2020届高三数学上学期分科综合考试试题 文 新人教

2020届高三数学上学期分科综合考试试题 文 新人教

1 2019 学年度高三分科综合测试卷 文科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2{ | 0 5}A x x   ， { 2,0,3,4,6,8}B   ，则 A B  ( ) A． 2,0 B． 2 C． 2,3 D． 0,3 2.已知 i 为虚数单位， 20172 2 iz ii   ，且 z 的共轭算数为 z ，则 z 在复平面内对应的点在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知向量  4,4a  ，   5,b m m R  ，  1,3c  ，若  2a c b  ，则| |b  ( ) A．5 B．5 2 C．10 D．10 2 4.圆    2 2 1 : 1 2 4C x y    与圆    2 2 2 : 3 2 4C x y    的公切线的条数是( ) A．1 B．2 C. 3 D．4 5.已知命题 :p “关于 x 的方程 2 4 0x x a   有实根”，若 p 为真命题的充分不必要条件 为 3 1a m  ，则实数 m 的取值范围是( ) A．[1, ) B． (1, ) C.  ,1 D． ( ,1] 6.已知实数 ,x y 满足 3 0 2 6 0 3 2 0 x y x y x y            ，则 z x y  的最小值为( ) A．0 B．-1 C.-3 D．-5 7.若 x 表示不超过 x 的最大整数，则如图所示的程序框图运行之后输出的结果为( ) 2 A．48920 B．49660 C. 49800 D．51867 8.2017 年 3 月 22 日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热．在此期间，俄罗斯 某电视台记者， 在莫斯科大学随机采访了 7 名大学生，其中有 3 名同学会说汉语，从这 7 人中任意选取 2 人进行深度采访，则这 2 人都会说汉语的概率为( ) A． 1 3 B． 2 3 C. 1 5 D． 1 7 9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A． 6 B．8 C. 6 6  D．8 4  10.已知函数    23sin cos 4cos 0f x x x x      的最小正周期为 ，且   1 2f   ， 则 ( )2f    ( ) A． 5 2  B． 9 2  C. 11 2  D． 13 2  11.已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在双曲线的右支 上，且  1 2| | | | 1PF PF   ， 1 2 0PF PF   ，双曲线的离心率为 2 ，则   ( ) A． 2 B． 2 3 C. 2 2 D． 2 3 12.已知函数   2 4 5, 1 ln , 1 x x xf x x x       ，若关于 x 的方程   1 2f x kx  恰有四个不相等 3 的实数根，则实数 k 的取值范围是( ) A． 1( , )2 e B． 1[ , )2 e C. 1( , ]2 e e D． 1( , )2 e e 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在锐角 ABC 中，角 ,A B 所对边的长分别为 ,a b ，若 2 sin 3a B b ，则 3cos( )2 A   ． 14.如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E F、 分别是 1,CC AD 的中点， 那么异面直线 1D E 和 1A F 所成角的余弦值等于 ． 15.已知   xf x x e  ，则曲线  y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程是 ． 16.若 ,x y 都是正数，且 3x y  ，则 4 1 1 1x y   的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.已知数列 na 满足 1 3a  ， 1 1 3 3n n na a     ( )n N  ． （1）求证：数列{ }3 n n a 为等差数列； （2）求数列 na 的前 n 项和 nS ． 18.如图，在四棱锥 C ABDE 中， AE  平面 ABC ， BD  平面 ABC ， BC DE . 4 （1）求证： BC AD ； （2）若 2AB BC BD   ， 3AE  ，求三棱锥 A CDE 的高． 19.中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校 高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班 60 名同学中，对此事关注的占 1 3 ，他们 在本学期期末考试中的物理成绩（满分 100 分）如下面的频率分布直方图： （1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于 80 分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的 2 2 列联表： 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 对此事不关注 合计 ②是否有95% 以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？ 