数学文卷·2019届吉林省长春汽车经济技术开发区六中高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届吉林省长春汽车经济技术开发区六中高二上学期期中考试（2017-11）

汽车区六中高二年级2017~2018学年度上学期期中考试 数学（文）学科 命题人： 审题人： ‎ 考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。‎ ‎ 2.考试完毕交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知椭圆的标准方程，则椭圆的焦点坐标为（ ）‎ A．， B.， ‎ C．， D．，‎ ‎2．双曲线2x2-y2=8的实轴长是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎3．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，则双曲线的虚轴长为（ ）‎ A. 4 B. 8 C. D. ‎ ‎4．抛物线y=a x2的准线方程为y=2，则实数a的值为 A. － B. C. 8 D. －8‎ ‎5．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）‎ A. A与C互斥 B. B与C互斥 C. 任两个均互斥 D. 任两个均不互斥 ‎6．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）‎ A. 回归直线一定过样本中心 B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 ‎7．设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足 ‎，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知直线过点且与椭圆相交于两点，则使得点为弦中点的直线斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．方程表示的曲线为C，给出下面四个命题，其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若曲线C为椭圆，则1＜t＜4；②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；‎ ‎③曲线C不可能是圆；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则。‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，过P作圆的切线PA,PB,切点为A,．B使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．抛物线的焦点坐标为___________‎ ‎14．已知直线交椭圆于、两点，椭圆的右焦点为点，则的周长为__________．‎ ‎15．一动圆与两圆(x+2)2+y2=1,(x-2)2+y2=4都外切,则动圆圆心的轨迹方程为_________________.‎ ‎16．已知为双曲线的一条渐近线， 与圆（其中）相交于两点，若，则的离心率为__________．‎ 第Ⅱ卷 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中， ，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第周）和市场占有率（﹪）的几组相关数据如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎0.03‎ ‎0.06‎ ‎0.1‎ ‎0.14‎ ‎0.17‎ ‎（Ⅰ）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过﹪（最后结果精确到整数）.‎ ‎ 参考公式： ， ‎ ‎19．（本题满分12分）已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）记，求的前n项和 ‎20．（本题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中，从男生中随机抽取了70人，从女生中随机抽取了50人，男生中喜欢数学课程的占，女生中喜欢数学课程的占，得到如下列联表.‎ 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女生 合计 ‎（1）请将列联表补充完整；试判断能否有90%的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关；‎ ‎（2）从不喜欢数学课程的学生中采用分层抽样的方法，随机抽取6人，现从6人中随机抽取2人，求抽取的学生中至少有1名是女生的概率..‎ 附：，其中.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎21. （本题满分12分）已知抛物线C：过点A （1 , -2）.‎ ‎（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程.‎ ‎（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎22．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为 ‎，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；‎ ‎②已知点，求证：为定值.‎ 高二年级2017~2018学年度上学期期中考试答案 ‎1~6 CCBABD 7~12 DACCBC ‎13． 14．20 15． =1(x<0)‎ ‎16．【解析】由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，‎ 圆(x−c)2+y2=a2的圆心(c,0)，半径为：a，‎ 为双曲线C: 的一条渐近线, 与圆(x−c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A，B两点，若|AB|=a，‎ 可得 ,可得，4(c2−a2)=3a2，解得.‎ ‎17．【解】（1）由正弦定理可得 ‎（2）由余弦定理可得，.‎ ‎ ‎ ‎18．解：（Ⅰ）由题中的数据可知： ， ‎ ‎ ‎ 所以y关于x的线性回归方程： ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，解得，‎ 所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过﹪ ‎ ‎19．【解析】（1）设的公差为，∵，，∴， ……1分 ‎∴． ……2分 ‎∴． ……3分 ‎（2）当时，，由，得． ……4分 当时，，，‎ ‎∴，即． ……6分 ‎ ∴．∴是以为首项，为公比的等比数列． ……7分 ‎（3）由（2）可知：． ……8分 由分组求和法，可得 ……12分 ‎20． 【解析】‎ ‎（Ⅰ）列联表补充如下：‎ 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男生 女生 合计 由题意得，‎ ‎∵，∴没有的把握认为喜欢数学课程与否与性别有关．‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是，则抽取男生人，抽取女生人．‎ 记抽取的女生为，抽取的男生为，从中随机抽取名学生共有种情况：‎ ‎ ．‎ 其中至少有名是女生的事件为：有种情况．记“抽取的学生中至少有名是女生”为事件，则．‎ ‎21.（1）将代入，得，，‎ 故所求的抛物线方程为，其准线方程为. ‎ ‎（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得.因为直线与抛物线C有公共点，所以22-4×1×（-2t）=，解得.另一方面，由直线OA与直线的距离等于可得.由于所以符合题意的直线存在，其方程为.‎ ‎22．解：(Ⅰ)因为满足，‎ ‎.解得，则椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）(1）将代入中得 且 因为中点的横坐标为，所以，解得 ‎（2）由（1）知，‎ 所以