2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-4 双曲线及其性质（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§9-4 双曲线及其性质（讲解部分）

专题九　平面解析几何 §9.4 　双曲线及其性质 高考文数 考点一　双曲线的定义及标准方程 考点清单 考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 || MF 1 |-| MF 2 ||=2 a ,其中2 a <| F 1 F 2 | . (2)当| MF 1 |-| MF 2 |=2 a 时,轨迹为 焦点 F 2 所对应的双曲线的一支 . 当| MF 1 |-| MF 2 |=-2 a 时,轨迹为 焦点 F 1 所对应的双曲线的一支 . 当2 a =| F 1 F 2 |时,轨迹为 分别以 F 1 、 F 2 为端点的两条射线 . 当2 a >| F 1 F 2 |时,动点轨迹 不存在 . 2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程是根据双曲线的定义,通过建立恰当的坐标系求出的.若 已知所求曲线是双曲线,则可利用待定系数法求方程.参数 b =   是由于 进一步化简方程的需要而引入的,但它同样具有明确的几何意义: b 表示双 曲线虚半轴的长.由双曲线的标准方程可确定双曲线实半轴长 a 和虚半轴 长 b ,再结合 c 2 = a 2 + b 2 ,就可得到双曲线的顶点、焦点坐标,实轴长,虚轴长,焦 距,离心率,渐近线等性质. 求双曲线的标准方程也是从 “定形”“定式”和“定量” 三个方面去考 虑.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪 条坐标轴上;“定式”是根据“形”设双曲线方程的具体形式;“定量” 是指用定义法或待定系数法确定 a , b 的值.若双曲线的焦点在 x 轴上,可设双 曲线方程为   -   =1( a >0, b >0) ;若双曲线的焦点在 y 轴上,可设双曲线方程 为   -   =1( a >0, b >0) ;若焦点位置无法确定,可设双曲线方程为   +   =1 ( mn <0)或 Ax 2 + By 2 =1( AB <0) 的形式,这样可避免讨论,减少运算量. 【知识拓展】 过焦点 F 1 的弦 AB 与双曲线交在同支上,则 AB 与另一个焦点 F 2 构成的△ ABF 2 的周长为4 a +2| AB |.   考向一　双曲线定义的应用 考向突破 例1　虚轴长为2,离心率 e =3的双曲线的两焦点为 F 1 , F 2 ,过 F 1 作直线交双曲 线的一支于 A 、 B 两点,且| AB |=8,则△ ABF 2 的周长为   (　　) A.3　    B.16+   　    C.12+   　    D.24 解析　∵2 b =2, e =   =3, ∴ b =1, c =3 a ,∴9 a 2 = a 2 +1,∴ a =   . 由双曲线的定义知:| AF 2 |-| AF 1 |=2 a =   ①, | BF 2 |-| BF 1 |=   ②, ①+②得| AF 2 |+| BF 2 |-(| AF 1 |+| BF 1 |)=   , 又| AF 1 |+| BF 1 |=| AB |=8, ∴| AF 2 |+| BF 2 |=8+   ,则△ ABF 2 的周长为16+   ,故选B. 答案    B 考向二　求双曲线的标准方程 例2    (2018天津,7,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离心率为2,过右焦 点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点.设 A , B 到双曲线的同一条渐 近线的距离分别为 d 1 和 d 2 ,且 d 1 + d 2 =6,则双曲线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 解析　∵双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离心率为2, ∴ e 2 =1+   =4,∴   =3,即 b 2 =3 a 2 ,∴ c 2 = a 2 + b 2 =4 a 2 , 不妨设点 A (2 a ,3 a ), B (2 a ,-3 a ), ∵   =3,∴渐近线方程为 y = ±   x , 则点 A 与点 B 到直线   x - y =0的距离分别为 d 1 =   =   a , d 2 =   =   a ,又∵ d 1 + d 2 =6,∴   a +   a =6,解得 a =   ,∴ b 2 =9. ∴双曲线的方程为   -   =1,故选A. 答案    A 考向基础 考点二　双曲线的几何性质 标准方程   -   =1( a >0, b >0)   -   =1( a >0, b >0)       一般方程 mx 2 + ny 2 =1( mn <0)   范围 | x | ≥ a , y ∈R | y | ≥ a , x ∈R 焦点 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c ), F 2 (0, c ) 顶点 A 1 (- a ,0), A 2 ( a ,0) A 1 (0,- a ), A 2 (0, a ) 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点对称 实、虚轴长 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴,它的长| A 1 A 2 |=2 a ;线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴,它的长| B 1 B 2 |=2 b ( a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长) 焦距 焦距| F 1 F 2 |=2 c , c 是半焦距 离心率 e =   =   ( e >1) 渐近线 方程 y = ±   x y = ±   x 【知识拓展】 1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为   . 