专题03+逻辑联结词、全称量词与存在量词-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题03+逻辑联结词、全称量词与存在量词-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题03 逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义 ‎2．理解全称量词与存在量词的意义 ‎3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断　 ‎ 例1、【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【提分秘籍】‎ ‎(1)判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎①先判断简单命题p，q的真假。‎ ‎②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假。‎ ‎(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ‎①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假。‎ ‎②p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真。‎ ‎③p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假。‎ ‎④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真。‎ ‎⑤綈p真⇔p假；綈p假⇔p真。‎ ‎【举一反三】 ‎ 命题p：函数f(x)＝x3－3x在区间(－1,1)内单调递减，命题q：函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∨q C．p∨q D．(綈p)∧(綈q)‎ 解析：由f′(x)＝3x2－3＜0，解得－1＜x＜1，故函数f(x)＝x3－3x在区间(－1,1)内单调递减，即命题p为真命题；函数y＝sin2x的最小正周期为π，则函数f(x)＝|sin2x|的最小正周期为，即命题q为假命题．由于p真、q假，故p∧q为假命题，p∨q为真命题；由于綈p假、q假，故(綈p)∨q为假命题；由于綈p假，綈q真，故(綈p)∧(綈q)为假命题。‎ 答案：C 热点题型二 全称命题、特称命题的真假判断 例2、(1)下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R，x2≥0‎ B．∀x∈R,2x－1＞0‎ C．∃x0∈R，lgx0＜1‎ D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2‎ ‎(2)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x，命题q：∃x0∈R，x＝1－x，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)‎ 答案：(1) D (2) B ‎【提分秘籍】 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 ‎ 【举一反三】 ‎ 已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　)‎ A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m)‎ B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m)‎ C．∀x∈R，f(x)≤f(m)‎ D．∀x∈R，f(x)≥f(m)‎ 解析：因为a＞0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值，所以f(m)是函数f(x)的最小值。故选C。‎ 答案：C 热点题型三 含有一个量词的命题的否定 ‎ 例3．(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　)‎ A．綈p：∃x0∈A,2x0∈B B．綈p：∃x0∉A,2x0∈B C．綈p：∃x0∈A,2x0∉B D．綈p：∀x∉A,2x∉B ‎ (2)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是(　　)‎ A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0‎ B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0‎ C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0‎ D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0‎ 答案：(1) C (2) C 解析：(1)命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是綈p：∃x0∈A,2x0∉B。‎ ‎(2)由于对任意的x1，x2∈R都有(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，要否定这个命题，则只要存在x1，x2∈R，使(f(x2‎ ‎)－f(x1))(x2－x1)≥0不成立即可，即使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0，故已知命题的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜‎0”‎。‎ ‎【提分秘籍】‎ 对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知命题p：∃x0＞1，x－1＞0，那么綈p是(　　)‎ A．∀x＞1，x2－1＞0　　　B．∀x＞1，x2－1≤0‎ C．∃x0＞1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0‎ 解析：特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀x＞1，x2－1≤0，故选B。‎ 答案：B 热点题型四 由命题真假求参数的取值范围 例4、已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立。若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围。‎ ‎①当p真，q假时，‎ ‎{a|a＞1}∩{a|a≥4}＝{a|a≥4}。‎ ‎②当p假，q真时，‎ ‎{a|0＜a≤1}∩{a|0＜a＜4}＝{a|0＜a≤1}。‎ 故a的取值范围是{a|0＜a≤1或a≥4}。‎ ‎【提分秘籍】‎ 解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)，然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知c＞0，命题p：函数y＝cx在R上单调递减，q：不等式x＋|x－‎2c|＞1的解集为R，p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围。‎ 解析：函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1。‎ 不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1。∵x＋|x－2c|＝ ‎∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c。‎ 不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞。‎ 如果p正确，且q不正确，则0＜c≤；‎ 如果p不正确，且q正确，则c≥1。‎ ‎∴c的取值范围为∪[1，＋∞)。‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.‎ ‎【2016高考山东理数】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.‎ ‎【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.