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5 20.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为 顶点的三角形面积为 3 ，圆 C 的方程为    2 2 2( )ax a y b b     ． （1）求椭圆的方程； （2）过原点 O 作直线l 与圆C 交于 ,A B 两点，若 2CA CB   uur uur ，求直线l 被圆C 截得的弦 长． 21.已知函数    2lnf x x ax a R   . （1）若  y f x 的图像在 2x  处的切线与 x 轴平行，求  f x 的极值； （2）若函数     1g x f x x   在  0, 内单调递增，求实数 a 的取值范围． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的 第一题计分． 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为 31 2 1 2 x t y t       （t 为参数），在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为 2 2  ． （1）求直线l 被圆C 截得的弦长； （2）若点 M 的坐标为 1,0 ，直线l 与圆 C 交于 ,A B 两点，求| | | |MA MB 的值． 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数   | 1| | |f x x x a    （ a 为常数）． （1）若    2 1f f a  ，求实数 a 的取值范围； （2）若  f x 的值域为 A ，且  2,3A   ，求实数 a 的取值范围． 6 试卷答案 一、选择题 1-5: BABCB 6-10: DCDCB 11、12：BD 二、填空题 13. 3 2  14. 2 5 15. 2y ex e  16. 9 5 三、解答题 17.（1）证明：因为 1 1 1 1 3 3 13 3 3 3 n n n n n n n n n a a a a        （常数）， 1 13 a  ，所以数列{ }3 n n a 是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列． （2）解：由（1）可知，  1 1 13 n n a n n     ，所以 3n na n  ， 所以 1 2 31 3 2 3 3 3 3 n nS n         ， ① 2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 3 n nS n          ， ② ①-②得 1 2 3 12 3 3 3 3 3n n nS n         ， 所以 13(1 3 )2 31 3 n n nS n     13(1 3 ) 32 n nn     ， 7 所以 13(1 3 ) 3 4 2 n n n nS      12 1 33 4 4 nn    ． 18.（1）证明：因为 AE  平面 ABC ， BD  平面 ABC ，所以 BD AE∥ ， 所以 , , ,A B D E 在同一平面内． 而 BC  平面 ABC ，所以 BC AE ， 又 , , ,BC DE AE DE E AE DE    平面 ABDE ，所以 BC  平面 ABDE ， 又 AD  平面 ABDE ，所以 BC AD . （2）解：三棱锥 A BCD 的体积为 1 1 3 BCDV S AB   1 1 42 2 23 2 3      ， 四棱锥C ABDE 的体积为 2 1 3 ABDEV S BC  梯形  1 1 102 3 2 23 2 3      ， 所以三棱锥 A CDE 的体积为 2 1 2V V V   . 而 2 2, 5, 17CD DE CE   ， 所以 2 2 2 10cos 2 10 CD DE CECDE CD DE      ，则 3 10sin 10CDE  ， 所以 CDE 的面积为 1 sin2S CD DE CDE     1 3 102 2 5 32 10     . 设三棱锥 A CDE 的高为 h ，则 1 3V Sh ，即 2h  ，即三棱锥 A CDE 的高为 2. 19.解：（1）对此事关注的同学的物理期末平均分为 (45 0.005 55 0.005 65 0.020     75 0.030 85 0.030    95 0.010) 10 75.5    （分）． （2）①补充的 2 2 列联表如下： 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计 对此事关注 8 12 20 对此事不关注 8 32 40 合计 16 44 60 ②由①中的列联表可得 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d       260 8 32 8 12 16 44 20 40        30 2.73 3.84111    ， 8 所以没有95% 以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系． 20.解：（1）设椭圆的焦距为 2c ，则    1 2,0 , ,0F c F c ， 由椭圆的离心率为 3 2 可得 3 2 c a  ，即 2 2 2 3 4 a b a   ，所以 32 , 3a b b c  ． 