数学理·江西师范大学附属中学2017届高三10月月考理数试题+Word版含解析]

数学理·江西师范大学附属中学2017届高三10月月考理数试题+Word版含解析]

全*品*高*考*网， 用后离不了！江西师范大学附属中学2017届高三10月月考 理数试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：集合运算．‎ ‎2.设，则且是的（ ）‎ A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由不等式性质可知：当且时，必有，所以充分性成立，但时，不能保证且，所以必要性不成立，因此且是的充分不必要条件，故选D.‎ 考点：充要条件．‎ ‎3.已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的 是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：结合指数函数的性质可知当时，，所以为真命题，，当且仅当即时，等号成立，所以为假命题，为真，所以为真命题.‎ 考点：命题的真假判断及复合命题.‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又在区间内是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当时，在内递减，所以A错误，在是减函数，所以B错误，为奇函数，所以D错误，故选C.‎ 考点：函数奇偶性和单调性．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 考点：同角三角函数的基本关系、诱导公式与二倍角公式.‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数图像关于原点对 称，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，把其图象向右平移个单位长度后，所得的函数，其图象关于原点对称，所以，，令得．‎ 考点：三角函数的图象变换与性质．‎ ‎7.已知函数，为的导函数，则 ‎（ ）‎ A. 0 B. 2016 C. 2017 D. 8‎ ‎【答案】D 考点：函数奇偶性的应用．‎ ‎8.已知定义在R上的偶函数，记，，‎ 则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为是上的偶函数，所以，且在上的增函数，，所以，即，故选C.‎ 考点：分段函数的单调性．‎ ‎9.已知函数，若对任意都有，则 实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，令，则，对于任意都有的充要条件是解得，故选C.‎ 考点：不等式恒成立.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，不等式在给定区间上的恒成立问题，属于中档题.题目给出的解析式同时包含了，所以根据三角函数基本关系进行消元，然后换元为在区间上的恒成立问题，根据三个二次的关系列出满足条件的不等式组求解.‎ ‎10.设为函数的零点，且满足，则这样的零点有（ ）‎ A. 61个 B. 63个 C. 65个 D. 67个 ‎【答案】C 考点：函数的零点．‎ ‎11.已知函数，若是的一个单调递增区间，则的取值范 围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由于是的一个单调递增区间，即是的一个单调递减区间，令可得，且，又因为，解得故选C.‎ 考点：的图象与性质．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了的性质求其解析式，属于中档题.解答本题时，先根据复合函数的单调性法则把的单调性转化为正弦型函数的单调性，再根据正弦函数的单调递增区间求出的递减区间，比较与其单调区间的端点，列出不等式，求得参数的取值范围.‎ ‎12.已知定义在上的函数和分别满足，‎ ‎，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D 考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.解答本题首先对求导，求出，进而得到函数的解析式，对于的应用，应考虑构造函数，求导即可得到其单调性，从而有，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：表示抛物线与半圆在上围成的封闭图形的面积.因为，所以．‎ 考点：定积分的几何意义． ‎ ‎14.设为定义在上的奇函数，当时，，则= ．‎ ‎【答案】 ‎ 考点：函数奇偶性的应用．‎ ‎15.已知函数的部分图像如图所示，则曲线在 ‎ 处在的切方程为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图象可知,，把代入可得，所以，即，又，所以时，，所以，，，所以曲线在处在的切方程为．‎ 考点：正弦函数的图象与解析式、导数的几何意义. ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与解析式、导数的几何意义，考查了待定系数法，属于中档题.先根据题中给出的图象求正弦函数的解析式时，应注意各个参数对图象的影响，影响着函数图象的振幅，决定周期，初相 优先选择函数的一个最值点，根据其范围求得解析式，最后根据导数的几何意义求出切线的斜率，由直线方程的点斜式求得切线方程.‎ ‎16.已知点为的重心，且满足，若则实数= ．‎ ‎【答案】‎ 考点：正余弦定理、同角三角函数的基本关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，三角形的重心性质，考查考生的运算能力，属于难题.解答本题首先根据三角形的重心性质和，利用平面向量的数量积运算与性质得到，也就得到了三角形三边的关系，分离参数，由通过角三角函数的基本关系求得其值.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题10分） 已知函数的定义域为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据偶次根式的被开方数非负及对数的真数大于零列出不等式组即得定义域（2）换元，把原函数化成的最值问题求解.‎ 试题解析：（1）.................................6分 ‎（2），令 ‎........................................................12分 考点：函数的定义域、二次函数的最值.‎ ‎18.