‎ ‎【2016高考上海理数】设，则“”是“”的（ ） ‎ （A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，所以是充分非必要条件，选A.‎ ‎【2015高考湖北，理5】设，. 若p：成等比数列；‎ q：，则（ ）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 ‎ B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 ‎ D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【答案】A ‎【2015高考天津，理4】设 ，则“ ”是“ ”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】,或，所以 ‎“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【2015高考重庆，理4】“”是“”的（　　 ）‎ A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，因此选B.‎ ‎【2015高考安徽，理3】设，则是成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A.‎ ‎【2015高考湖南，理2】.设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.‎ ‎【2014·安徽卷】“x＜‎0”‎是“ln(x＋1)＜‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－1‎1”‎是“{an}为递增数列”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0b”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.‎ ‎【2014·浙江卷】 已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.‎ ‎【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．綈p∧綈q ‎ C．綈p∧q D．p∧綈q ‎【答案】D　‎ ‎【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．设命题p：函数y＝在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈(0，＋∞)，当a＋b＝1时，＋ ‎＝3.以下说法正确的是(　　)‎ A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p真q假 D．p，q均假 ‎2．下列命题中正确的是(　　)‎ A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件 C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α D．命题“∀x∈R,2x>‎0”‎的否定是“∃x0∈R,2x0≤‎‎0”‎ 解析：选项A中，命题“p∧q”为假命题；选项B中，“sinα＝”是“α＝”的必要不充分条件；选项C中，直线l可能在平α内；选项D正确．‎ 答案：D ‎3．命题p： ∀x∈ [0，＋∞)，(log32)x≤1，则(　　)‎ A．p是假命题，綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1‎ B．p是假命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1‎ C．p是真命题， 綈p：∃x0∈[0，＋∞)，(log32) x0>1‎ D．p是真命题，綈p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1‎ 解析：因为01.‎ 答案：C ‎4．已知命题p：∀a∈R，且a>0，a＋≥2，命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是假命题 B．q是真命题 C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题 解析：由均值不等式知p为真命题；因为sinx0＋cosx0＝sin(x0＋)≤，所以q为假命题，则綈q为真命题，所以p∧(綈q)为真命题．故选C.‎ 答案：C ‎5．已知命题p：|x－1|≥2，命题q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为(　　)‎ A．{x|x≥3或x≤－1，x∈Z}‎ B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}‎ C．{0,1,2}‎ D．{－1,0,1,2,3}‎ 解析：由题意知q真，p假，∴|x－1|<2.‎ ‎∴－1sinx，则命题綈p为(　　)‎ A．∃x0∈，tanx0≥sinx0‎ B．∃x0∈，tanx0>sinx0‎ C．∃x0∈，tanx0≤sinx0‎ D．∃x0∈∪，tanx0>sinx0‎ 解析：“∀”改为“∃”，并否定结论，所以命题綈p为：∃x0∈，tanx0≤sinx0.‎ 答案：C ‎7．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．[－2,0)‎ C．(－2,0) D．(0,2)‎ ‎8．已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq 的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是(　　)‎ A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q)‎ C．p∨(綈q) D．p∧q 解析：当a＝1.1，x＝2时，‎ ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log‎1.11.21‎＝2，‎ 此时，ax0，得a2>1，即a>1或a<－1.‎ 答案：C ‎10．已知命题p：∃x0∈R，e x0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]‎ C．R D．∅‎ ‎11．下列命题正确的个数是(　　)‎ ‎①命题“∃x0∈R，x＋1>3x‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；‎ ‎②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；‎ ‎③“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”；‎ ‎④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·b<‎0”‎．‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：特称命题的否定为全称命题，①正确；‎ ‎②中f(x)＝cos2ax，其最小正周期为π时，＝π，‎ 即a＝±1，②正确；‎ ‎③不正确；④不正确，当a·b<0，a，b的夹角可能为π.‎ 答案：B ‎12．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“ (綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题。其中正确的命题是(　　)‎ A．②③ B．②④‎ C．③④ D．①②③‎ 解析　∵＞1，∴命题p是假命题。‎ 又x2＋x＋1＝2＋≥＞0，‎ ‎∴命题q是真命题，由命题真假的真值表可以判断②③正确，故选A。‎ 答案　A ‎13．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围为________。‎ 解析　因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2。‎ 答案　[－2，2]‎ ‎14．已知命题p：∃a∈R，曲线x2＋＝1为双曲线；命题q：x2－7x＋12<0的解集是{x|30)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋‎2a]，则有2－a≥－1且2＋‎2a≤3，即a≤.又a>0，故a的取值范围是(0，]．‎ 答案：(0，]‎ ‎ ‎