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形面积为 1 2 32 b c  ，即 1 3 2 32 3 c c   ， 所以 3c  ，则 2, 1a b  ，所以椭圆的方程为 2 2 14 x y  ， 圆C 的方程为    2 22 1 4x y    ． （2）①当直线l 的斜率不存在时，方程为 0x  ，与圆C 相切，不符合条件； ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为 y kx ， 由    2 22 1 4 y kx x y      ，可得 2 2( 1) (2 4) 1 0k x k x     ． 由条件可得 2 2(2 4) 4( 1) 0k k      ，即 3 4k   ． 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 2 2 4 1 kx x k    ， 1 2 2 1 1x x k   ， 2 1 2 1 2 2 2 4( ) 1 k ky y k x x k      ， 2 2 1 2 1 2 2 1 ky y k x x k    ． 而圆心C 的坐标为  2,1 ，则 1 1( 2, 1)CA x y   ， 2 2( 2, 1)CB x y   ， 所以 1 2( 2)( 2)CA CB x x     1 2( 1)( 1) 2y y     ， 即 1 2 1 2 1 22( )x x x x y y   1 2( ) 5 2y y     ， 所以 2 2 2 2 1 2 421 1 1 k k k k k      2 2 2 4 5 21 k k k     ， 解之得 0k  或 4 3k  ． 当 0k  时，在圆C 中，令 0y  可得 2 3x   或 2 3x   ， 故直线l 被圆C 截得的弦长为 2 3 ； 9 当 4 3k  时，直线 l 的方程为 4 3 0x y  ， 圆心  2,1C 到直线l 的距离为 |8 3| 15d   ， 故直线l 被圆C 截得的弦长为 2 22 2 1 2 3  . 综上可知，直线l 被圆C 截得的弦长为 2 3 ． 21.解：（1）因为   2lnf x x ax  ，所以    1= 2 0f x ax xx    ． 由条件可得   12 4 02f a    ，解之得 1 8a   ，所以   21ln 8f x x x  ，   1 1 4f x xx         2 2 04 x x xx     ． 令   0f x  可得 2x  或 2x   （舍去）． 当 0 2x  时，   0f x  ；当 2x  时，   0f x  ， 所以  f x 在 0,2 内单调递增，在 2, 内单调递减， 故  f x 有极大值   12 ln 2 2f   ，无极小值； （2）   2ln 1g x x ax x    ，则   1 2 1g x axx       22 1 0ax x xx    ． 设   22 1h x ax x   ， ①当 0a  时，   1xg x x    ，当 0 1x  时，   0g x  ，当 1x  时，   0g x  ，所 以  g x 在 0,1 内单调递增，在 1, 内单调递减，不满足条件； ②当 0a  时，   22 1h x ax x   是开口向下的抛物线，方程 22 1 0ax x   有两个实根， 设较大实根为 0x ．当 0x x 时，有   0h x  ，即   0g x  ，所以  g x 在 0( , )x  内单调 递减，故不符合条件； ③当 0a  时，由   0g x  可得   22 1 0h x ax x    在 0, 内恒成立， 10 故只需  0 0 1 04 0 0 h a a        或 0  ，即 1 0 1 04 1 8 0 0 a a a         或 1 8 0 0 a a     ，解之得 1 8a  ． 综上可知，实数 a 的取值范围是 1[ , )8  ． 22.解：（1）将直线l 的参数方程化为普通方程可得 3 1 0x y   ，而圆C 的极坐标方程 可化为 2 8  ，化为普通方程可得 2 2 8x y  ， 则圆心C 到直线l 的距离为 1 1 21 3 d    ， 故直线 l 被圆C 截得的弦长为 212 8 ( ) 312   ． （2）把 31 2 1 2 x t y t       代入 2 2 8x y  ，可得 2 3 7 0t t   （*）． 设 1 2,t t 是方程（*）的两个根，则 1 2 7t t   ，故 1 2| | | | | | 7MA MB t t   ． 23.解：（1）由    2 1f f a  可得1 | 2 | | 1| 1a a     ，即| 1| | 2 | 2a a    （*）． ①当 1a  时，（*）式可化为   1 2 2a a    ，解之得 1 2a  ，所以 1 2a  ； ②当1 2a  时，（*）式可化为   1 2 2a a    ，即1 2 ，所以 a  ； ③当 2a  时，（*）式可化为   1 2 2a a    ，解之得 5 2a  ，所以 5 2a  ． 综上知，实数 a 的取值范围为 1 5( , ) ( , )2 2    ． （2）因为| ( ) | || 1| | ||f x x x a       | 1 | | 1|x x a a      ， 所以  | 1| | 1|a f x a     ， 由条件只需 | 1| 2 | 1| 3 a a        ，即| 1| 2a   ，解之得 1 3a   ， 11 即实数 a 的取值范围为 1,3 ．