2. P 为双曲线上的点, F 1 , F 2 为双曲线的两个焦点,且∠ F 1 PF 2 = θ ,则△ F 1 PF 2 的 面积为   .   3.焦点到渐近线的距离为 b . 4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)双曲线为等轴双曲线 ⇔ 双曲线离心率 e =   ⇔ 两条渐近线互相垂直. 5.双曲线   -   =1( a >0, b >0)的共轭双曲线为   -   =1( a >0, b >0),它们有共同 的渐近线 y = ±   x ,离心率满足的关系式为   +   =1. 6.设 P , A , B 是双曲线上的三个不同的点,其中 A , B 关于原点对称,则直线 PA 与 PB 的斜率之积为   . 考向一　求双曲线的离心率 考向突破 例3    (2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线   -   =1( a >0, b > 0)的右焦点 F ( c ,0)到一条渐近线的距离为   c ,则其离心率的值是 　　          . 解析　双曲线的一条渐近线方程为 bx - ay =0,则 F ( c ,0)到这条渐近线的距离 为   =   c ,∴ b =   c ,∴ b 2 =   c 2 ,又 b 2 = c 2 - a 2 ,∴ c 2 =4 a 2 ,∴ e =   =2. 答案　2 考向二　求双曲线的渐近线方程 例4    (2019四川成都二诊,2)已知双曲线 C : x 2 -   =1( b >0)的焦距为4,则双曲 线 C 的渐近线方程为   (　　) A. y = ±   x 　    B. y = ± 2 x C. y = ± 3 x 　     D. y = ±   x 解析　双曲线 C : x 2 -   =1( b >0)的焦距为4,则2 c =4,即 c =2, ∵1+ b 2 = c 2 =4, b >0,∴ b =   , ∴双曲线 C 的渐近线方程为 y = ±   x , 故选D. 答案    D 考点三　直线与双曲线的位置关系 考向基础 1.直线与双曲线的位置关系:(1)无交点;(2)有一个交点,可能相切,也可能相 交;(3)有两个交点,在一支上或在两支上. 2.研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消 元,得关于 x 或 y 的方程, 当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上 一点;当二次项系数不等于0时,用判别式 Δ 来判定. 考向一　由直线与双曲线的位置关系求参数的取值范围 考向突破 例5　双曲线 E :   - y 2 =1( a >0)的离心率为   ,直线 y = kx -1与双曲线 E 的右支 交于 A , B 两点,则实数 k 的取值范围为 　　　     . 解析　由   得   ∴双曲线 E 的方程为 x 2 - y 2 =1. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由   得(1- k 2 ) x 2 +2 kx -2=0, ∵直线与双曲线的右支交于 A , B 两点, ∴   即   解得1< k <   . 即实数 k 的取值范围为(1,   ). 答案　(1,   ) 例6　已知直线 y =1- x 与双曲线 ax 2 + by 2 =1( a >0, b <0)的渐近线交于 A 、 B 两点, 且过原点和线段 AB 中点的直线的斜率为-   ,则   的值为   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   考向二　与双曲线有关的弦中点问题 解析　由双曲线 ax 2 + by 2 =1( a >0, b <0)知其渐近线方程为 ax 2 + by 2 =0,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则有 a   + b   =0①, a   + b   =0②,由①-②得 a (   -   )=- b (   -   ),即 a ( x 1 + x 2 )( x 1 - x 2 )=- b ( y 1 + y 2 )( y 1 - y 2 ),由题意可知 x 1 ≠ x 2 ,且 x 1 + x 2 ≠ 0,∴   ·   =-   , 设线段 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ),则 k OM =   =   =   =-   ,又知 k AB =-1,∴-   × (-1)=-   ,∴   =-   ,故选A. 答案    A 方法1 　求双曲线的标准方程的方法 1. 