安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

‎2019-2020学年安徽省安庆市桐城中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 设p：实数x，y满足且，q：实数x，y满足，则p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 命题“，且”的否定形式是 A. ，且 B. ，或 C. ，且 D. ，或 3. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么 A. 甲是乙成立的充分不必要条件 B. 甲是乙成立的必要不充分条件 C. 甲是乙成立的充要条件 D. 甲是乙成立的非充分非必要条件 4. 已知条件p：，条件q：，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. ‎ 6. 已知数列中，“”是“数列为等比数列”的什么条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 7. 已知方程表示双曲线，则m的取值范围是 A. B. C. 或 D. ‎ 8. 已知的周长为20，且顶点B ，C ，则顶点A的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ 9. 如图过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若，且，则抛物线的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ 10. 椭圆的两顶点为，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为 A. B. C. D. ‎ 1. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 2. 抛物线的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为 A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 已知命题p：，，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为______．‎ 4. 已知p：，q：，若是的必要不充分条件，则实数m的取值范围为______ ．‎ 5. 已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是______．‎ 6. 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为则该椭圆的离心率的取值范围是______ ．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 7. 已知，命题p：，，命题q：，． 若命题p为真命题，求实数a的取值范围； 若命题q为真命题，求实数a的取值范围． ‎ 8. 已知函数p：的值域是，q：关于a的不等式，若是充分不必要条件，求实数m的取值范围． ‎ 9. 已知命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆．命题q：实数m满足，其中．‎ 当且p和q均为真命题时，求实数m的取值范围；‎ 若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 1. 已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为． 求椭圆的标准方程； 设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且，求线段AB所在直线的方程． ‎ 2. 已知点M到点和直线的距离相等，记点M的轨迹为C． 求轨迹C的方程； 过点F作相互垂直的两条直线、，曲线C与l1交于点、，与交于点、，试证明：． ‎ 3. 已知椭圆C：过点，且离心率为． 求椭圆C的方程； 过A作斜率分别为，的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且，证明：直线MN过定点．‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由且，可得：，反之不成立，例如取，． 【解答】 解：由且，可得：，反之不成立：例如取，． 是q的充分不必要条件． 故选A． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 根据全称命题的否定是特称命题，“变量词，否结论”即可得到结论． 【解答】 解：命题为全称命题， 则命题的否定为：，或， 故选D． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义，解题的关键是注意在椭圆的定义中，一定要注意两个定点之间的距离小于两个距离之和． 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，再加上这个和大于两个定点之间的距离，可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，而点P的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值． 【解答】 解：命题甲是：“是定值”， 命题乙是：“点P的轨迹是以为焦点的椭圆 当一个动点到两个定点距离之和等于定值时， 再加上这个和大于两个定点之间的距离， 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出， 而点P的轨迹是以为焦点的椭圆，一定能够推出是定值， 甲是乙成立的必要不充分条件 故选B． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：条件p：，条件q：，或 故条件p是条件q的充分不必要条件 则是的必要不充分条件 故选：B． 根据已知中条件p：，条件q：，我们可以判断出条件p与条件q 之间的充要关系，然后再根据四种命题之间充要性的相互关系，即可得到答案． 本题考查的知识点是充要条件，其中根据已知条件判断出条件p是条件q的充分不必要条件是解答本题的关键． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：命题“，”“，” 是命题“，”为真命题的一个充分不必要条件． 故选：C． 先求命题“，”为真命题的一个充要条件即可 本题考查充分必要条件的概念，属于基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．比较基础． 结合等比数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】 解：若数列为等比数列，则满足， 当数列时满足，但此时数列为等比数列不成立， 即“”是“数列为等比数列”的必要不充分条件， 故选B． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：方程， ， 解得， 的取值范围是． 故选：D． 由方程表示双曲线，知，由此能求出m的取值范围． 