（本小题12分）的内角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎......................................6分 ‎（2）....................................8分 又 ‎，......................................10分 的周长为................................................................12分 考点：正余弦定理解三角形.‎ ‎19.（本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面，与都是边 长为2的等边三角形，，与平面所成的角为，且点E在平面上的射影落在 的平分线上.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）由题意知、为边长2的等边 取的中点，连接，，‎ 则，. 又平面平面，平面，作平面，‎ 那么，根据题意，点落在上，和平面所成的角为，， ，，四边形是平行四边形，.‎ 平面ABC，平面， 平面 ‎............................6分 ‎（2）建立空间直角坐标系，则，，， ‎ 平面的一个法向量为..........................................8分 设平面的法向量 则 ‎ 取，...............................................................10分 ‎，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为. .................................................12分 考点：空间中直线与平面的平行于垂直关系、二面角.‎ ‎20.（本小题12分）如图所示，在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负 半轴重合，终边交单位圆于点A，，将角的终边绕原点逆时针方向旋转交单位圆于点B，‎ 过B作轴于C.‎ ‎（1）若点A纵坐标为，求点的横坐标；‎ ‎（2）求面积S的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据三角函数的定义用的三角函数表示出点的坐标，求出角，即得的横坐标；（2）因为，根据三角恒等变换化简得,求出的范围，找出最大值点，求出最大值.‎ 试题解析：（1）定义得A,依题意可知，所以，所以的横坐标为................5分 考点：三角函数的定义、三角恒等变换、三角函数的值域.‎ ‎21.（本小题12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个 焦点构成的三角形的面积为，圆C方程为.‎ ‎（1）求椭圆及圆C的方程；‎ ‎（2）过原点O作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程，圆的方程为；（2）或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由离心率为可得，结合得，根据以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形面积为可得，从而求的，得到椭圆和圆的方程；（2）设出直线的方程，整理方程组，由判别式求出直线斜率的范围，韦达定理得到坐标的关系，根据向量数量积的坐标表示列出方程，求的斜率.‎ 试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为，由椭圆的离心率为可得，即，所以...............................3分 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，即，‎ 所以椭圆的方程，圆的方程为..................5分 ‎（2）①当直线的斜率不存时，直线方程为，与圆C相切，不符合题意..................6分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线方程，‎ 由可得，‎ 由条件可得，即........................8分 设，，则，‎ 而圆心C的坐标为（2，1）则，‎ 所以，‎ 即 所以解得或...................10分.‎ 或..................................................................12分 考点：圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了圆、椭圆的标准方程及其几何性质，直线与圆的位置关系.，属于中档题.根据椭圆的离心率和三角形的面积列出的方程，求出椭圆和圆的方程；题中给出了直线与圆的两个交点与定点之间的关系，所以直线与圆的位置关系采用方程法处理，转化为研究它们交点坐标的关系，通过平面向量的数量积运算求解.‎ ‎22.（本小题12分）已知函数，.‎ ‎（1）设函数若在区间上单调，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ 试题解析：（1）由题意得，所以，因为，‎ 所以...............................................2分 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以..................................................................4分 若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，‎ 即在上恒成立，所以.............................................5分 综上，实数的取值范围为.....................................6分 ‎（2）设 则设，则，所以在上单调递增，‎ 由，得，存在唯一的使得，‎ 所以在上有，在上有 所以在上单调递减，在递增................................10分 所以，故................................12分 考点：利用导数研究函数的单调性和极值、最值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.给出函数在某个区间上的单调性，通常转化为函数的恒成立问题；证明不等式往往是根据题意构造新函数，转化为求函数的最值，本题中因为导函数的零点不能直接求出，可通过设出零点，再证明函数在其两侧的单调性，说明其为最小值点，证其大于零.‎ ‎ ‎