2020届安徽六校高三数学（理科）第一次素质测试试题

2020届安徽六校高三数学（理科）第一次素质测试试题

高三数学试题（理）第 1 页 共 4 页 理科数学试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150 分 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．设全集U  R ， { | 1 4}M x x    ，  2| log ( 2) 1N x x   ，则  UM C N  ( ) A． B．{ | 4 2}x x   C．{ | 4< <3}x x D．{ | 1 2}x x   2．已知复数 z 满足 2 3 4i z i   ,则 z  （ ） A． 2 i  B． 2 i C． 2 i  D． 2 i 3．等差数列 na 的前 n 项和是 nS ，公差 d 不等于零，若 2 3 6, ,a a a 成等比数列，则（ ） A． 1 30, 0a d dS  B． 1 30, 0a d dS  C． 1 30, 0a d dS  D． 1 30, 0a d dS  4．椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b    的左右焦点分别是 1 2F F、 ，以 2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与 椭圆交于点 P ，若直线 1PF 恰好与圆 2F 相切于点 P ，则椭圆的离心率为( ) A． 3 1 B． 3 1 2  C． 2 2 D． 5 1 2  5．过三点 (1,3)A 、 (4,2)B 、 (1, 7)C  的圆截直线 2 0x ay   所得弦长的最小值等于（ ） A． 2 3 B． 4 3 C． 13 D． 2 13 6．某罐头加工厂库存芒果  m kg ，今年又购进  n kg 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一用 于加工为芒果罐头.被加工为罐头的新芒果最多为  1f kg ，最少为  2f kg ，则下列坐标图最能 准确描述 1f 、 2f 分别与 n 的关系是（ ） 7．若函数 ( ) (sin )xf x e x a  在区间( , )2 2   上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A．[ 2, ) B．(1, ) C．[1, ) D．( 2, )  安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 命题：安徽师范大学附属中学 高三数学试题（理）第 2 页 共 4 页 8．2019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市 群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有 4 名高 三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游, 假设每名同学均从这四 个地方中任意选取一个去旅游, 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A. 27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 9．将函数 ( ) 4cos 2f x x     和直线 ( ) 1g x x  的所有交点从左到右依次记为 1A ， 2A ，…， 5A ， 若 P 点坐标为(0, 3)，则 1 2 5...PA PA PA       （ ） A．0 B．2 C．6 D．10 10．如图， 1 2F F、 是双曲线   2 2 2 2 1: 0, 0C ax y a b b   的左、右焦点，过 2F 的直线与双曲线 交于 A B、 两点．若 1 1: : 3: 4 :5AB BF AF  ．则双曲线的渐近线方程为（ ） A. xy 32 B． xy 22 C． xy 3 D． xy 2 11．条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的 信息，我们通常见的条形码是“EAN-13”通用代码，它是由从左 到右排列的 13 个数字（用 1 2 13, , ,a a a 表示）组成，这些数字 分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中 13a 是 校验码，用来校验前 12 个数字代码的正确性.图（1）是计算第位校验码的程序 框图，框图中符号 m 表示不超过m 的最大整数（例如 365.7 365 ）.现有 一条形码如图（2）所示（ 710720255197 3a ），其中第 3 个数被污损，那么这 个被污损数字 3a 是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 图(1) 12．如图，已知四面体 ABCD 为正四面体， 1, ,AB E F 分别是 ,AD BC 中点.若用一个与直线 EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面 去截该四面体，由此 得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ） A． 4 1 B． 4 2 C． 4 3 D．1 图(2) 高三数学试题（理）第 3 页 共 4 页 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1       第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．向量 ( 1,1)a    在 (3,4)b   方向上的投影为______． 14．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递减，若实数 a 满足 2(2 ) ( 2)af f   ，则a 的取值范围是______. 15．如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是 AD 的中 点，动点 P 在底面 ABCD 内（不包括边界），若 1B P  平面 1A BM ，则 1C P 的最小值是 ． 16．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示 的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下， 从左到右依次排列，得数列： ,1,4,6,4,1,1,3,3,1,1,2,1,1,1,1 ，记作数列  na ，若数列 na 的前n 项和为 nS ，则 67S = . 三、解答题（第 17 题 10 分，第 18~22 题每题 12 分，共 70 分） 17．（本小题满分 10 分）已知正项数列 na 的前 n 项和 nS 满足 22 2  nnn aaS . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若 *)()1(2 Nnna nb n n n  ，求数列 nb 的前n 项和 nT . 18．（本小题满分 12 分）在 ABC 中 ， , ,a b c 分 别 为 角 , ,A B C 的 对 边 ，且 有 CBBCAA sinsin)cos(coscos2  . （Ⅰ）求角 A； （Ⅱ）若 ABC 的内切圆面积为 ，当 AB AC 的值最小时，求 ABC 的面积. 19．（本小题满分 12 分）已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， ，侧面 1 1ABB A  底面 ABC ， D 是 BC 的中点， 1 160 ,B BA B D AB   . （Ⅰ）求证： ABC 为直角三角形； （Ⅱ）求二面角 1C AD B  的余弦值. 高三数学试题（理）第 4 页 共 4 页 20．（本小题满分 12 分）已知 B 是抛物线 21 18y x  上任意一点， (0, 1)A  ，且点 P 为线段 AB 的中点. （Ⅰ）求点 P 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）若 F 为点 A 关于原点 O 的对称点，过 F 的直线交曲线 C 于 M 、 N 两点，直线 OM 交 直线 1y   于点 H ，求证： NHNF  . 21．（本小题满分 12 分）已知函数 xeaxxgxxf )1()(,1)(  ． （Ⅰ）记 xe xfxxh )()(  ，试判断函数 )(xh 的极值点的情况； （Ⅱ）若 )()( xgxaf  有且仅有两个整数解，求实数a 的取值范围. 22．（本小题满分 12 分）从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标 值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和 样本方差 2s （同一组数据用该区间的中点值作代表， 记作 7,,2,1, ixi ）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质 量指标值 X 服从正态分布  2,N   ，其中  近似 为样本平均数 x , 2 近似为样本方差 2s . （i）若使84. 14% 的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大 约为多少？ （ii）若该企业又生产了这种产品 1000 件，且每件产品相互独立，则这 1000 件产品质量指标 值不低于 12.14 的件数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式： 7 2 1 ( ) 3.46i i i x x h    ， 263.22 146.3  ； 若 X ～  2,N   ，则① ( ) 0.6827P X        ； ② ( 2 2 ) 0.9545P X        ；③ ( 3 3 ) 0.9973P X        .