2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第一部分 论方法 专题3 分类讨论思想 作业3
专题训练·作业(三)
一、选择题
1．(2016·兰州调研)若x>0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为( )
A．R B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案 D
解析 当x>1时，y＝lgx＋logx10＝lgx＋≥2＝2；当0
0，由图像知－30时，则f(x)<0，由图像知00时，函数f(x)＝|(ax－1)x|的大致图像如图．
函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a≤0是函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.
7．(2016·陕西八校联考)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g(x)＝(a>0且a≠1)，那么函数f(x)＝[g(x)－]＋[g(－x)－]的值域为( )
A．{－1，0，1} B．{0，1}
C．{1，－1} D．{－1，0}
答案 D
解析 ∵g(x)＝，∴g(－x)＝，
∴00，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以b＝a，c＝＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝＝2；②当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝tan＝，所以a＝b，c＝＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝＝.综上所述，双曲线C的离心率为2或.
10．(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案 B
解析 方法一 因为A，B，C均在单位圆上，AC为直径，故＋＝2＝(－4
，0)，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，又||≤||＋1＝3，所以|＋＋|≤4＋3＝7，故其最大值为7，选B.
方法二 因为A，B，C均在单位圆上，AC为直径，不妨设A(cosx，sinx)，B(cos(x＋α)，sin(x＋α))(α≠kπ，k∈Z)，C(－cosx，－sinx)，＋＋＝(cos(x＋α)－6，sin(x＋α))，|＋＋|＝＝≤7.故选B.
11．(2016·江南十校)如图，M，N是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为3，直线MN与x轴交于B点，则点B的横坐标的取值范围是( )
A．(－3，3]
B．(－∞，3]
C．(－6，－3)
D．(－6，－3)∪(－3，3]
答案 A
解析 ①若直线MN的斜率不存在，则点B的坐标为(3，0)．②若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得y12－y22＝4(x1－x2)，∴(y1＋y2)＝4，即kMN＝，∴直线MN的方程为y－t＝(x－3)，∴点B的横坐标xB＝3－，由消去x，得y2－2ty＋2t2－12＝0，由Δ>0得t2<12，又t≠0，∴xB＝3－∈(－3，3)．综上，点B的横坐标的取值范围为(－3，3]．
12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13
C．12 D．10
答案 B
解析 方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，分析讨论．
①当a＝0时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时b可以取4个值．故有4个有序数对；
②当a≠0时，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.显然有3个实数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)．
∵(a，b)共有4×4＝16个实数对，故答案应为16－3＝13.
13．(2016·太原模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1
(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝( )
A．－30 B．－60
C．90 D．120
答案 D
解析 由题意可知，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.
14．(2016·沈阳监测)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
答案 C
解析 根据直角三角形的直角的位置求解．
若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；
若∠A＝，则b＝a3≠0.
若∠B＝，根据斜率关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.
以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
二、填空题
15．(2016·石家庄模拟)已知在(－1，1)上函数f(x)＝且f(x)＝－，则x的值为________．
答案 －
解析 当－1.
17．(2016·南宁模拟)已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________．
答案 －7
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由x＝1时，函数取得极值10，得
联立①②得或
当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b
＝3不符合题意，舍去．
综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.
18．(2015·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图像与直线y＝b有两个交点，结合图像可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
