数学理卷·2017届四川省雅安市高三下学期第三次诊断考试（2017

数学理卷·2017届四川省雅安市高三下学期第三次诊断考试（2017

雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设全集，集合，，那么为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ）‎ A． B．对，都成立 C．，使得 D．对，都成立 ‎4．（ ）‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎5．阅读程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．将函数的图象向左平移（）个单位后关于直线 对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．半径为2的球内有一底面边长为2的内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），则球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且当与抛物线相切时，点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，则方程实根的个数为（ ）‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．变量，满足约束条件，则目标函数的最小值 ．‎ ‎14．展开式中的常数项为 ．‎ ‎15．设，，，若以，，为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三角形有 个．‎ ‎16．直线与圆：相交于两点、.若，为圆上任意一点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在等差数列中，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求的前项和.‎ ‎18．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.‎ ‎（1）根据已知条件完成上面的列联表，若按的可靠性要求，并据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求分布列，期望和方差.‎ 附：‎ ‎19．在四棱锥中，平面，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求的值.‎ ‎20．已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率为，直线：与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线通过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.‎ ‎21．已知函数（）.‎ ‎（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）讨论函数在区间上零点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的倾斜角；‎ ‎（2）设点，直线和曲线交于，两点，求.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设，，证明：.‎ 雅安市高中2014级第三次诊断性考试 数学试题（理科）参考答案及评分意见 一、选择题 ‎1-5:BDDCA 6-10:BABBC 11、12：CB 二、填空题 ‎13．4 14．40 15．27个 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设等差数列的公差是．‎ ‎ 由已知 ‎ m，得 ，‎ 数列的通项公式为 （2）由数列是首项为1，公比为的等比数列， ，，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎18.解 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ‎.‎ 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.‎ 由题意，从而的分布列为[来源:学&科&网]‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎19．（1）证明：设为与的交点，作于点．‎ 由四边形是等腰梯形得，，‎ 所以，从而得，所以，即．‎ 由平面得，因为，所以平面．‎ ‎ （2）解：作于点，连接．‎ 由（1）知平面，故．‎ 所以平面，从而得，．‎ 故是二面角的平面角，所以．‎ 在中，由，得．在中，．‎ 设，可得．解得，即．‎ ‎20.解：（1）由已知可得解得，，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设，，联立方程 消去得．‎ 当，即时，‎ ‎，．‎ 所以，．‎ 当时，线段的垂直平分线显然过点 因为,所以 ‎，当时，取到等号.‎ ‎ 则:‎ 当时，因为线段的垂直平分线过点，‎ 所以，化简整理得．‎ 由得．‎ 又原点到直线的距离为．‎ 所以 而且，则，.‎ 所以当，即时，取得最大值．‎ 综上的最大值为，‎ 此时直线: 或或 ‎21．解：（1）由题可知的定义域为，‎ 因为，所以 又因为直线的斜率为，‎ ‎，解得 ‎（2）由（1）知：，‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（3）由（2）可知，‎ 当时，在上单调递增，而，故在上没有零点；‎ 当时，在上单调递增，而，故在上有一个零点；‎ 当时，‎ ‎①若，即时，在上单调递减，，在上没有零点；‎ ‎②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，而，，，‎ 若，即时，在上没有零点；‎ 若，即时，在上有一个零点；‎ 若，即时，由得，此时，在上有一个零点；‎ 由得，此时，在上有两个零点；‎ ‎③若，即时，在上单调递增，，，在上有一个零点.‎ 综上所述：当或时，在上有一个零点；当或时，在上没有零点；当时，在上有两个零点.‎ 选考题： ‎ ‎22、解: (1)由消去参数，得，‎ 即曲线的普通方程为 由，得，(*)‎ 将代入(*)，化简得，‎ 所以直线的倾斜角为 ‎(2)由(1)知，点在直线上，可设直线的参数方程为(为参数)，‎ 即(为参数)，‎ 代入并化简，得，，[来源:学|科|网]‎ 设、两点对应的参数分别为、，‎ 则，，，‎ 所以 ‎23解: ‎ ‎ (1)(ⅰ)当时，原不等式可化为，‎ 解得 ‎(ⅱ)当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；‎ ‎(ⅲ)当时，原不等式可化为，解得 综上，或.‎ ‎(2)证明：因为，‎ 所以，要证，只需证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 即证，即证.‎ 因为，，所以，，所以成立，所以原不等式成立. ‎