数学理卷·2018届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试（2017

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测 数学（理）试题 第I卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，则下列命题中正确的个数为 ‎① ② ③的虚部为 ④在复平面上对应点在第一象限 A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知集合，集合，则集合且为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．下列说法正确的是 A．“，若，则且”是真命题 B．在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称．‎ C．命题“，使得”的否定是“，都有”‎ 第5题图 D．，“ ”是“”的充分不必要条件 ‎5．如图，在中，，是上的一点，‎ 若，则实数的值为 ‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=尺，一丈=尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎8．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在0的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是(　　)小时．‎ A． B． C． D． ‎ 第9题图 ‎9．已知函数的部分图像如所示，为了得到的图像需将的图像 A．向右平移个单位长度 ‎ B．向左平移个单位长度 ‎ C．向右平移个单位长度 ‎ D．向左平移个单位长度 ‎10．已知定义在上的偶函数，满足，且时，，则方程在区间[]上根的个数是 A． B． C． D．‎ ‎11．在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值为 A． B． C． D． ‎ ‎12．设函数（其中为自然对数的底数）恰有两个极值点，则下列说法中正确的是 A． B． ‎ C． D． ‎ 第II卷 二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．函数的单调递增区间是________．‎ ‎14．已知向量，，且，则 ．‎ ‎15．已知数列的通项公式为，当 取得最大值时，的值为_________．‎ ‎16．若函数满足（其中），则称函数为“中心对称函数”，称点为函数的“中心点”．现有如下命题：‎ ①函数是“中心对称函数”；‎ ②若“中心对称函数”在上的“中心点”为，则函数是上的奇函数；‎ ③函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为；‎ ④函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为．‎ 其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的对称中心；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值．‎ ‎18．（本小题满分12分)‎ 已知函数＝＋()．‎ ‎（Ⅰ）当时，若方程－＝0有解，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）试讨论的奇偶性．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知数列，，为数列的前项和，且满足，，（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）试问能否为等差数列，请说明理由；‎ ‎（III）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求．‎ ‎20．（本小题满分12分)‎ 已知函数（，为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中 ‎．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且．‎ ‎（Ⅰ）若在距离点处，求点之间的距离；‎ 第21题图 ‎ ‎（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小．试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知数列满足．‎ ‎（Ⅰ）设，，证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：（为自然对数底数）；‎ ‎（Ⅲ）设 ，，试比较与与的大小关系，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎1． C ‎ ‎2． D ‎ ‎3． D ‎ ‎4． B ‎ 第6题图 ‎5． A ‎ ‎6． B ‎ ‎7． C ‎ ‎8． C ‎ ‎9． A　 ‎ ‎10． B ‎ ‎11． B ‎ ‎12． C ‎ 第II卷 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上．‎ ‎13． 或 ‎ ‎14． ‎ ‎15． ‎ ‎16．①②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17． ‎ 解：（I）因为=‎ ‎=‎ ‎= ………4分 ‎ 所以的对称中心为 ……………5分 ‎ （II）由（I）得，==， …………7分 因为，所以，‎ 所以当时，即时，的最大值是； ‎ 当时，即时，的最小值是． …………10分 ‎18．（本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由＝＝－，∴＝＝．‎ ‎∵，∴≥． ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）依题意得定义域为,关于原点对称 ‎ ‎∵＋，－，‎ 令，得＝，即＝，‎ ‎∴对一切恒成立．‎ ‎∴时，此时函数是偶函数……………………9分 ‎∵，∴函数不是奇函数，‎ 综上，当时，函数是偶函数；当时，函数是非奇非偶函数． …………12分 ‎19、(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ 当时，由，得：，则，‎ 综上，是公比为2，首项为2的等比数列，；………………3分 ‎（Ⅱ）是等差数列，理由如下：‎ ‎∵，∴，∵，∴‎ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列，且；…7分 ‎（Ⅲ）令 ‎ ‎ ①-②，得：‎ ‎ 所以． ……………… ………12分 ‎20．（本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域为，．‎ 当时，，∴在上为增函数；‎ 当时，由得，‎ 当时，，∴函数在上为减函数，‎ 当时，，∴函数在上为增函数……4分 ‎（Ⅱ）当时，，‎ ‎∵在上为增函数；∴在上恒成立，即在上恒成立， …………………………6分 令，，则，‎ 令，在上恒成立，‎ 即在上为增函数，即，‎ ‎∴，即在上为增函数，∴，‎ ‎∴，所以实数的取值范围是． ………………12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）在中，因为，所以，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以，‎ 在中，‎ ‎，‎ 在中，由，得；… ………6分 ‎（Ⅱ）解法1：设 ，‎ 在中，由，得，‎ 在中，由，得，‎ 所以 ‎＝＝‎ ‎＝ ‎ ‎＝．‎ 当，即时，的最小值为．‎ 所以应设计，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2…12分 解法2：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，‎ 所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，‎ 在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝，‎ 由＝，得ON＝·＝，‎ 所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3，‎ 令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则：‎ S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为，‎ 所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）即证：，‎ 即证：，‎ 设，，‎ ‎∵当时，，在上单调递增，‎ 当时，，在上单调递减，‎ ‎∴（当且仅当时等号成立），‎ 即时，有，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ……………………………4分 ‎（用数学归纳法给分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当且时，有，‎ 即当且时，有，‎ 因为，所以 ，‎ 即 ………………………………………8分 ‎（Ⅲ），理由如下： ‎ 解法一：由（Ⅱ）知：‎ ‎，‎ ‎ 设 ，因为，‎ ‎，‎ 所以 ………………12分 解法二：因为， 且，所以 下面用数学归纳法证明：‎ 时，，即，‎ ‎①当时，左边，即当时不等式成立；‎ ‎②假设当时不等式成立，即，‎ ‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 所以当时，不等式也成立；‎ 综合①②时，，‎ 即成立，‎ 所以．‎