2019届高三数学上学期开学考试试题 理 新人教版-新版

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‎2019高三上学期第一次月考 数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若全集，集合，，则（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎2．若复数满足,为虚数单位,则的虚部为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3．与函数相同的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4‎ ‎5．函数的图象大致为（ ）‎ ‎6．下列关于命题的说法错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；‎ C. 若命题，则；‎ D. 命题“”是假命题.‎ ‎7．设， ， ，则（ ）‎ - 10 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知定义在上的奇函数满足，当时 ，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9．若函数在其定义域上为增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数，给出以下四个命题：‎ ‎①，有；②且，有；‎ ‎③，有；④， .‎ 其中所有真命题的序号是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④‎ ‎12.已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）‎ - 10 -‎ ‎13．设函数，则= ．‎ ‎14．若函数的定义域是，则函数的定义域为________．‎ ‎15．已知函数，若存在，当时，，则的最小值为　 　．‎ ‎16．设，已知函数是定义域为的偶函数， 当时， ‎ 若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本题满分12分）已知曲线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（Ⅰ）将曲线，的参数方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线上的点到曲线的距离的最大值和最小值．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ - 10 -‎ 为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望. ‎ ‎20．（本题满分12分）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．‎ ‎21．（本题满分12分）设函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值，并求此时曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上为减函数，求实数的取值范围.‎ ‎22. （本题满分12分）‎ 已知函数，，,令.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ - 10 -‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ - 10 -‎ 哈师大附中高三上学期第一次月考 数学试卷（理）答案 一、选择题.‎ ‎1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B10.A 11.D 12.B 二、填空题 ‎13. 0 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）由f（x）≤x得|2x﹣7|+1≤x，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式f（x）≤x的解集为； …… 5分 ‎（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣2|x﹣1|=|2x﹣7|﹣2|x﹣1|+1，‎ 则，∴g（x）min=﹣4，‎ ‎∵存在x使不等式f（x）﹣2|x﹣1|≤a成立，‎ ‎∴g（x）min≤a，∴a≥﹣4. …… 10分 ‎18. 解：（1）曲线C1的参数方程是（θ为参数），则，‎ ‎∵sin2θ+cos2θ=1，，∴曲线C1的普通方程是； …… 3分 ‎ 曲线C2的参数方程是（t为参数），‎ 消去参数t，t=3﹣x，代入，即2x+3y﹣10=0‎ ‎∴曲线C2的普通方程是2x+3y﹣10=0． …… 6分 ‎（2）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C1上任意一点，‎ 则点P到直线2x+3y﹣10=0的距离为d，‎ 则（其中）…… 10分 - 10 -‎ ‎∵sin（θ+φ）∈[﹣1，1]‎ ‎∴，此时，，此时 …… 12分 ‎19. 解 ：（Ⅰ），‎ ‎ …… 6分 ‎（Ⅱ）X的可能取值为1,2,3‎ ‎,,‎ X的分布列 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以 …… 12分 ‎20.解： (1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.‎ 又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1. …… 4分 ‎(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.‎ 当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，‎ ‎|PQ|＝|x1－x2|＝.‎ - 10 -‎ 点O到直线PQ的距离d＝.‎ 所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.‎ 因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.‎ 所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2. …… 12分 ‎ 21.解：(1)对f(x)求导得 f′(x)＝＝.‎ 因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.‎ 当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)>0，02,故 a=0时在处取得极值 f(1)＝，f′(1)＝，‎ 从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0. …… 6分 ‎(2)由(1)知f′(x)＝，‎ 令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，‎ 由g(x)＝0，‎ 解得x1＝，x2＝.‎ 当x0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；‎ 当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．‎ 由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，‎ 知x2＝≤3，解得a≥－.‎ 故a的取值范围为. …… 12分 ‎22.解：（1）定义域为，‎ - 10 -‎ ‎①当时恒成立，在上是增函数.‎ ‎②当时令 ‎ 令 ‎ 增区间： ，减区间： …… 6分 ‎（2）法一：令 .‎ 所以.‎ 当时，因为，所以所以在上是递增函数，‎ 又因为.所以关于的不等式不能恒成立.‎ 当时， .令得，‎ 所以当时，；当时，，‎ 因此函数在是增函数，在是减函数.‎ 故函数的最大值为.‎ 令，因为，，‎ 又因为在上是减函数，所以当时，.‎ 所以整数的最小值为2. …… 12分 法二：由恒成立知恒成立，‎ 令，则，‎ 令，因为，，则为增函数.‎ 故存在，使，即，‎ 当时，，为增函数，当时，，为减函数.‎ - 10 -‎ 所以，‎ 而，所以，所以整数的最小值为2. …… 12分 - 10 -‎