定义法 :由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定2 a , 2 c ,然后确定 a 2 , b 2 的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2. 待定系数法 :根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根据 条件列出关于 a , b 的方程组,解出 a , b ,从而写出双曲线的标准方程. 3.利用待定系数法求双曲线标准方程的常用设法:(1)与双曲线   -   =1( a > 0, b >0)共渐近线的双曲线方程可设为   -   = λ ( λ ≠ 0) ;(2)若双曲线的渐近线 方程为 y = ±   x ,则双曲线方程可设为   -   = λ ( λ ≠ 0) ;(3)若双曲线过两个已 方法技巧 知点,则双曲线方程可设为   +   =1( mn <0) ,也可设为 Ax 2 + By 2 =1( AB <0) . 例1　设双曲线与椭圆   +   =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交 点的坐标为(   ,4),则此双曲线的标准方程是 　　　　　　     . 解析　解法一:椭圆   +   =1的焦点坐标是(0, ± 3),设双曲线方程为   -   = 1( a >0, b >0),根据双曲线的定义知2 a =|   -   |= 4,故 a =2.又 b 2 =3 2 - a 2 =5,故所求双曲线的标准方程为   -   =1. 解法二:椭圆   +   =1的焦点坐标是(0, ± 3).设双曲线方程为   -   =1( a > 0, b >0),则 a 2 + b 2 =9①,又点(   ,4)在双曲线上,所以   -   =1②,联立①②,解 得 a 2 =4, b 2 =5.故所求双曲线的标准方程为   -   =1. 解法三:设双曲线的方程为   +   =1(27< λ <36), 由于双曲线过点(   ,4),故   +   =1, 解得 λ 1 =32, λ 2 =0, 经检验, λ 1 =32, λ 2 =0都是分式方程的根,但 λ =0不符合题意,应舍去,所以 λ =32. 故所求双曲线的标准方程为   -   =1. 答案       -   =1 方法2 　求双曲线的离心率(或其取值范围)的方法 1.在解析几何中,解决求范围问题,一般可从以下几个方面考虑:(1)与已知 范围联系,通过 求函数值域或解不等式 来完成;(2)通过一元二次方程的根 的 判别式 Δ 的符号建立不等关系;(3)利用 点在曲线内部 建立不等关系;(4)利 用解析式的 结构特点 ,如 a 2 ,| a |,   等的非负性来完成范围的求解. 2.求双曲线离心率或离心率范围的常用方法 (1)求 a 及 b ( c )的值,由 e 2 =   =   =1+   求 e . (2)列出 含有 a , b , c 的齐次方程(或不等式) ,借助于 b 2 = c 2 - a 2 消去 b ,然后转化成 关于 e 的方程(或不等式)求解. 例2    (2019四川攀枝花三统,11)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左、右 焦点分别为 F 1 , F 2 , O 为坐标原点, P 为双曲线在第一象限上的点,直线 PO , PF 2 分别交双曲线 C 的左,右支于 M , N ,若| PF 1 |=3| PF 2 |,且∠ MF 2 N =120 ° ,则双曲线 的离心率为   (　　) A.   　    B.3　    C.2　    D.   　 解析　由双曲线的定义可得| PF 1 |-| PF 2 |=2 a , 由| PF 1 |=3| PF 2 |,可得| PF 2 |= a ,| PF 1 |=3 a , 又| PO |=| MO |,| F 1 O |=| F 2 O |, 所以四边形 PF 1 MF 2 为平行四边形, 所以| PF 1 |=| MF 2 |=3 a ,| PF 2 |=| MF 1 |= a , 因为∠ MF 2 N =120 ° ,所以∠ F 1 MF 2 =120 ° , 在△ F 1 MF 2 中,由余弦定理,得| MF 1 | 2 +| MF 2 | 2 -| F 1 F 2 | 2 =2| MF 1 |·| MF 2 |·cos∠ F 1 MF 2 , 即 a 2 +9 a 2 -4 c 2 =-3 a 2 ,即13 a 2 =4 c 2 , 所以 e 2 =   =   ,即 e =   . 答案    D 例3    (2020届河南南阳一中10月月考,10)已知点 O 为双曲线 C 的对称中心, 直线 l 1 , l 2 交于 O 且相互垂直, l 1 与 C 交于点 A 1 , B 1 , l 2 与 C 交于点 A 2 , B 2 ,若使得| A 1 B 1 | =| A 2 B 2 |成立的直线 l 1 , l 2 有且只有一对,则双曲线 C 的离心率的取值范围是   (　　) A.(1,2]　    B.(1,   ]　    C.[   ,2]　    D.(   ,+ ∞ ) 解析　不妨设双曲线的方程是   -   =1( a >0, b >0),由| A 1 B 1 |=| A 2 B 2 |, A 1 B 1 ⊥ A 2 B 2 及双曲线的对称性知 A 1 , A 2 ; B 1 , B 2 分别关于 x 轴对称,又满足条件的直线有且 只有一对,则直线 l 1 , l 2 与 x 轴的夹角均为45 ° ,故双曲线的渐近线与 x 轴的夹角 大于45 ° ,可得   >tan 45 ° =1,则 e =   =   >   ,故双曲线的离心率的取值 范围是(   ,+ ∞ ),故选D. 答案    D