3y取最小值，由于M（2，6）坐标不是整数，在可行域找到点n（3，6）符合要求，此时zmin=2×3+3×6=24．‎ 故A，B两种金属板各取3张、6张时，能完成计划并能使总用料面积最省．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=504（a+b），则a2+b2的最小值为（　　）‎ A．4 B．8 C．9 D．12‎ ‎【分析】利用f（x）+f（e﹣x）=ln+ln=lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ln，‎ ‎∴f（x）+f（e﹣x）=ln+ln=lne2=2，‎ ‎∴∴504（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=×（2×2016）=2016，‎ ‎∴a+b=4，‎ ‎∴a2+b2≥==8，‎ 当且仅当a=b=2时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，考查对数的运算性质、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在△ABC中，若∠B=30°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B．2或 C．2或 D．2‎ ‎【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积•AB•AC•sinA，即可得出结论 ‎【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AB=2，AC=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴sinC=，‎ ‎∴C=60°或120°，‎ ‎∴A=90°或30°，‎ ‎∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=2或．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．12 C．16 D．20‎ ‎【分析】直线过圆心，先求圆心坐标，推出a+‎ b=1，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心（﹣4，﹣1）在直线ax+by+1=0上，‎ 所以﹣4a﹣b+1=0，即 1=4a+b代入，‎ 得 （a＞0，b＞0当且仅当4a=b时取等号）‎ 则+的最小值为16，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式，本题关键是利用1的代换后利用基本不等式，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　）‎ A．8日 B．9日 C．12日 D．16日 ‎【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，‎ 记为{an}，其中a1=103，d=13；‎ 驽马每日行的距离成等差数列，‎ 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；‎ 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm ‎=103m++97m+=2×1125，‎ 解得：m=9．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知数列{an}的前n项和，则a1+a5=　11　．‎ ‎【分析】由数列的前n项和求出首项，再由a5=S5﹣S4求得a5，则a1+a5的值可求．‎ ‎【解答】解：由，得 ‎，‎ ‎．‎ ‎∴a1+a5=2+9=11．‎ 故答案为：11．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推式，考查了由数列前n项和求通项．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则当y≤ax+a﹣1恒成立时，实数a的取值范围是　a≥2　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 直线y=ax+a﹣1=a（x+1）﹣1，过定点D（﹣1，﹣1），‎ y≤ax+a﹣1恒成立等价为可行域都在直线y=ax+a﹣1下方，‎ 则由图象知只要A（0，1）满足y≤ax+a﹣1且a＞0即可，‎ 即得，即a≥2，‎ 故答案为：a≥2‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据可行域与直线的关系结合数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是　（﹣∞，﹣2）∪（0，2）　．‎ ‎【分析】根据题意，由函数在（0，+∞）的单调性以及特殊值分析可得当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，又由函数为偶函数可得当﹣2＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣2时，f（x）＞0，而不等式可以变形为或，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，‎ 则当0＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，‎ 又由函数f（x）为偶函数，则当﹣2＜x＜0时，f（x）＜0，当x＜﹣2时，f（x）＞0，‎ ‎＜0⇒＜0⇒f（x）•x＜0⇒或，‎ 则有0＜x＜2或x＜﹣2，‎ 即不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将不等式转化为 或．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在△ABC中，已知a=x，b=2，∠B=60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是　2＜x＜．　．‎ ‎【分析】利用正弦定理列出关系式，将b，sinB的值代入表示出a，根据A的范围确定出sinA的范围，即可求出x的范围．‎ ‎【解答】解：由正弦定理得，‎ ‎∴a=sinA，A+C=180°﹣60°=120°，‎ 由题意得：A有两个值，且这两个值之和为180°，‎ ‎∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°，‎ 若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，‎ ‎∴＜sinA＜1，‎ ‎∵x=sinA，‎ 则2＜x＜．‎ 故答案为：2＜x＜．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（12分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且2asinB=b．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinA的值，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入利用完全平方公式化简，再将b+c的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．