数学文卷·2019届广东省深圳市耀华实验学校高二上学期期末考试（2018-01）

数学文卷·2019届广东省深圳市耀华实验学校高二上学期期末考试（2018-01）

绝密★启用前 ‎2017－2018学年第一学期期末考试 高二年级实验班(文科数学)试题卷 ‎ 2018.01‎ 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．若，则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2．设的内角，，所对边分别为，，，若，，，则= ‎ ‎ (A) (B) (C) 或 (D)‎ ‎3．下列有关命题的说法中，正确的是 ‎(A)命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎(B)命题“若，则 ”的逆否命题为真命题 ‎(C)命题“，使得”的否定是“，都有”‎ ‎(D) “”是“”的充分不必要条件 ‎4．抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为 ‎ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5‎ ‎5．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6．若是正数，且，则有 ‎(A) 最大值16　 (B) 最小值 (C) 最小值16　 (D)最大值 ‎7．清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为 ‎（A）3 （B）12 （C）24 （D）36‎ ‎8．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎9．设变量满足约束条件，则的最大值是 ‎ (A) 1 (B) (C) (D)2‎ ‎10．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件．那么是成立的 ‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎11．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ‎（A）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件 ‎12．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．若公差为2的等差数列的前9项和为81，则=__________．‎ ‎14．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则______．‎ ‎15．设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是______． ‎ ‎16．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则=______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分． ‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ 在中，角的对边分别是，．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若， 的面积，求的值．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点，若线段中点的横坐标为，求斜率的值.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. （Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值； （Ⅱ）求证：点在一条定直线上.‎ F1‎ A x y O F2‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，设函数．若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．‎ ‎2017—2018学年第一学期期末考试 高二年级实验班(文科数学)试题 参考答案 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C A D D A C C B B A C C 二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．‎ ‎13．. 14．. 15．．16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．（本小题满分10分） ‎ 在中，角的对边分别是，．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若， 的面积，求的值．‎ 解：（1）由已知得，‎ ‎∴由正弦定理得sinAsinC=sinC（cosA+1），． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ‎∴sinA﹣cosA=1，‎ 故sin（A﹣）=．…‎ 由0＜A＜π，得A=； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）在△ABC中，16﹣3bc=b2+c2﹣bc，‎ ‎∴（b+c）2=16，故b+c=4． ①…（9分）‎ 又S△ABC==bc，‎ ‎∴bc=4．②…（11分）‎ 联立①②式解得b=c=2． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎18．（本题满分12分）‎ 已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）由题得 ……………………………2分 ‎∴，∴， ……………………………………4分 ‎∴ ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵，∴ ……………………8分 ‎∴ …………………9分 ‎∴ ……………………………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）∵，∵，即，．．．．．．．．．3分 ‎∴ 所求切线方程为，即．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ），∵在上单调递增，∴在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，令，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎，令，则，‎ ‎∵在上；在上，，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎20．(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点，若线段中点的横坐标为，求斜率的值.‎ 解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 ‎。解得，则椭圆方程为 ……………4分 ‎（Ⅱ）将代入中得 ‎， ……………………………………………………6分 ‎，‎ ‎， … …………10分 因为中点的横坐标为，所以，‎ 解得. …………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. （Ⅰ）证明：直线和的斜率之积为定值； ‎ ‎ （Ⅱ）求证：点在一条定直线上.‎ 解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将其代入，消去整理得 . ………….. 2分 设的坐标分别为， ‎ 则. ………….. 3分 将抛物线的方程改写为, 求导得.‎ 所以过点的切线的斜率是，过点的切线的斜率是， ‎ 故 ‎ ‎ 所以直线和的斜率之积为定值. ………….. 6分 ‎（Ⅱ）设. 因为直线的方程为，即，‎ 同理，直线的方程为，‎ 联立这两个方程，消去得 ，‎ 整理得，注意到，所以. …………..8分 此时. ………….. 10分 由（Ⅰ）知，， 所以，‎ 所以点在定直线上. ………….. 12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，设函数．若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，‎ 的导数为f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣（a＞0），．．．．．．．．．．．．．．．2分 当a∈（0，1）时，．‎ 由f'（x）＜0，得或x＜1．‎ 当x∈（0，1），时，单调递减．‎ ‎∴f（x）的单调递减区间为（0，1），；‎ ‎②当a=1时，恒有f'（x）≤0，∴f（x）单调递减．‎ ‎∴的单调递减区间为（0，+∞）； 5‎ ‎③当a∈（1，+∞）时，．‎ 由f'（x）＜0，得x＞1或．‎ ‎∴当，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．‎ ‎∴f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．‎ 综上，当a∈（0，1）时，的单调递减区间为（0，1），；‎ 当a=1时，的单调递减区间为（0，+∞）；‎ 当a∈（1，+∞）时，的单调递减区间为，（1，+∞）．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，‎ 即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．‎ 令函数．‎ 则．‎ 令函数．‎ 则在上有p'（x）≥0．‎ 故p（x）在上单调递增．‎ ‎∵p（1）=0，∴当时，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）单调递减；‎ 当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0即h'（x）＞0，‎ ‎∴h（x）单调递增．‎ ‎∵，h（1）=1， ，‎ ‎∴k的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分