甘肃省武威市凉州区武威第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

甘肃省武威市凉州区武威第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

武威一中 2019 年秋季学期期中考试 高二年级数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共 48 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设 为定点，动点 满足 |，则动点 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 直线 C. 圆 D. 线段 【答案】D 【解析】 因为 为定点，动点 满足 |，即动点 到两定点 的距离之和等于两定点连线的距离，所以动点 的轨迹是线段 （若 不在 上，必有 |）,故选 D. 【此处有视频，请去附件查看】 2.已知 是椭圆 的两个焦点，过 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为（ ） A. 16 B. 8 C. 25 D. 32 【答案】A 【解析】 因 为 椭 圆 方 程 我 ， 所 以 ， 由 题 意 的 定 义 可 得 的 周 长 ， 故选 A. 3.设命题 ， ，则 为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 的 ( ) ( )1 24,0 , 4,0F F− M 1 2 8MF MF+ = M ( ) ( )1 24,0 , 4,0F F− M 1 2 8MF MF+ = M ( ) ( )1 24,0 , 4,0F F− M 1 2F F M 1 2F F 1 2 8MF MF+ > 1 2,F F 2 2 116 9 x y+ = 1F ,M N 2MNF∆ 2 2 116 9 x y+ = 4a = 2MNF∆ ( ) ( )2 2 1 2 1 2L MN MF NF MF MF NF NF= + + = + + + 2 2 4 4 4 16a a a= + = = × = :p x∃ ∈R 2 2012x > P¬ x∀ ∈R 2 2012x ≤ x∀ ∈R 2 2012x > x∃ ∈R 2 2012x ≤ x∃ ∈R 2 2012x < 【答案】A 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果. 【详解】解： 表示对命题 的否定， “ ， ”的否定是“ ， ” ． 故选 ． 【点睛】本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型. 4.双曲线 的焦点 轴上，若焦距为 4，则 等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 10 【答案】C 【解析】 由题意双曲线 的焦点在 轴上，则方程可化为 ， 又由 ，即 ，所以 ，故选 C． 5.“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 若方程 表示双曲线，则有 ，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】因为方程 表示双曲线等价于 ， 所以“ ”，是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件，故选 A. P¬ P x∃ ∈R 2 2012x > x∀ ∈R 2 2012x ≤ A 2 2 13 1 x y a a + =− − x a 3 2 2 2 13 1 x y a a + =− − x 2 2 13 1 x y a a − =− − 2 2 2c a b= + 23 1 2a a− + − = 4a = 0 1k< < 2 2 12 x y k − = 2 2 12 x y k − = 0k > 2 2 12 x y k − = 0k > 0 1k< < 2 2 12 x y k − = 【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题. 6.有下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形； ②“若 ，则 ”的逆命题； ③“若 ，则 ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆命题，其中真命题为（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 逐一考查所给的命题： ①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误; ②“若 ,则 ”的逆命题为“若 ,则 ”，该命题正确; ③“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则 ”，该命题正确; ④“矩形 对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择 B 选项. 7.双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的离 心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求双曲线 的一条渐近线为 ，再利用直线互相垂直得 ，代入 即可. 的 0xy = | | | | 0x y+ = a b> a c b c+ > + 0xy = 0x y+ = 0x y+ = 0xy = a b> a c b c+ > + a b≤ a c b c+ ≤ + ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2 3 0x y+ + = 5 3 5 2 2 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > by xa = ( )2 1b a × − = − 2 1 be a  = +   【详解】双曲线 的一条渐近线为 ， 渐近线 与直线 垂直， 得 ，即 ，代入 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题. 8.椭圆 中以点 M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜 率． 【详解】设弦的两端点为 ， ，代入椭圆得 ， 两式相减得 ， 即 ， 即 ，即 ， 即 ，∴弦所在的直线的斜率为 ，故选 A. 