数学文卷·2017届陕西省黄陵中学2017届高三（普通班）下学期期中质量检测（2017

数学文卷·2017届陕西省黄陵中学2017届高三（普通班）下学期期中质量检测（2017

高三普通班期中教学质量检 文科数学 第一卷（选择题） 一、选择题（60 分） 1.已知集合 M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则 P 的子集共有( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2.(2014·宜春检测)设集合 P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是( ) A.P⊆Q B.Q⊆P C.P＝Q D.P∪Q＝R 3．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( ) A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 4．某同学使用计算器求 30 个数据的平均数时，错将其中的一个数据 105 输入为 15，那么 由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )． A．3.5 B．3 C．0.5 D．－3 5.将骰子向桌面上先后抛掷 2 次，其中向上的数之积为 12 的结果有（ ） A.2 种 B.4 种 C.6 种 D.8 种 6.已知集合 A＝{x|x＜a}，B＝{x|1≤x＜2}，且 A∪(∁ RB)＝R，则实数 a 的取值范围( ) A.(－∞，1] B.(－∞，1) C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) 7．设直线 m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )． A．在平面α内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线 m 垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线 m 平行的平面不可能与平面α垂直 8．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆 x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0 相切，则实数 k 的取值 范围是( ) A．k>2 B．－32 D．以上都不对 9．给出以下一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是（ ） （A）求输出 a,b,c 三数的最大数 （B）求输出 a,b,c 三数的最小数 （C）将 a,b,c 按从小到大排列 （D）将 a,b,c 按从大到小排列 10．若函数 f(x)＝sin2x－1 2 (x∈R)，则 f(x)是( ) A．最小正周期为π 2 的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为 2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 11.要得到函数 xy 2sin 的图象，可由函数 )42cos(  xy （ ） A. 向左平移 8  个长度单位 B. 向右平移 8  个长度单位 C. 向左平移 4  个长度单位 D. 向右平移 4  个长度单位 12．数列{an}的通项公式 an＝ncosnπ 2 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2016 等于( ) A．1008 B．2016 C．504 D．0 第二卷 （非选择题） 二、填空题（20 分） 13． 已知向量 a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________． 14． 若 x，y 满足约束条件 x－y＋1≥0， x＋y－3≥0， x－3≤0， 则 z＝x－2y 的最小值为________． 15． 已知直线 l：x－ 3y＋6＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|＝________． 16． 已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)在点(1，2)处 的切线方程是________． 三、计算题（17 题 10 分，其余每题 12 分） 17. 已知各项都为正数的数列{an}满足 a1＝1，a2 n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 18． 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 P(A)的估计值； (2)记 B 为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值． 19. 某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在 购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不 足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整 理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 图 15 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的易损零件数． (1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易 损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据， 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 20．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 2 2 ，点(2， 2)在 C 上． (1)求 C 的方程； (2)直线 l 不经过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 21． 设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln2 a . 22.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈ 0，π 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3x＋2 垂直，根据(1)中你得到的参 数方程，确定 D 的坐标． 参考答案 1.解析 P＝M∩N＝{1，3}，故 P 的子集共有 4 个. 答案 B 2.解析 由集合 Q＝{x|x2－x＞0}，知 Q＝{x|x＜0 或 x＞1}，所以 P⊆Q，故选 A. 答案 A 3.[答案] C [解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不 是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边 平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥． 