2018届二轮复习 平面向量 学案（ 江苏专用）

2018届二轮复习 平面向量 学案（ 江苏专用）

专题7：平面向量(两课时)‎ 班级 姓名 ‎ 一、前测训练 ‎1． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，则|a－b|的取值范围是 ．‎ ‎(2) 已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ 答案：(1)[0,4]．(2) 90°．‎ A B C D E ‎2．(1)在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，点D是边BC上一点，DC＝2BD．则·＝ ．‎ ‎(2)如图，在边长为2的菱形ABCD中，ÐBAD＝60°，E为CD中点，‎ 则×＝ ．‎ ‎(3)已知OA＝2，OB＝2, ·＝0，点C在线段AB上，且∠AOC＝60°，则·＝________________．‎ 答案：(1)－．(2)1．(3)4．‎ 二、方法联想 ‎1．向量的运算 方法1 用向量的代数运算．‎ 方法2 结合向量表示的几何图形．‎ 变式1、已知平面向量,满足||＝1，且与－的夹角为120°，则的模的取值范围是 ‎ 答案：（0，]‎ ‎（结合向量的几何图形求解）‎ 变式2、△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3， 则·＝________.‎ 答案：‎ ‎(外心隐含着垂直关系)‎ ‎2．向量的应用 方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．‎ 方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决问题．‎ 变式1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，·＝4， ‎·＝－1，则·的值是 . ‎ 答案：‎ 解析：两个思路，一是特殊成等腰三角形，建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，比如以，为基底. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：‎ ‎（已知数量积求相关的其他数量积） ‎ 变式3、在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝－2，动点P，M满足||＝1，＝，则||的最大值是__________‎ 答案: ‎ ‎(采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时得到动点的轨迹是圆，因此可用圆的性质得出最值)‎ 变式4、在等腰梯形中,已知平行于,,动点分别在线段上,且,则的最小值为 . ‎ 答案：‎ ‎(数量积标示为的函数)‎ 变式5、已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，则·的最小值为 ．‎ 答案：2－3‎ ‎ （利用向量数量积的定义解决）‎ 三、例题分析 例1 （1）若向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，则实数x＝ ．‎ ‎（2）已知a，b都是单位向量，a·b＝－，则|a－b|＝ ．‎ ‎（3）已知向量a＝（－3，2），b＝（－1，0），且向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值是　　 ．‎ ‎（4）若平面向量a，b满足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y轴，a＝(2，－1)，则b＝ ‎ 答案：（1）－4；（2）；（3）－；（4）（－2，2）或（－2，0）．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）．‎ ‎2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法．‎ ‎3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）．‎ ‎4．坐标形式下向量模长的计算公式．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．‎ ‎2．第（4）小题，常规方法是设出向量b的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a＋b的两要素，先求出向量a＋b的坐标，再求向量b的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．‎ 例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则•＝ ．‎ ‎（2）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若·＝0，＝λ，则实数λ的值为 ．‎ ‎（3）已知A（－3，0），B（0，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝60°，＝λ＋，则实数λ的值是 ．‎ ‎（4）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.‎ 答案：（1）；（2）2；（3）；(4)22‎ 解析　(4)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－2＝2.[来源:Zxxk.Com]‎ 又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．解（1）小题可以是基底法（以和为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．‎ ‎2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义．‎ ‎3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知．‎ 例3 （1） 向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则＝ ．‎ ‎•‎ A B C D E F P ‎（2）如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点．设＝α＋β（α、β∈R），则α＋β的取值范围是 ．‎ 答案：（1）4；（2）[3，4]．‎ ‎〖教学建议〗‎ 一、主要问题归类与方法：‎ ‎1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．‎ ‎2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法．‎ 二、方法选择与优化建议：‎ ‎1．解决这两题用坐标法优于基底法．‎ ‎2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．‎ 四、反馈练习 ‎1．（1）在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．（用a，b表示）．‎ 答案：－a＋b．‎ ‎（2）在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝ ．‎ 答案： 说明：考查向量的几何运算．‎ ‎2．（1）设＝(2，3)，且点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为 ．‎ 答案：(3，5) ．‎ ‎（2）已知向量＝(，)，＝(，) ，则∠ABC＝___‎ 答案:30°‎ ‎（3）已知向量a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x= ．