本题考查实数m的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：的周长为20，顶点B ，C ， ，， 点A到两个定点的距离之和等于定值， 点A的轨迹是椭圆， ， ， 椭圆的方程是 故选：B． 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于一般题． 分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得a，进而根据，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得． 【解答】 解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设，则由已知得：， 由定义得：，故， 则在直角三角形ACE中，， ， ，， ， 从而得， ， 求得， 因此抛物线方程为． 故选D． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了椭圆的性质，要注意椭圆的离心率小于1，属基础题． 先求出F的坐标求出直线AB和BF的斜率，两直线垂直可知两斜率相乘得，进而求得a和c的关系式，进而求得e． 【解答】‎ 解：依题意可知点 直线AB斜率为， 直线BF的斜率为， ， ， 整理得， 即，即， 解得或， ， ， 故选：C．‎ ‎ 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N 则：连接AF，AN，AF，BF 所以：四边形AFBN为长方形． 根据椭圆的定义： ，则：． 所以： 利用 所以： 则： 即：椭圆离心率e的取值范围为 故选：A． 首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：，再根据椭圆的定义：，由离心率公式由的范围，进一步求出结论． 本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：设，，连接AF、BF 由抛物线定义，得， 在梯形ABPQ中，． 由余弦定理得， 配方得，， 又， 得到． 所以，即的最大值为． 故选：A． 设，，连接AF、由抛物线定义得，由余弦定理可得，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案． 本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由于命题p的逆否命题为真命题， 则：原命题为真命题， 故：命题p：，，为真命题， 则：， 解得：， 故：m的取值范围是． 故答案为： 直接利用原命题和逆否命题的等价性判断真假，进一步利用判别式求出结果． 本题考查的知识要点：四个命题的应用，等价命题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． ‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为是的必要不充分条件， 所以q是p的必要不充分条件， 即，但q推不出p， 即，即， 所以． 故答案为： 将条件是的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”，属于中档题． 设直线l与椭圆交于、，由“点差法”可求出直线l的斜率 再由由点斜式可得l的方程． 【解答】 解：设直线l与椭圆交于、， 将、两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率为： ． 由点斜式可得l的方程为． 故答案为． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为，c， 是以为底边的等腰三角形．若， ，即， ， 又由双曲线的离心率的取值范围为． 故． ， 设椭圆的半长轴长为， 则， 即 故 故答案为： 17.【答案】解：命题p：，为真命题， ，解得， 实数a的取值范围为； 命题q：，为真命题， 在单调递增，在单调递减， 当时，a取最大值，当时，当时， 实数a的取值范围为： ‎ ‎【解析】由题意解可得； 问题转化为的值域，由“对勾函数”的单调性可得． 本题考查带量词的命题，涉及一元二次方程根的存在性和“对勾函数”的单调性，属基础题． 18.【答案】解：的值域是， 的值域是， 则，得， 得或，即p：或， ， ， 得或， 即q：或， 若是充分不必要条件， 则q是p的充分不必要条件， 则，即， 得， 即实数m的取值范围是得． ‎ ‎【解析】根据条件方程求出命题p，q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键． 19.【答案】解：Ⅰ方程表示焦点在x轴上的椭圆， 则，得，得， 若，由得， 若则p，q同时为真，则． Ⅱ由，． 得，得，即q：，：或， 是的充分不必要条件， 或， 即或， ， 或 即实数a的取值范围是 ‎ ‎【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题的应用，比较基础． Ⅰ求出命题p，q成立的等价条件进行求解即可． Ⅱ根据充分条件和必要条件的定义进行不等式关系进行求解即可． 20.【答案】解：由题意可设椭圆的标准方程为：． 长轴长为6，离心率为，，又， 联立解得，，． 椭圆的标准方程为． ． 设直线AB的方程为，， 联立，化为， ，． 又，． 联立可得，解得． ． 直线AB的方程为． ‎ ‎【解析】由题意可设椭圆的标准方程为：由已知可得，，又，联立解得即可． 设直线AB的方程为，，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，又，可得联立解得即可． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.【答案】解：点M到点和直线的距离相等， 由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线， 设方程为，，． 轨迹C的方程为． 证明：设的方程为，代入抛物线方程，整理可得， 设、的横坐标分别为、，则， ， 以代入，可得， ． ‎ ‎【解析】利用点M到点和直线的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论； 设的方程为，代入抛物线方程，利用弦长公式求出，以代入，可得，代入可得结论． 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 22.【答案】解：椭圆C：过点，可得，且离心率为，解得， 所求椭圆方程为：分 当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，， ，则，分 当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：， 得， 设，，有分 则 将式代入化简可得：，即，分 直线MN：，恒过定点分 ‎ ‎【解析】利用椭圆C：过点，以及离心率为求出a，b，即可得到椭圆方程． 当直线MN斜率不存在时，设直线方程为，则，，然后求解当直线MN斜率存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立：，得，设，，利用韦达定理以及，得到k与b的关系，然后求解直线MN：，恒过定点． 本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力． ‎