【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【数学】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

江西省南昌市八一中学2019-2020学年 高二下学期期末考试（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ ‎ A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）‎ ‎ ‎ ‎3．设，向量且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4．给出下列命题，其中正确的命题为 （ ）‎ A.若直线和共面，直线和共面，则和共面 B.直线与平面不垂直，则与平面内的所有的直线都不垂直 C.直线与平面不平行，则与平面内的所有的直线都不平行 D.异面直线不垂直，则过的任何平面与都不垂直 ‎5．如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，空间四边形中，，且，，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎10．在四面体中，若， ， ‎ ‎，则直线 与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题错误的是(　　)‎ A．存在P，Q的某一位置，使AB∥PQB．△BPQ的面积为定值 C．当PA＞0时，直线PB1与AQ是异面直线 D．无论P、Q运动到任何位置，均有BC⊥PQ ‎12．设f(x)=kx－|sinx| (x>0，k>0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t，则= ( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数，则 ‎ ‎14．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于_____．‎ ‎15．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积 ‎ ‎ ‎16．如图4－3－11，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：‎ ‎①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；‎ ‎②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；‎ ‎③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；‎ ‎④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线．其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）如图所示的平面图形中，四边形是边长为2的正方形，‎ 和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段的中点．现和分别沿着翻折，直到点和重合为点．连接，得如图的四棱锥．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19．（本小题满分12分）图所示的几何体中， ， ， 平面，在平行四边形中， ， ， ．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎20．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥‎ 底面ABCD． (1)证明：平面PBD⊥平面PAC． (2)若∠BAD=60°,且平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为，求∠PCA的大小． ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.‎ ‎(Ⅰ)求拋物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；‎ ‎（III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1——12 CCCDB ABBDD BC 二、填空题 ‎13． 14 2 15 16①③④‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为： ．………5分 ‎（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,‎ 由消去得，‎ 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………10分 ‎18．解：（1）连接与点，连接 ……1分 因为四边形是正方形，所以是的中点，‎ 又是的中点 ‎ ……2分 ‎ ……3分 ‎ ……4分 由题意有,两两垂直 如图，以为原点建立空间直角坐标系 ……5分 有 ……6分 由题知 又 ……7分 又 ……8分 所以平面的法向量是 设平面的法向量 ‎,‎ 则，令 ……10分 ‎ ‎ ……11分 由图可知二面角的平面角为锐角 所以二面角 的大小为 ……12分 ‎19．（1）证明：连接交于，取中点，连接， .‎ ‎∵、分别为、的中点∴， 又∵， ∴， ，从而， 平面， 平面，∴平面． ……5分 ‎（2）解：连接，可计算得， ， ， ， ，设点到平面的距离为，则由， ，得，所以由，知.∴，∴与平面所成角的正弦值为．……12分 ‎20．证明：因为底面ABCD为菱形，所以．因为底面ABCD， 所以．又，所以 平面PAC． 因为平面PBD，所以平面平面PAC．……5分 ‎ 解：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，， 则， 则． 设平面PAB的法向量为，则 令，得． 设平面PCD的法向量为，则． 令，得． 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则， 解得，则，故．……12 ‎ ‎21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,‎ 因拋物线过点，故，拋物线的方程为. …………… 3‎ ‎(Ⅱ)设，则，‎ 同理 ‎ ‎,∴，.‎ ‎，即直线的斜率恒为定值，且值为. …………… 7分 ‎（III），∴，∴. ‎ 直线的方程为 ，即. ‎ 将代入上式得即为直线的方程，‎ 所以直线恒过定点，命题得证. …………… 12分 ‎22．解（1）的定义域为，，‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以在上递减；‎ 当时，令，‎ 当时，，当时，，‎ 则在上递减，在上递增. …---5分 ‎（2）‎ 在恒成立，‎ 所以，即 ‎ 令，则有，‎ 令，则有在上恒成立.‎ 故在上为减函数，‎ 所以在上为减函数，‎ 则，故.‎ 另解令，则至少有.‎ 当时，则有，‎ 令，开口向上，对称轴，‎ 故在上为增函数，‎ 所以在上为增函数，‎ 则，故.---12分