辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试 数学（文）(PDF版)

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东北育才学校高中部 2020 届高三第八次模拟考试 数学试题（文科） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、 选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.） 1.已知集合 2{ | 2}A x y x   ，集合 2{ | 2}B y y x   ，则有 A. AB B. ABI C. A B AU D. A B AI 2.若复数满足(2 ) 5iz，则在复平面内与复数 z 对应的点 Z 位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.“ 为第一或第四象限角”是“cos 0  ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在 2015 年以 前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为 70%，2015 年开始全面实施“精准扶 贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项 目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 40% 40% 10% 10% 脱贫率 95% 95% 90% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A. 7 5 B. 48 35 C. 47 35 D. 37 28 5.已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，  4 1 23S a a，则公比q 的值为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 6.在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， F 为 DE 的中点，若 3 4AF xAB AD uuur uuur uuur ，则 x  A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 4 7.人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级，其中 0dB 是人能听到的等级最低的 声音. 一般地，若强度为 x 的声音对应的等级为 ()fxdB，则有 12( ) 10lg1 10 xfx   ，则 90dB 的 声音与 60dB 的声音强度之比 A.100 B.1000 C. 1 100 D. 1 1000 8.如图，在以下四个正方体中，使得直线 与平面 垂直的个数是 ① ② ③ ④ A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知圆 2216xy与抛物线 2 2 ( 0)y px p的准线l 交于 A ，B 两点，且| | 2 15AB  ，P 为 该抛物线上一点， PQ l ，垂足为点Q ，点 为该抛物线的焦点.若 PQF 是等边三角形，则 PQF 的面积为 A. 43 B.4 C. 23 D.2 10.已知函数 1, 0() ln , 0 ax xfx xx    ，若函数 ()fx的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数 a 的 取值范围是 A. ( ,0] B. ( ,1] C. 1[ ,0]2 D. 1( ,1]2 AB CDE 11.已知 P 为双曲线 2 2:13 xCy上位于右支上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A ， B ，则||AB 的最小值为 A. 81 16 B. 27 8 C. 9 4 D. 3 2 12.已知函数  ( ) sinf x x（ 0  ， π 2  ）满足 π π( ) ( )44f x f x    ， π( ) ( )2f x f x   ，且在区间 π(0, )8 上是单调函数，则 的值可能是 A.3 B.4 C.5 D.6 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上.） 13.等差数列 na 中， 1 0a  ，公差 0d  ， nS 是其前 n 项和，若 10kaS ，则 k  . 14.已知实数 x ， y 满足约束条件 4 0 4 xy xy x      ，则 22( 1)xy的最小值为 . 15.圆锥 SD（其中 S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2 :1，若圆锥的底面半径为 3，则圆锥 的内切球的表面积为 . 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高 斯，人们把函数  ,y x x R称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最大整数. 设   x x x ， 则函数    21f x x x x   的所有零点之和为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分） 在 ① 22cos cos 2 0BB，② cos 3 1b A acosB   ，这两个条件中任选一个，补充在下面问 题中，并解决相应问题． 已知在锐角 ABC 中，角 ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， ABC 的面积为 ，若 2 2 24 S b c a   ， 6b  ，求 ABC 的面积 S 的大小． 18.