2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年湖南省长郡中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。‎ ‎2．设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若 ，‎ ‎ ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．‎ 详解：依据定义，AB就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；‎ 对于集合A，求的是函数 的定义域，‎ 解得：A={x|0≤x≤2}；‎ 对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；‎ 依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，‎ 故选：D．‎ 点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎3．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】输入 执行循环体，不满足 继续执行循环体，不满足 继续执行循环体，不满足 继续执行循环体，不满足 继续执行循环体，由题可知满足，输出 故 故选C ‎4．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.‎ ‎5．已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案 详解：：若f（3）=3，‎ 则f（1）=3或f（1）=4；‎ f（2）=3或f（2）=4；‎ 故这样的映射的个数是2×2=4个，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题 ‎6．在直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.‎ 详解：由题意，角的终边经过点，即点，‎ 则，‎ 由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎7．定义运算， ，例如，则函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．‎ 详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1‎ 当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x ‎∴f（x）=‎ 由图知，‎ 函数y=1*2x的值域为：（0，1]．‎ 故选：D．‎ 点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．‎ ‎8．若在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．‎ 详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，‎ 配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：‎ 由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，‎ 又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，‎ 故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，‎ 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）‎ 故选：A．‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎9．已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得： ,又，所以原式=‎ 所以选C.‎ 点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.‎ ‎10．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．‎ 详解：由题意可得•=0，‎ 可得|+|==，‎ ‎（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）‎ ‎=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，‎ 即为||=cos＜+，＞，‎ 当cos＜+，＞=1即+，同向时，‎ ‎||的最大值是．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．‎ ‎11．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )‎ A. 1 B. C. 3 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导数的几何意义得 所以=，故选C.‎ ‎12．设，则使得的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ 详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，‎ 分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，‎ 则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，‎ f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），‎ 当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），‎ 又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，‎ 则有f′（x）＜0，‎ 即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，‎ f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）‎ ‎⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，‎ 变形可得：x2﹣4x+3＜0，‎ 解可得1＜x＜3，‎ 即不等式的解集为（1，3）；‎ 故选：B．‎ 点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则 ，若函数是奇函数，则．‎ ‎13．已知函数，其中为函数的导数，求 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意易得： ‎ ‎∴函数的图象关于点中心对称，‎ ‎∴‎ 由可得 ‎∴为奇函数，‎ ‎∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 故选：A ‎14．中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )‎ A. 7 B. 8 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．‎ 详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°‎ ‎∴bcsin60°=10∴bc=40‎ ‎∵a+b+c=20‎ ‎∴20﹣a=b+c．‎ 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120‎ 解得a=7．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．‎ ‎15．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，‎ ‎，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．‎ 详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b ‎∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，‎ 即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，‎ ‎∴sinAcosC=0，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°‎ ‎∵，S△ABC=6‎ ‎∴bccosA=9，‎ ‎∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15‎ ‎∴c=5，b=3，a=4‎ 以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）‎ P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）‎ 设，则，‎ ‎∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）‎ ‎∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12‎ ‎=‎ 故所求的最小值为 故选：C．‎ 点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎16．《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).‎ ‎①充分条件②必要条件③充要 条件④既不充分也不必要条件 ‎【答案】①‎ ‎【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．‎ 故答案为：①．‎ 点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎17．对于，，规定 ，集合，则中的元素的个数为__________．‎ ‎【答案】41‎ ‎【解析】分析：由⊕的定义，ab=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可 详解：ab=36，a、b∈N*，‎ 若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；‎ 若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，‎ 故点（a，b）有35个，‎ 所以满足条件的个数为41个．‎ 故答案为：41．‎ 点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．‎ ‎18．已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．‎ 详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，‎ ‎∴||2+||2﹣2•=3，‎ 解得•=1，‎ ‎∴在方向上的投影是=，‎ 故答案为：‎ 点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．‎ ‎19．已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得 ‎ 因此 ，当且仅当时取等号. ‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎20．已知集合，且下列三个关系：，，‎ 中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．‎ 详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：‎ 当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．‎ 当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；‎ 当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；‎ 当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；‎ 当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；‎ 当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；‎ 综上得，a=3、b=4、c=2，‎ 则函数=，‎ 当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，‎ 当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，‎ 综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），‎ 故答案为：[3，+∞）．‎ 点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎21．选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由曲线C的原极坐标方程可得， ‎ 化成直角方程为． ‎ ‎（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，‎ 整理得， ∵，于是点P在AB之间，‎ ‎∴．‎ 点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)‎ ‎22．如图，在中，角所对的边分别为，若. ‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若点在边上，且是的平分线， ，求的长.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.‎ 试题解析：(1)在中，∵,‎ ‎∴由正弦定理得，‎ ‎∵，∴，∵，∴.‎ ‎(2)在中，由余弦定理得 ‎，‎ 即,解得,或（负值，舍去）‎ ‎∵是的平分线， ，‎ ‎∴,∴.‎ ‎23．已知函数（e为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】(1)函数的单调递增区间是；单调递减区间是 ‎（2)．‎ ‎【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数 当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是 ‎（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．‎ 考点：导数的运用 点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。‎ ‎24．某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当中()的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为 ‎ ‎(单位:分钟), ‎ 而公交群体的人均通勤时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:‎ ‎ (1)当在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?‎ ‎ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性,并说明其实际意义.‎ ‎【答案】（1）（2）当自驾人数为时，人均通勤时间最少 ‎【解析】分析：（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；‎ ‎（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．‎ 详解：（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于的人自驾时人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少.‎ 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎25．已知函数,().‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)求证:当时,对于任意,总有成立．‎ ‎【答案】（1）当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）首先求出函数的导数，对字母a进行分类讨论，根据，可知函数单调递增，时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）要证当a＞0时，对于任意，总有成立，即要证明对于任意，总有．根据（Ⅰ）可知，当时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，从而有，再利用导数可得，当时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以，再用作差法即可证明．‎ 试题解析解：（Ⅰ）函数的定义域为，.‎ 当时，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ 当时，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ ‎↘ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ ‎ ‎ 综上所述，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；‎ 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 5分 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且. 所以时， .因为，所以，‎ 令，得. 7分 ‎①当时，由，得；由，得，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.‎ 因，对任意，总有. 10分 ‎②当时，在上恒成立，‎ 所以函数在上单调递增，.‎ 所以对于任意，仍有.‎ 综上所述，对于任意，总有. 14分 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数单调性的性质．‎