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及 到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起 来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题. ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > by xa =  by xa = 2 3 0x y+ + = ( )2 1b a × − = − 1 2 b a = 2 1 51 1 4 2 be a  = + = + =   2 2 116 9 x y+ = 9 32 − 9 32 9 64 9 16 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 1 1 2 2 2 2 116 9 116 9 x y x y  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 016 9 x x x x y y y y+ − + −+ = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 16 9 x x x x y y y y+ − + −= − ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 9 16 x x y y y y x x + −− =+ − 1 2 1 2 9 2 16 4 y y x x −×− =× − 1 2 1 2 9 32 y y x x − = −− 9 32 − 9.下列命题中，不是真命题的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的逆命题. B. “ ”是“ 且 ”的必要条件. C. 命题“若 ，则 ”的否命题. D. “ ”是“ ”的充分不必要条件. 【答案】A 【解析】 命题“若 ，则 ”的逆命题为：若 ，则 ,显然是错误的， 当 m=0 时则不成立，故 A 是假命题. 10.已知 为抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 抛物线的准线为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，则可利用几何性质得到 ，故可得 到 轴的距离. 【详解】抛物线的准线为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ， 过 作准线的垂线，垂足为 ， 因为 是该抛物线上的两点，故 ， 所以 ， 又 为梯形的中位线，所以 ，故 到 轴的距离为 ，故选 C. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题. 【此处有视频，请去附件查看】 2 2am bm< a b< 1ab > 1a > 1b > 2 9x = 3x = 1x > 1 1x < 2 2am bm< a b< a b< 2 2am bm> F 2y x= ,A B 3AF BF+ = AB y 3 4 1 5 4 7 4 1: 4l x = − ,A B ,E G AB M M MH 3 2MH = M y 1: 4l x = − ,A B ,E G AB M M MH ,A B ,AE AF BG BF= = 3AE BG AF BF+ = + = MH 3 2MH = M y 3 1 5 2 4 4 − = 11.已知圆 和点 ， 是圆上一点，线段 的垂直平分线交 于 点，则 点的轨迹方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 M 是线段 BP 的垂直平分线上的点，所以 ，因为 P 是圆上一点， 所以 ，所以 M 点的轨迹为以 B,C 为焦点的椭圆，所以 ，所以轨迹方程为 . 考点：本小题主要考查轨迹方程的求解. 点评：求轨迹方程时，经常用到圆锥曲线的定义，根据定义判断出动点的轨迹是什么图形， 再根据标准方程求解即可. 12.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，若 ，点 与直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：设 为椭圆的左焦点，连接 ，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得 ，利用点 与直线 的距离不小于 列不等式求解即可. 详解： 2 2( ): 3 100C x y++ = (3,0)B P BP CP M M 2 6y x= 2 2 125 16 x y+ = 2 2 625 11 x y− = 2 2 25x y+ = MP MB= 10MB MC MP MC+ = + = 5, 3, 4a c b= = = 2 2 125 16 x y+ = E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F M l 3 4 0x y− = E A B | | | | 6AF BF+ = M l 8 5 E 2 2(0, ]3 5(0, ]3 6[ ,1)3 2 2[ ,1)3 'F ', 'AF BF 3a = M l 8 5 可设 为椭圆的左焦点，连接 ， 根据椭圆的对称性可得四边形 是平行四边形， ， ，取 ， 点 到直线 的距离不小于 ， 所以， ， 解得 ， 椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 B. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质 有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 的不 等式，从而求出 的范围. 第Ⅱ卷（共 72 分） 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分共 16 分. 13.已知点 为 上一点，则 P 到抛物线的焦点 F 的距离是______. 【答案】3 【解析】 【详解】解析过程略 14.设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点， 是 的中点， ，则 点到椭圆左焦点的距离为__________． 