（本小题满分 12 分） 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 x（元）与销量（杯）的相关 数据如下表： 单价 x（元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 y（杯） 120 110 90 70 60 （Ⅰ）已知销量 y 与单价 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为 8 元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单 价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数） 附：线性回归方程 y b x a  中斜率和截距最小二乗法估计计算公式： 1 22 1 = n ii i n i i x y nxy b x nx        ， a y b x   ， 5 1 =4195ii i xy   ， 5 2 1 =453.75i i x   . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在四边形 ABCD 中， ,,BC CD BC CD AD BD   ，以 BD 为折痕把 ABD△ 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PC BC . （Ⅰ）证明： PD 平面 BCD ； （Ⅱ）若 M 为 PB 的中点， 2PD CD ，三棱锥 P BCD 的表面积为6+2 2 2 3 ，求三棱锥 P MCD 的体积. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数    lnf x x ax a R   ，   2exg x x x   . （Ⅰ）求  fx的单调区间； （Ⅱ）定义：对于函数 ，若存在 0x ，使  00f x x 成立，则称 为函数 的不动点. 如 果函数      F x f x g x存在不动点，求实数 a 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） 已知长度为 4 的线段的两个端点 ,AB分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 3BP PA= uuuv uuuv ，记动点 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）设曲线 与 y 轴的正半轴交于点 D ，过点 作互相垂直的两条直线，分别交曲线 于点 M ， N 两点，连接 MN ，求 DMN 的面积的最大值． 请考生在第 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）【选修 4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 2cos , 2 2sin x y        （ 为参数）. 以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 L 的极坐标方程为  7 04 . （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程； （Ⅱ）若射线 L 与曲线C 交于 A ， B 两点，求 22OA OB OB OA   . 23.（本小题满分 10 分）【选修 4-5: 不等式选讲】 已知 0a  ，函数   1f x ax，   2g x ax. （Ⅰ）若    f x g x ，求 x 的取值范围； （Ⅱ）若     2 10 7af x g x    对 xR 恒成立，求 a 的最大值与最小值之和. 东北育才学校高中部 2020 届高三第八次模拟数学试题（文科） 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 命题：高三数学备课组 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 二、 选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出 符合 题目要求的一项。 1.已知集合 2{ | 2}A x y x   ，集合 2{ | 2}B y y x   ，则有（） A． AB B． ABI C． A B AU D． A B AI 【详解】Q 2{ | 2}A x y x R    , 2{y | 2} [ 2, )B y x      A B AU 故选 C. 2.若复数满足(2 ) 5iz，则与复数 z 对应的点 Z 位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 【详解】      525 22 2 2 izii i i       ，点 (2, 1)Z  位于第四象限 故选：D 3.“ 为第一或第四象限角”是“cos 0  ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】cos 0  时， 是第一或第二象限角或终边在 x 轴正半轴，因此“ 为第一或第 四象限角”是“ ”的充分不必要条件． 故选：A． 4.C 5.已知正项等比数列 na 的前n 项和为 nS ，  4 1 23S a a，则公比q 的值为（） A．2 B． 3 C． 5 D． 2 【详解】 4 1 23( )S a aQ ， 1q  ． 4 1 1 ( 1) 3 (1 )1 aq aqq   ， 1 0a Q 2 13q   化为： 2 2q  ，解得 2q  ． 故选： D ． 6.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， F 为 DE 的中点，若 3A 4F xAB AD uuur uuur uuur ，则 x  A. 3 4 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 4 【解析】连接 AE ， 1 1 1 1 3()2 2 2 2 4AF AD AE AD AB AD AB AD       uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ，则 1 2x  ． 