‎ 答案：4．‎ ‎（4）已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值是 ．‎ 答案：2．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（5）设向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，则(a×b)(a＋b)等于 ．‎ 答案：(－4，－4) ．‎ ‎（6）已知＝(5，4)与＝(3，2)，则与2－3平行的单位向量为 ．‎ 答案：．‎ 说明：考查向量的坐标表示及其运算用坐标表示的形式．‎ ‎3．（1）若|a|＝3，| b |＝2，且a与b的夹角为60°，则|a－b |＝ ．‎ 答案：‎ ‎（2）若|a|＝1，| b |＝2，a与b的夹角为60°，若(3 a＋5 b)⊥(m a－b)，则实数的值为　　　　 ．‎ 答案：‎ ‎(3)若b＝，|a|＝2|b|，且(a＋b)·b＝－2，则向量a，b的夹角为________.‎ 答案　 解析　‎ b2＝cos2＋cos2＝cos2＋sin2＝1，‎ 所以|b|＝1，|a|＝2.‎ 由(a＋b)·b＝－2，可得a·b＋b2＝－2，‎ 故a·b＝－，‎ 故cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 又〈a，b〉∈[0，π]，‎ 所以〈a，b〉＝.‎ ‎（4）已知平面上三点A，B，C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则×＋×＋×的值等于 ．[来源:Zxxk.Com]‎ 答案：－25．‎ ‎（5）在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM＝2，则×(＋)的最小值是__________．‎ 答案：－2．‎ 说明：考查向量的模、夹角、平行、垂直的坐标表示．‎ ‎4． （1）设a、b、c是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为 ．‎ 答案： ‎（2）若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角是 ．‎ 答案：；‎ A B C D M N O ‎（3）如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，‎ M，N是线段AB的三等分点．若OA=6，则的值是 ．‎ 答案：26．‎ x y A B O ‎1‎ ‎（4）函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，点A为函数图象与x轴的交点，点B在函数图象上，且纵坐标为1．则(＋)•＝ ．‎ 答案：6‎ 说明：考查向量数量积． ‎ ‎5．（1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ．‎ ‎（2）已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，︱a＋b︱＝5，则︱b︱＝ ．‎ ‎（3）平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ．‎ ‎（4）在菱形ABCD中，若AC＝4，则•＝ ．‎ 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；（3）2．（4）－8．‎ 说明：考查向量的坐标运算．‎ ‎6．（1）已知正△ABC的边长为1，＝7＋3，则·＝ ．‎ 答案：－2；‎ ‎（2）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.‎ 答案　－ 解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.‎ ‎（3）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），则λ1＋λ2的值为__________。‎ 答案： ‎（4）已知a，b是单位向量，a·b＝0．若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是 ．‎ 答案：[－1，＋1]．‎ ‎（5）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，‎ 且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），‎ 则λ＋μ的值为 ．‎ 答案：6‎ ‎（6）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于 ．‎ 答案： ‎ D C A B 如图 ‎（7）如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||×||＋||×||＝4，‎ •＝•＝0，则(＋)•的值为 ．‎ 答案：4．‎ 说明：考查向量几何表示的运算．‎ ‎7．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．‎ 答案： 说明：考查向量与三角函数的结合．‎ ‎8．已知⊥，||＝，||＝t ，若P点是△ABC所在平面内一点，且＝＋，‎ ‎ 则· 的最大值＝______．‎ 答案：13‎ 解析：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此 ‎，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．‎ 说明：考查平面向量数量积以及基本不等式．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．‎ ‎(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；‎ ‎(2)当k＝－时，求(－k)·的值．‎ 答案：(1)4，2；(2) 0.‎ 说明：考查向量的坐标运算．‎ ‎10．已知△ABC中，角A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设向量m＝(cos ‎ A，sin A)，n＝(cos A，－sin A)，且m与n的夹角为.‎ ‎(1)计算m·n的值并求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝，c＝，求△ABC的面积S.‎ 答案： (1) m·n＝；A＝； (2) .‎ 说明：考查向量与三角函数的结合．‎ ‎11． 在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求||；‎ ‎(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．[来源:Z+xx+k.Com]‎ 答案：(1) 2； （2）m－n＝－x＋y，m－n的最大值为1.‎ 说明：考查向量与线性规划的结合．‎ ‎12. （2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,﹒=﹒=﹒=-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是 .‎ 答案(考查向量数量积).‎ ‎13．在等腰梯形ABCD中,已知AB//CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°,动点E和F分别在线段BC 和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值.‎ 答案：‎ 解析：因为，，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ 当且仅当即时的最小值为.‎ 说明：考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.‎