'F ', 'AF BF 'AFBF 6 ' 2AF BF AF BF a∴ = + = + = 3a∴ = ( )0,M b  M l 8 5 4 8 53 6 b ≥ + 2 2 9 5 52, 9 9 3 bb e e −≥ = ≤ ∴ ≤ ∴ E 50, 3      e e e ( )2,P m 2 4y x= 1F 2F 2 2 125 16 x y+ = P M 1F P | | 3OM = P 【答案】 【解析】 分析】 先由题意得到， 是 中位线，由 求出 ，再由椭圆定义，即可求 出结果. 【详解】解：根据题意知， 是 中位线， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为 4 【点睛】本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离，熟记椭圆定义即可，属于基础题型. 15.设 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上，且满足 ，则 的面积是___________。 【答案】 【解析】 由题意，得 ， 即 ，则 ， 即 ，所以 面积为 . 点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时， 往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进 行求解. 【 的 4 OM 1 2PF F△ | | 3OM = 2| | 6PF = OM 1 2PF F△ | | 3OM = 2| | 6PF = 1 2| | | | 2 10PF PF a+ = = 1| | 4PF = 1 2,F F 2 2 14 x y+ = P 1 2 60F PF∠ = ° 1 2PF F∆ 3 3 ( ) 1 2 22 2 0 1 2 1 2 4 2 60 2 3 PF PF PF PF PF PF cos  + = + − =  1 2 2 2 1 2 1 2 4 | | 12 PF PF PF PF PF PF  + = + − ⋅ = 2 1 23 4 12PF PF⋅ = − 1 2 4 3PF PF⋅ = 1 2PF F∆ 0 1 2 1 3sin602 3S PF PF= ⋅ = 16.已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义，将 转化为 ，并由此求得 最小 值. 【详解】抛物线 的焦点为 ，根据抛物线的定义可知 ，所以 . 故 当 三 点 共 线 时 ， 有 最 小 值 . 故答案为： . 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的 数学思想方法，属于基础题. ( )2,0Q 2 2x y= ( ),P x y y PQ+ y PQ+ 1 2PF PQ+ − 1 2PF PQ+ − 2 2x y= 10, 2F      1 2y PF+ = y PQ+ 1 2PF PQ= + − F,P,Q 1 2PF PQ+ − ( ) 221 1 1 3 12 12 2 2 2 2FQ  − = + − = − =   1 三、解答题：共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知命题 ：“曲线 ： 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：不等 式 对于任意 恒成立，若命题 为真命题，求实数 的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】 根据曲线方程表示焦点在 轴上的椭圆列不等式，解不等式求得命题 为真时， 的取值 范围.根据一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得命题 为真时， 的取值范围.由于 为真命题，故取上述 为真时 的取值范围的并集，得到实数 的取值范围. 【详解】 ： ， ： ， 由于 为真命题，故 为真命题或 为真命题，从而有 或 ， 即 . 【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查方程表 示椭圆的条件，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 18.已知双曲线 ： 的离心率为 ，实轴长为 2． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 被双曲线 截得的弦长为 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据离心率、实轴长以及 ，求得出 的值，进而求得双曲线的标准 方程. （2）联立直线和双曲线的方程，写出韦达定理，根据弦长公式列方程，解方程求得 的值. p C 2 2 2 11 2 9 x y m m + =+ + y q 2 2 0x x m+ + > x∈R p q∨ m ( )2,m∈ − +∞ y p m q m p q∨ ,p q m m p 2 22 9 1 2 8 0 2 4m m m m m+ > + ⇒ − − < ⇒ − < < q 0 4 4 0 1m m∆ < ⇒ − < ⇒ > p q∨ p q 2 4m− < < 1m > ( )2,m∈ − +∞ C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 3 C y x m= + C 4 5 m 2 2 12 yx − = 2m = ± 2 2 2b c a= − 2, ,a b c m 【详解】（1）由离心率为 ，实轴长为 2． ∴ ， ，解得 ， ， ∴ ，∴所求双曲线 的方程为 ． （2）设 ， ， 联立 ， ，化为 ． ∴ ， ． ∴ ，化为 ， 解得 ． 【点睛】本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查直线和双曲线相交所得弦长有关计算 问题，考查运算求解能力，考查方程的思想，属于中档题. 19.（文科学生做）已知集合 ， ， . （1）求 ； （2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 分析：（1）先求出 A,B 集合的解集，A 集合求定义，B 集合解不等式即可，然后由交集定 义即可得结论；（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，说明 且 ，然后根据集合关系求解. 