数学理卷·2019届四川省成都外国语学校高二10月月考（2017-10）

数学理卷·2019届四川省成都外国语学校高二10月月考（2017-10）

成都外国语学校 2017-2018 学年度高二上期十月月考 数学试题(理科) 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。 2. 本堂考试 120 分钟，满分 150 分。 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密 封线内。 4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。 第Ⅰ卷（60 分） 一．选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的）。 1.圆 关于原点对称的圆的方程是( A ) A. B. C. D. 2.设 则“ 且 ”是“ ”的( A ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 3．椭圆 的左右焦点分别为 ,一直线过 交椭圆于 A，B 两点， 则 的周长为 （ B ） A.32 B.16 C. 8 D. 4 4. 已知命题 ；命题 ， 下列命题为 真命题的是（ B ） A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q 5．已知点 M（a,b）（ab≠0），是圆 内一点，直线 m 是以 M 为中点的弦所 在的 直线，直线 的方程是 ，则（ C ） A. ∥m 且 与圆相交 B. ⊥m 且 与圆相切 C. ∥m 且 与圆相离 D. ⊥m 且 与圆相离 6. 已知椭圆 C： ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线 段 A1A2 为 直径的圆与直线 相切，则 C 的离心率为（ A ） A． B． C． D． 7．已知 为椭圆 上的一点， 分别为圆 和圆 上的点，则 的最小值为（ B ） A．5 B．7 C．13 D．15 8．平面内到点（1，1）的距离为 1 且到点（1，4）的距离为 2 的直线有（ C ）条。 A. 1 B. 2 C.3 D.4 9．若关于 的方程 有且只有两个不同的实数根，则实数 的 取值范围是 ( D ) A. B. C. D. 10.已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的 直线与 相交于 两点．若 ，则 （ B ） A.1 B. C. D.2 11．已知椭圆 ，点 为其长轴 AB 的 6 等分 点，分别过这五点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 C 于 ，则 10 条直线 的斜率乘积为（ D ） A. B. C. D. 【解析】设其中的任一等分点为 ，过 的直线交椭圆于点 、 ，不妨设直线 的方程为 ，则与椭圆方程联立 可得： 整理后可得 ． 从中可以得到 所以 ． 当分别取 、 、 、 、 时，算出斜率的乘积为 ． 12．关于下列命题,假命题的个数是（ C ） （1）若点 在圆 外，则 或 . （假） （2）已知圆 与直线 ，对于 ，总 使直线与圆恒相切. （假） （3）已知点 P 是直线 上一动点，PA、PB 是圆 C： 的两条切 线，A、B 是切点，则四边形 PACB 的最小面积是为 2 . （真） （4）设直线系 ， 中的直线所能围成的正三角形 面积等于 .（假） A．1 B.2 C.3 D．4 第Ⅱ卷（90 分） 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷上的相应位 置）. 13.若 为圆 的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程是 ▲ . . 14．若命题“ ,使得 ”是假命题, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 15. 在平面直角坐标系 中，已知△ABC 顶点 和 ，顶点 B 在椭圆 上，则 ▲ . 16．已知以 为周期的函数 ，其中 。若方程 恰有 5 个实数解，则 的取值范围为 ▲ . 三、解答题：(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。 17．（本小题满分 10 分）已知 . （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 x 的取值范围． 解：（1） 由题知 ： ． 因为 是 的充分条件，所以 是 的子集， 所以 解得 ．所以实数 的取值范围是 ． （2） 当 时， ： ，依题意得， 与 一真一假． 当 真 假时，有 无解； 当 假 真时，有 解得 或 ． 所以实数 的取值范围为 ． 18.（本小题满 12 分）已知 的顶点 ，AB 边上的中线 CM 所在直线 方程为 ，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 ．求： （1）顶点 C 的坐标； （2）直线 BC 的方程． 解： （1） ， ， 直线 的方程为 ，整理得 ． 由 解得 顶点 的坐标为 ． （2） 设顶点 的坐标为 ，点 在直线 上， 线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上， ，整理得 由 联立，解方程组得 ， ，即点 的坐标为 ． 又 ， 直线 的方程为 ，整理得 ． 19．（本小题满分 12 分）椭圆 与直线 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2，OC 的斜率为 22，求椭圆的方程． 解析 方法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆方程并作差，得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而 y1－y2x1－x2＝－1， y1＋y2x1＋x2＝kOC＝ 22， 代入上式可得 b＝a. 再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2， 其中 x1，x2 是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0 的两根． 故( 2ba＋b)2－4· b－1a＋b＝4.将 b＝a 代入，得 a＝ 13，∴b＝ 23. ∴所求椭圆的方程是 x23 ＋ 2y23 ＝1. 方法二：由 ax2＋by2＝1， x＋y＝1， 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝· 4b2－4（a＋b）（b－1） （a＋b）2 . ∵|AB|＝2，∴ a＋b－aba＋b ＝1.① 设 C(x，y)，则 x＝ x1＋x22 ＝ ba＋b，y＝1－x＝ aa＋b. ∵OC 的斜率为 22，∴ ab＝ 22. 代入①，得 a＝ 13，b＝ 23. ∴椭圆方程为 x23 ＋ 23y2＝1. 方法三：利用中点弦的斜率求解 20.（本小题满分 12 分）平面上两点 ，在圆 上 取一点 ，求:① 恒成立，求 的范围 ②求 的最值及此时点 的坐标。 解析：①由 ，得 ，由圆的参数方程的 ，所以 ②设 ，则 ，此为圆 上的点到原点的距离平方，所以最小值为 20， ；最大值为 100， 。 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： （a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1）， P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为– 1， 求证： 过定点. 试题解析：（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点. 又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上. 因此 ，解得 . 故 C 的方程为 . （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知 ，且 ，可得 A，B 的坐标分别为（t， ）， （t， ）. 则 ，得 ，不符合题设. 从而可设 l： （ ）.将 代入 得 由题设可知 . 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2= ，x1x2= . 而 . 由题设 ，故 . 即 . 解得 . 当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ， 所以 l 过定点（2， ） 22．（本小题满分 12 分）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的 离心率为 ，左、右焦点分别是 ，以 为圆心以 3 为半径的圆与以 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 上. (Ⅰ)求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 ， 为椭圆 上 任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 . ( i )求 的值； （ii）求 面积的最大值. 试题解析：（I）由题意知 ，则 ,又 可得 , 所以椭圆 C 的标准方程为 . （II）由（I）知椭圆 E 的方程为 , (1) 设 ， ，由题意知 因为 , 又 ，即 ,所以 ，即 . （ii）设 将 代入椭圆 E 的方程， 可得 由 ，可得 … 则有 所以 因为直线 与轴交点的坐标为 所以 的面积 令 ,将 代入椭圆 C 的方程可得 由 ，可得 …………………………………………② 由①②可知 因此 ,故 当且仅当 ，即 时取得最大值 由（i）知， 面积为 ,所以 面积的最大值为 .