4.答案 D 5.B 6.解析 ∵B＝{x|1≤x＜2}，∴∁ RB＝{x|x＜1 或x≥2}.又A∪(∁ RB) ＝R，如图只要 a≥2. 答案 C 7.解析 画图或在正方体模型中观察可得． 答案 B 8.C [由题意知点在圆外，故 12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得 k<－3 或 k>2．] 9.【解析】选 B.由所给的程序框图来看是输出三个数中的最小值. 10．D [f(x)＝sin2x－1 2 ＝1 2 (2sin2x－1)＝－1 2 cos 2x， ∴T＝2π 2 ＝π，f(x)为偶函数．] 11.C 12.A 13．－6 [解析] 因为 a∥b，所以－2m－4×3＝0，解得 m＝－6. 14．－5 [解析] 由 x－y＋1≥0， x＋y－3≥0， x－3≤0 画出可行域(图中阴影部分所示)，则 z＝x－2y 在 B 处取 得最小值．由 x－y＋1＝0， x－3＝0， 得 B(3，4)，所以 zmin＝3－8＝－5. 15．4 [解析] 联立 x－ 3y＋6＝0， x2＋y2＝12， 消去 x 得 y2－3 3y＋6＝0，解之得 x＝－3， y＝ 3 或 x＝0， y＝2 3. 不妨设 A(－3， 3)，则过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程为 3x＋y＋2 3＝0，令 y ＝0 得 xC＝－2.同理得过点 B 且与 l 垂直的直线与 x 轴交点的横坐标 xD＝2，∴|CD|＝4. 16．2x－y＝0 [解析] 当 x>0 时，－x<0，∵当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，∴f(－x)＝ex－1 ＋x.又∵f(－x)＝f(x)，∴当 x>0 时，f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，即 f′(1)＝2，∴ 过点(1，2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，整理得 2x－y＝0. 17．解：(1)由题意得 a2＝1 2 ，a3＝1 4 . (2)由 a2 n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0 得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因为数列{an}的各项都为正数，所以an＋1 an ＝1 2 ， 故{an}是首项为 1，公比为1 2 的等比数列，因此 an＝ 1 2n－1. 18．解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小 于 2 的频率为60＋50 200 ＝0.55，故 P(A)的估计值为 0.55. (2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次 数大于 1 且小于 4 的频率为30＋30 200 ＝0.3，故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 19．解：(1)当 x≤19 时，y＝3800； 当 x>19 时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700. 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝ 3800，x≤19， 500x－5700，x>19 (x∈N)． (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7， 故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易 损零件上的费用为 3800 元，20 台的费用为 4300 元，10 台的费用为 4800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 1 100 ×(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000(元)． 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4000 元，10 台的费用为 4500 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需 费用的平均数为 1 100 ×(4000×90＋4500×10)＝4050(元)． 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件． 20．解：(1)由题意有 a2－b2 a ＝ 2 2 ，4 a2＋2 b2＝1， 解得 a2＝8，b2＝4. 所以 C 的方程为x2 8 ＋y2 4 ＝1. (2)证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将 y＝kx＋b 代入x2 8 ＋y2 4 ＝1 得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故 xM＝x1＋x2 2 ＝－2kb 2k2＋1 ，yM＝k·xM＋b＝ b 2k2＋1 . 于是直线 OM 的斜率 kOM＝yM xM ＝－ 1 2k ，即 kOM·k＝－1 2 . 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值． 21．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－a x (x>0)． 当 a≤0 时，f′(x)>0，f′(x)没有零点． 当 a>0 时，因为 e2x 单调递增，－a x 单调递增，所以 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又 f′(a)>0，当 b 满足 00 时，f′(x)存在唯一零点． (2)证明：由(1)可设 f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为 x0.当 x∈(0，x0)时，f′(x)<0； 当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当 x＝x0 时，f(x)取得最 小值，最小值为 f(x0)． 由于 2e2x0－a x0 ＝0，所以 f(x0)＝ a 2x0 ＋2ax0＋aln2 a ≥2a＋aln2 a . 故当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln2 a . 22 解：(1)C 的普通方程为 (x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得 C 的参数方程为 x＝1＋cos t， y＝sin t， (t 为参数，0≤t≤π)． (2)设 D(1＋cos t，sin t)．由(1)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆．因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同，tan t＝ 3，t＝π 3 . 故 D 的直角坐标为 1＋cosπ 3 ，sinπ 3 ，即 3 2 ， 3 2 .