故答案为：C. 7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的 等级最低的声音.一般地，如果强度为 x 的声音对应的等级为 ()fx的 dB，则有 12( ) 10lg1 10 xfx   ,则 90dB 的声音与 60dB 的声音强度之比 A.100B.1000 C. 1 100 D. 1 1000 【详解】令 1( ) 90fx  ,则 1 12( ) 10lg1 10 xfx   ,则 3 1 10x  ,同理 6 1 10x  ,所以 1 2 1000x x  答案:B 8．如图，在以下四个正方体中，使得直线 与平面 垂直的个数是（） AB CDE ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】对于 A，由 与 所成角为 ， 可得直线 与平面 不垂直； 对于 B，由 AB CE ， ， ， 可得 平面 ； 对于 C，由 与 所成角为 ， 可得直线 与平面 不垂直； 对于 D，连接 ，由 平面 ， 可得 ，同理可得 ， 又 ，所以 平面 . 故选：B 9.已知圆 2216xy与抛物线 2 2 ( 0)y px p的准线l 交于 A， B 两点，且| | 2 15AB  ， P 为该抛物线上一点， PQ l 于点Q ，点 F 为该抛物线的焦点.若 PQF△ 是等边三角 形，则 的面积为（ ） A. 43 B. 4 C. 23 D. 2 【详解】由 2 15AB  可得圆心 0,0 到 的距离为 16 15 1，即 12 p  ，即 2p  AB CE 45 CDE AB ED CE ED E AB  60 AC ED  ABC EC AB ED EC E 所以抛物线的方程为 2 4yx 因为 PQF△ 是等边三角形，焦点 F 到准线l 的距离为 2 所以 的边长为 4 所以 1 4 4 sin 60 4 32PQF      △S 故选：A 10.已知函数 1, 0,() ln , 0. ax xfx xx    若函数 ()fx的图象上存在关于坐标原点对称的点，则 实数a 的取值范围是 A.( ,0] B.( ,1] C. 1[ ,0]2 D. 1( ,1]2 【答案】B 【解析】 【分析】存在两对称点  ,M x y ,  ,N x y ,( 0)x  则 1 ln y ax yx       ,即ln 1x ax,故 lnyx 与 1y ax有交点,先求得 与 相切时的斜率,进而求解即可 【详解】由题,设两对称点 , , ，则 ,所以 ,即 与 有交点,设 与 的切点为 00,lnxx,则 切线斜率为 0 0 1 xxay x  ,又有 00 0 1ln 1xxx,所以 0 1x  ,即 1a  ,所以当 与 有交点时, 1a  ,故选:B 11.已知 P 为双曲线 2 2:13 xCy上位于右支上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足 分别为 A， B ，则||AB 的最小值为 A. 81 16 B. 27 8 C. 9 4 D. 3 2 【详解】由题意双曲线的渐近线为 1 3 yx ，即 30xy， 设 00( , )P x y ，不妨设 A在渐近线 30xy上， P 在双曲线上，则 2 20 0 13 x y， 22 0033xy， 003 2 xy m   ， 003 2 xy n   ，∴ 22 003 3 44 xy mn   两渐近线夹角为 3  ，∴ 2 3APB ， 2 2 2 2 2292 cos 334AB m n mn m n mn mn        ，当且仅当 mn 时等号成立，∴ 3 2AB  ，即 AB 最小值为 3 2 ，D 正确． 12．已知函数  ( ) sinf x x（ 0  ， π 2  ）满足 π π( ) ( )44f x f x    ， π( ) ( )2f x f x   ，且在 π(0, )8 上是单调函数，则 的值可能是 A．3 B．4C．5 D．6 【详解】函数 满足 π π 44f x f x             ，所以函数  fx关于 π ,04   对称，同时又满足  π 2f x f x   ，所以函数又关于 π 4x  对称，设周期 为T , 21 π π π( ) ( )4 4 4 2 n Tn     Z ，而  2π 21T n n    Z 显然 是奇数， 当 =3 时，    sin 3f x x ，  fx关于 π( ,0)4 对称，  3π 3ππ π44k k k     Z ，而 π 2  ， π 4  ，   πsin(3 )4f x x， π π π 5π(0, ) (3 ) ( , )8 4 4 8xx    ，显然不单调； 当 =5 时，    sin 5f x x ，  fx关于 π ,04   对称，  5π 5ππ π44k k k     Z ，而 π 2  ， π 4  ，   πsin 5 4f x x ， π π π 3π0, 5 ,8 4 4 8xx                    ，显然单调， 故选 C 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.在等差数列 na 中，首项 1 0a  ，公差 0d  ， nS 是其前n 项和，若 10kaS ，则 k  答案:46 解：因为等差数列 中，首项 ，公差 ， 其前 项和, 所以  1na n d ，  1 2n n ndS  , 10 45Sd , 10kaSQ ,  1 45k d d   解得 46k  , 是 14.已知点 ( , )P x y 满足约束条件 4, 0, 4, xy xy x      则 22( 1)xy的最小值为________. 【答案】 13 【详解】作出可行域，如图，由图可知点 A到( 1,0) 距离最小， 联立 4xy和 0xy，得 (2,2)A ，所以原点O 到点 P 的距离的最小值为 22. 故答案为： 13 . 15．