2019高三数学（人教A版 文）一轮教师用书：第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

2019高三数学（人教A版 文）一轮教师用书：第4章 第4节 数系的扩充与复数的引入

第四节　数系的扩充与复数的引入 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．‎ ‎(对应学生用书第63页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．复数的有关概念 ‎ (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实数，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．‎ ‎ (2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎ (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎ (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎ (5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎ 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量 ＝(a，b)．‎ ‎3．复数代数形式的四则运算 ‎ (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ ‎ z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.‎ ‎ z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.‎ ‎ ＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎ (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ ‎ 如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝＋，＝－.‎ 图441‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)‎ ‎ (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)‎ ‎ (3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．(　　)‎ ‎ (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√‎ ‎2. (教材改编)如图442，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)‎ 图442‎ ‎ A．A　　　　　　　　　 B．B ‎ C．C D．D ‎ B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ C　[∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．‎ ‎ 故选C．]‎ ‎4．(2016·北京高考)复数＝(　　)‎ ‎ A．i B．1＋i ‎ C．－i D．1－i ‎ A　[法一：＝＝＝i.‎ ‎ 法二：＝＝＝i.]‎ ‎5．复数i(1＋i)的实部为________．‎ ‎ －1　[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]‎ ‎(对应学生用书第64页)‎ 复数的有关概念 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ ‎ A．1　　　　　　　　　　 B．－1‎ ‎ C．＋i D．－i ‎ (2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ ‎ (1)D　(2)－2　[(1)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，‎ ‎ ∴＝＝－i.‎ ‎ (2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.]‎ ‎ [规律方法]　1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．‎ ‎ 2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为 ‎(　　) 【导学号：79170142】‎ ‎ A．－　　　 B．－　　　‎ ‎ C．　　　 D． ‎ (2)设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．2‎ ‎ (1)D　(2)B　[(1)复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D．‎ ‎ (2)z＝＋i＝＋i＝＋i，|z|＝＝.]‎ 复数代数形式的四则运算 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ ‎ A．－2－i B．－2＋i ‎ C．2－i D．2＋i ‎ (2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ ‎ (1)C　(2)2　[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，‎ ‎ ∴z＝2－i，故选C．‎ ‎ (2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b ‎＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.]‎ ‎ [规律方法]　　1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎ 2．记住以下结论，可提高运算速度 ‎ (1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；‎ ‎ i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎ [变式训练2]　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　) ‎ ‎【导学号：79170143】‎ ‎ A．1＋i　　　　　　 B．1－i ‎ C．－1＋i D．－1－i ‎ (2)已知i是虚数单位，8＋2 018＝________.‎ ‎ (1)D　(2)1＋i　[(1)由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D．‎ ‎ (2)原式＝8＋1 009‎ ‎ ＝i8＋1 009＝i8＋i1 009‎ ‎ ＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]‎ 复数的几何意义 ‎　(1)(2017·北京高考)若复数(1－i)(a ‎＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎ A．(－∞，1) B．(－∞，－1)‎ ‎ C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎ (2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)‎ ‎ A．－5 B．5‎ ‎ C．－4＋i D．－4－i ‎ (1)B　(2)A　[(1)∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i，‎ ‎ 又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，‎ ‎ ∴解得a<－1.‎ ‎ 故选B．‎ ‎ (2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，‎ ‎ ∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]‎ ‎ [规律方法]　　1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎ 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎[变式训练3]　(2017·郑州二次质检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z对应的点在(　　)‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第四象限 ‎ A　[由题意得z×1－2(1＋i)＝0，则z＝2＋2i在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A．]‎