2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练55+坐标系

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练55+坐标系

课时分层训练(五十五)　坐标系 ‎(对应学生用书第306页)‎ ‎1．在极坐标系中，求点到直线ρsin＝1的距离．‎ ‎[解]　点化为直角坐标为(，1)， 3分 直线ρsin＝1化为ρ＝1，‎ 得y－x＝1，‎ 即直线的方程为x－y＋2＝0， 6分 故点(，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1. 10分 ‎2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0， 4分 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0. 6分 ‎(2)由得 8分 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为. 10分 ‎3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－， 2分 OA＝ODcos或OA＝ODcos，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos. 4分 ‎(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1， 6分 ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，‎ 又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，‎ ‎∴直线l过圆C的圆心， 8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2. 10分 ‎4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值. ‎ ‎【导学号：00090370】‎ ‎[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0， 2分 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. 4分 ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)． 8分 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4. 10分 ‎5．(2018·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的普通方程为＋＝1，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若A，B是曲线C2上的两点，且OA⊥OB，求＋的值．‎ ‎[解]　(1)依题意，曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，‎ ‎ 2分 曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝16(只要写出ρ，θ的关系式均可).‎ ‎ 4分 ‎(2)曲线C2的极坐标方程为＋＝1，设A(ρ1，θ)，B，代入C2的极坐标方程得＋＝1，＋＝1， 6分 故＋＝＋＋＋＝， 9分 ‎∴＋＝. 10分 ‎6．(2018·大同模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋. 【导学号：00090371】‎ ‎[解]　(1)曲线C1的参数方程为(α为参数)，直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－4x－4y＋7＝0，极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0. 2分 直线C2的方程为y＝x，极坐标方程为tan θ＝； 4分 ‎(2)直线C2与曲线C1联立，可得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 6分 设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，8分 ‎∴＋＝＝. 10分