圆锥 SD （其中 S 为顶点， D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2 :1， 3若圆锥的地面半径为 ，则圆锥 的内切球的表面积为 4 【详解】设圆锥底面圆的半径为 r,圆锥母线长为 l，则侧面积为 πrl， 侧面积与底面积的比为 2 πrl 2l rr ,则母线 l=2r,所以轴截面为边长为 6 的等边三角形 其内切圆的半径为 3 ，所以所求内切球的表面积为4 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了 纪念数学家高斯，人们把函数  ,y x xR 称为高斯函数，其中 x 表示不超过 x 的最 大整数.设   x x x ，则函数    21f x x x x   的所有零点之和为 【详解】由题意知，当 0x  时，   1fx ，所以 0 不是函数  fx的零点， 当 0x  时，    21f x x x x   0 可得，   121x x， 令    12 12 2 2 , 1y x x x y x     ， 作出函数 的图象如图所示： 由图象可知，除点  1,0 外，函数 图象其余交点关于（0， 1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即 1 2 3 0x x x     ， 由函数零点的定义知，函数 的所有零点之和为 1 2 31 1 0 1x x x          . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分 12 分) ① 22cos cos 2 0BB，② cos 3 1b A acosB   ，这两个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解决相应问题． 已知在锐角 ABCV 中，角 A， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， ABC 的面积为 S ，若 2 2 24S b c a   ， 6b  ，求 的面积 的大小． 【详解】因为 2 2 24S b c a   ， 2 2 2 cos 2 b c aA bc  ， 1 sin2S bc A ，所以 2 sin 2 cosbc A bc A ． 显然cos 0A  ，所以 tan 1A  ，又 (0, )A  ，所以 4A  ． 若选择①由 22cos cos 2 0BB得, 2 1cos 4B  又 (0, )2B  , 3B  ，由 sin sin ab AB ， 得 26sin 2 2sin 3 2 bAa B     ． 又sin sin[ ( )] sin( )C A B A B     3 2 1 2 6 2sin cos cos sin 2 2 2 2 4A B A B        ， 所以 1 3 3sin22S ab C ． 若选择② cos 3 1bcos A a B   ， 2 2 2 2 2 2 cos cos 3 122 b c a a b cb A a B b a cbc ab          所以 1 3 3sin22S bc A  18. (本小题满分 12 分) 18.（本小题满分 12 分） 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价 x（元）与销量 （杯）的相关数据如下表： 单价 x（元） 8.5 9 9.5 10 10.5 销量 y（杯） 120 110 90 70 60 （Ⅰ）已知销量 y 与单价 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程； （Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为 8 元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归 方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数） 附：线性回归方程 y b x a  中斜率和截距最小二乗法估计计算公式： 1 22 1 = n ii i n i i x y nxy b x nx        ， a y b x   ， 5 1 =4195ii i xy   ， 5 2 1 =453.75i i x   . 19. (本小题满分 12 分) 如图，在四边形 ABCD 中， ,,BC CD BC CD AD BD   ，以 BD 为折痕把 ABD△ 折起， 使点 A到达点 P 的位置，且 PC BC . （1）证明： PD 平面 BCD； （Ⅱ）若 M 为 PB 的中点， 2PD CD ，三棱锥 P BCD 的表面积为6+2 2+2 3 ，求 三棱锥 P MCD 的体积. 【详解】（1）证明：因为 ,,BC CD BC PC PC CD C  ∩ ， 所以 BC ⊥平面 PCD， 又因为 PD  平面 ，所以 BC PD⊥ . 又因为 ,PD BD BD BC B∩ ， 所以 平面 . （2）∵ ,,PC BC CD BC 平面 ， ∴三棱锥 的各面均为直角三角形， 设CD BC x，则 2PD BD x ， 3PC x ， ∴三棱锥 的表面积为 2 2 21 1 1 1 3 2 32 ( 2 ) 3 6 2 2 2 32 2 2 2 2x x x x x x x         ， ∴ 2x  ∵ 为 的中点， ∴ 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3P MCD M PCD B PCD P BCD BCDV V V V PD S           20.(本小题满分 12 分) 已知函数    lnf x x ax a R   ，   2exg x x x   . （1）求  fx的单调区间； （2）定义：对于函数 ，若存在 0x ，使  00f x x 成立，则称 为函数 的不动 点.如果函数      F x f x g x存在不动点，求实数a 的取值范围. 【详解】(1) 的定义域为     110, 0axf x a xxx     ， ， 对于函数 1y ax， ①当 0a  时， 10y ax   在 0x  恒成立.   0fx   在 0, 恒成立.  fx 在 为增函数； ② 当 0a  时，由   0fx  ，得 10 x a   ； 由   0fx  ，得 1x a ； 在 1(0, )a 为增函数，在 1( , )a  减函数. 