‎ ‎【解答】解：（1）将2asinB=b，利用正弦定理化简得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinA=，‎ ‎∵A为锐角，∴A=60°；‎ ‎（2）∵a=6，A=60°，b+c=8，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，‎ 整理得：bc=，‎ 则S△ABC=bcsinA=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知数列{an}为等差数列，a2=3，a4=7；数列{bn}为公比为q（q＞1）的等比数列，且满足集合{b1，b2，b3}={1，2，4}．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{an}的首项和公差，从而可得其通项公式；通过等比数列{bn}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4，进而可求出首项和公比，从而可得通项公式；‎ ‎（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a1、d，‎ ‎∵a2=3，a4=7，‎ ‎∴a1+d=3，a1+3d=7，‎ 解得：a1=1，d=2，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，‎ ‎∵等比数列{bn}成公比大于1的等比数列且{b1，b2，b3}={1，2，4}，‎ ‎∴b1=1，b2=2，b3=4，‎ ‎∴b1=1，q=2，‎ ‎∴bn=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知Sn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）‎ ‎=+‎ ‎=n2+2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinA=3asinC，cosA=．‎ ‎（1）若b=3，求a的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求sinB的值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，根据a不为0得到b=3c，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosA，将各自的值代入即可求出a的值；‎ ‎（2）利用平方关系求出sinA，结合三角形面积求出b，c的值，再由余弦定理求得a，最后由正弦定理求得sinB的值．‎ ‎【解答】解：（1）利用正弦定理化简bsinA=3asinC，得：ab=3ac，‎ ‎∵a≠0，∴b=3c，‎ 把b=3代入得：c=1，‎ 由余弦定理得：cosA===，‎ 解得：a=；‎ ‎（2）∵cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 由S△ABC=bc•sinA=•3c2•=，得c=，‎ ‎∴b=3，‎ 由a2=b2+c2﹣2bc•cosA=18+2﹣2×3××=12，‎ 得a=2，‎ 由=，得sinB=sinA=×=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．‎ ‎（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎【分析】（1）由题意可知当m=0时，x=1由满足x=3﹣，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；‎ ‎（2）对于（1）中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知当m=0时，x=1（万件），‎ ‎∴1=3﹣k⇒k=2．（2分）‎ ‎∴x=3﹣．‎ 每件产品的销售价格为1.5×（元），（4分）‎ ‎∴2010年的利润y=x•﹣（8+16x+m）（6分）‎ ‎=4+8x﹣m=4+8﹣m ‎=﹣+29（m≥0）．（8分）‎ ‎（2）∵m≥0时，+（m+1）≥2=8，（12分）‎ ‎∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=m+1⇒m=3（万元）时，‎ ymax=21（万元）．（15分）‎ 所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．（15分）‎ ‎【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）讨论m=0，m＜0且判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；‎ ‎（2）由参数分离和二次函数的最值求法，由恒成立思想，可得m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）对于x∈R，f（x）＜0恒成立，‎ 即有m=0时，﹣1＜0恒成立；‎ 当m＜0，且判别式△＜0即为m2+4m＜0，‎ 解得﹣4＜m＜0，‎ 综上可得，m的范围是（﹣4，0]；‎ ‎（2）对于x∈[1，2]，f（x）＜5﹣m恒成立，‎ 即为m＜在[1，2]恒成立，‎ 由x2﹣x+1∈[1，3]，可得的最小值为2，‎ 即有m＜2，即m的范围为（﹣∞，2）．‎ ‎【点评】本题考查不等式恒成立与存在性，以及无解的问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的图象，属于中档题和易错题．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且﹣1，Sn，an+1成等差数列，n∈‎ N*，a1=1．函数f（x）=log3x．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）设数列{bn}满足bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与﹣的大小．‎ ‎【分析】（I）依题意可求得=3（ n≥2），再由2S1=2a1=a2﹣1，a1=1即可求得{an}是以1为首项3为公比的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）依题意可求得bn=（﹣），利用累加法可求得Tn，从而通过分类讨论即可比较Tn与﹣的大小．‎ ‎【解答】解：（I）∵﹣1，Sn，an+1成等差数列，‎ ‎∴2Sn=an+1﹣1①‎ 当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1②．‎ ‎①﹣②得：2an=an+1﹣an，‎ ‎∴=3．‎ 当n=1时，由①得2S1=2a1=a2﹣1，又a1=1，‎ ‎∴a2=3，故=3．‎ ‎∴{an}是以1为首项3为公比的等比数列，‎ ‎∴an=3n﹣1…（7分）‎ ‎（II）∵f（x）=log3x，‎ ‎∴f（an）=log3an==n﹣1，‎ bn===（﹣），‎ ‎∴Tn=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]‎ ‎=（+﹣﹣）‎ ‎=﹣…（9分）‎ 比较Tn与﹣的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）‎ ‎2（n+2）（n+3）﹣312=2（n2+5n+6﹣156）=2（n2+5n﹣150）=2（n+15）（n﹣10），‎ ‎∵n∈N*，‎ ‎∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即Tn＜﹣；‎ 当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即Tn=﹣；‎ 当n＞10且n∈N*时，2（n+2）（n+3）＞312，即Tn＞﹣．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，突出考查裂项法求和，着重考查分类讨论思想与转化思想的综合应用，属于难题．‎ ‎　‎