2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用（讲）（原卷版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用（讲）（原卷版）

专题15 分段函数的性质、图象以及应用 新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ 知识储备：‎ 分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.‎ 分段函数的函数值问题：‎ ‎(1)已知自变量求函数值 例、已知函数=，若=4，则实数=‎ A． B． C．2 D．9‎ 例、设，则的值为 A．1 B．0 C． D．‎ 例、函数满足，且在区间上，则的值为 ．‎ ‎(2)已知函数值求自变量：‎ 已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.‎ 例、已知函数．若，则实数的值等于 ‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ 例、已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 分段函数的定义域值域问题：‎ 例、如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．‎ 例、若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ 分段函数的图象问题：‎ ‎(1)由式定图：根据解析式确定函数的图象 例、已知函数f(x)＝则正确的函数图象是(　　)‎ ‎(2)由图定式：根据图象求函数的解析式 例、如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，求函数f(x)的解析式．‎ ‎(3)图象的变换：‎ 例、已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是(　　)‎ 分段函数与方程问题：‎ 例、对实数与，定义新运算“”： 设若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． 　B．‎ C． D．‎ 例、已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． ‎ 分段函数与不等式 ‎ 将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想.‎ 例、已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为 A． B．‎ C． D．‎ 例、已知函数=，若||≥，则的取值范围是 A． B． C．[－2,1] D．[－2,0]‎ 分段函数与零点 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法.‎ 例、已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 例、已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 分段函数与单调性、奇偶性问题 分段函数是定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.‎ 例、函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在[－1,3]上的解集为(　　)‎ A．(1,3) B．(－1,1)‎ C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)‎ 例、已知函数是定义在R上的偶函数， 且在区间单调递增．若实数a满足， 则a的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 分段函数的周期性、奇偶性问题 例、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，‎ f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 015)＋f(2 017)的值为________．‎ 例、定义在R上的函数，满足时，，则方程上的实数根之和为_______．‎ 分段函数的最值问题 分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.‎ 例、已知函数，则的最小值是______．‎ 例、对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．‎ 分段函数单调性问题 例、已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,2) D．(1，＋∞)‎ 例、设函数，则满足的的取值范围是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)‎ ‎【反思提升】‎ 综合上面的类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.‎