综上，当 0a  时， 的单调递增区间为(0, ) 当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）        2ln 0xF x f x g x x x ax x e x        ，  FxQ 存在不动点，方程  F x x 有实数根，即 2lnxe x xa x  有解， ………………5 分 令     2 ln 0 xe x xh x xx ，           22 1 1 ln1 ln 1 1 xx e x x xe x x x xhx xx           ，………………6 分 令   0hx  ，得 1x  ， 当  0,1x 时，    0h x h x ， 单调递减； 当  1,x  时，    0h x h x  ， 单调递增；    11h x h e    ， ………………8 分 设 ( ) lnI x x x,则 ' 1( ) 1Ix x, max ( ) (1) 1 0I x I    ,即 0x  时,ln xx 将 两边取对数,则 xxe ………………10 分 当 0x  时, 2211( ) 1 xe x x x xh x xx x x           当 x   时 , 2 () x x xh x xx     当 1ae时，  Fx有不动点， a 的范围为 1,e   . ………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 已知长度为 4 的线段的两个端点 ,AB分别在 x 轴和 y 轴上运动，动点 P 满足 3BP PA= uuuv uuuv ，记动点 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）设曲线 与 y 轴的正半轴交于点 D ，过点 作互相垂直的两条直线，分别交曲线 C 于点 M ， N 两点，连接 MN ，求 DMN 的面积的最大值． 【详解】（Ⅰ）解：设 ( ) ( ) ( ), , ,0 , 0,P x y A m B n . 3BP PA= u Q uuv uuuv， ( ) ( ) ( ), , 3 3 , 3x y n m x y m x y - = - - = - - ，即 33 3 x m x y n y ì =-ïí - = -ïî . 4 3 4 mx ny ì =ï íï =î . 又 4AB = ， 2216mn + = . 从而 2 216 16 169 x y+=. 曲线 的方程为 2 2 19 x y+=. （Ⅱ）由题意可知，直线 DM 的斜率存在且不为 o． 故可设直线 DM 的方程为 1y kx，由对称性，不妨设 0k  ， 由 2 1 2 9 9 0 y kx xy      ，消去 y 得 22(1 9 ) 18 0k x kx   ， 则 2 2 18| DM | 1 19 kk k  ，将式子中的 0k  换成 1 k ，得： 2 2 18 1| DN | 9 k k   ． 1 | DM || DN |2DMNS  22 22 1 18 1 18 1 2 1 9 9 k k k kk  gg 2 22 1 18 1112 1 9 kk kk   2 2 2 118 11191 k k k k     2 2 162 9(1 9 )(1 )k k 2 2 1 162() 182 9( ) k k k k   ， 设 1ktk，则 2t  ． 故 2 162 9 64DMN tS t  162 162 27 64 82 9 649t t   ，取等条件为 649t t 即 8 3t  ， 即 18 3k k，解得 47 3k  时， DMNS 取得最大值 27 8 ． 请考生在 22~23 中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)【选修 4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 3 2cos , 2 2sin x y        （ 为参数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 L 的极坐标方程为  7 04 . （1）求曲线C 的极坐标方程与射线 L 的直角坐标方程； （2）若射线 L 与曲线C 交于 A， B 两点，求 22OA OB OB OA   . 解：（1）由 3 2cos , 2 2sin , x y        得   223 2 4xy    ， 即 226 4 9 0x y x y     ， 故曲线C 的极坐标方程为 2 6 cos 4 sin 9 0        . 射线 L 的直角坐标方程为  0y x x   . （2）将 7 4   代入 2 6 cos 4 sin 9 0        ， 得 2 226 4 9 022        ，即 2 5 2 9 0   ， 则 1252 ， 12 9  ， 所以    22 1 2 1 2 45 2OA OB OB OA OA OB OA OB              . 23.(本小题满分 10 分)【选修 4-5: 不等式选讲】 已知 0a  ，函数   1f x ax，   2g x ax. （1）若    f x g x ，求 x 的取值范围； （2）若     2 10 7af x g x    对 xR 恒成立，求a 的最大值与最小值之和. 解：（1）因为    f x g x ，所以 12ax ax   ， 两边同时平方得 2 2 2 22 1 4 4a x ax a x ax     ， 即63ax  ， 当 0a  时， 1 2x a ； 当 0a  时， 1 2x a . （2）因为        1 2 1 2 3f x g x ax ax ax ax          ， 所以    f x g x 的最小值为 3， 所以 2 10 7 3a   ，则 3 2 10 7 3a     ， 解得lg 2 lg5a ， 故a 的最大值与最小值之和为lg 2 lg5 lg10 1   .