详解： (1) , 3 3c a = 2 2a = 1a = 3c = 2 2 2 2b c a= − = C 2 2 12 yx − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 22 2 2 2 0 12 y x m x mx myx = + ⇒ − − − = − = > 0∆ 2 1 0m + > 1 2 2x x m+ = 2 1 2 2x x m= − − ( )2 1 2 1 22 4 4 5AB x x x x = + − =  2 4m = 2m = ± { }2| lg( 12)A x y x x= = − − + { }2| 2 8 0B x x x= + − ≤ { }| 6C x x a= − < A B x C∈ x A B∈  { }| 4 2A B x x= − < ≤ ( 4,2]− x C∈ x A B∈ ∩ ( )A B C∩ ⊆ ( )A B C∩ ≠ { } { }2 12 0 4 3A x x x x x= − − + > = − < < ． 则 (2) ， 因为“ ”是“ ”的必要不充分条件， 所以 且 ． 由 ，得 ，解得 ． 经检验，当 时， 成立， 故实数 的取值范围是 ． 点睛：考查定义域，解不等式，交集的定义以及必要不充分条件，正确求解集合，缕清集合 间的基本关系是解题关键，属于基础题. 20.已知抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点． （1）求弦 的长度； （2）若点 在抛物线 上，且 的面积为 12，求点 的坐标． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 试题分析：（1）由 ， ， 弦 的长度为 ；（2）设点 到 的距离 或 点为 或 ． { } { }2 2 8 0 4 2B x x x x x= + − = −   { }4 2A B x x∩ = − <  { } { }6 6 6C x x a x a x a= − < = − < < + x C∈ x A B∈ ∩ ( )A B C∩ ⊆ ( )A B C∩ ≠ ( )A B C∩ ⊆ 6 4 6 2 a a − −  + >  4 2a− <  4 2a− <  ( )A B C∩ ≠ a ( ]4,2− C 2 4y x= 2 4y x= − A B AB P C ABP∆ P 3 5 ( )9,6 ( )4, 4− 2 2 4,{ 4 , y x y x = − = ⇒ ⇒ > 0∆ 1 2 5x x+ = 1 2 4x x = ⇒ | |AB = 5 25 16 3 5⋅ − = ⇒ AB 3 5 2 0 0( , )4 yP y ⇒ P AB d = 2 0 0 42 5 y y− − ⇒ 2 0 0 421 3 5 122 5PAB y y S∆ − − = × × = ⇒ 0 6y = 0 4y = − ⇒ P (9,6) (4, 4)− 试题解析：（1）设 ， ， 由 得 ， ， 由韦达定理有 ， ， ∴ ， ∴弦 的长度为 ． （2）设点 ，设点 到 的距离为 ，则 ， ∴ ，即 ， ∴ ，解得 或 ， ∴ 点为 或 ． 考点：1、直线与抛物线；2、弦长；3、三角形面积. 21.已知中心在原点 ，焦点在 轴上的椭圆 过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求直线 的斜率 的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解析】 分析：（1）利用离心率，点 在曲线上，列出 的方程。 （2）联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出 ， 关系式，利用向量关系式 ，列出关于斜率 的不等式，解出取值范围。 的 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 4,{ 4 , y x y x = − = > 0∆ 1 2 5x x+ = 1 2 4x x = 2 2 1 2 1 21 2 ( ) 4 5 25 16 3 5AB x x x x= + + − = ⋅ − = AB 3 5 2 0 0( , )4 yP y P AB d 2 0 0 42 5 y y d − − = 2 0 0 421 3 5 122 5PAB y y S∆ − − = × × = 2 0 0 4 82 y y− − = 2 0 0 4 82 y y− − = ± 0 6y = 0 4y = − P (9,6) (4, 4)− O x E ( )0, 3C 1 2 E 0 2T（ ，） l E A B、 · 0OA OB >  l k 2 2 14 3 x y+ = 2 3 1 1 2 3 3 2 2 3k k− < < − < <或 ( )0, 3C a,b 1 2x x+ 1 2x x · 0OA OB >  k 详解：（1）设椭圆 的方程为： ， 由已知： 得： ， ， 所以，椭圆 的方程为： . （2）由题意，直线斜率存在，故设直线 的方程为 由 得 由 即有 即 有 解得 综上：实数 的取值范围为 点睛：求参数 的取值范围，最终落脚点在于计算直线与曲线的交点坐标的关系式。根据题 目的条件，转化为 ， 关系的式子是解题的关键。 22.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率为 ， 是椭圆 上的一个动点，且 面积的最大值为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 斜率为 ，且 与椭圆 的另一个交点为 ，是否存在点 E 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 2 2 2 3 1 2 b c a a b c  =  =  = + 2 4a = 2 3b = E 2 2 14 3 x y+ = l ( ) ( )1 1 2 22, , , ,y kx A x y B x y= + 点 2 2 2 14 3 y kx x y = + + = 2 24 3) 16 4 0k x kx+ + + =（ 1 2 1 22 2 16 4,4 3 4 3 kx x x xk k ∴ + = − =+ + 0∆ > 1 1 2 2k k− 或 · 0OA OB >   ( )( )1 2 1 2 1 2 1 20 2 2 0x x y y x x kx kx+ > ⇒ + + + > ( )2 1 2 1 21+ ) 2 4 0k x x k x x∴ + + + >（ ( )2 2 2 4 161 2 4 04 3 4 3 kk kk k −+ + + >+ + 21 4 4 3k< < k 2 3 1 1 2 3 3 2 2 3k k− < < − < <或 k 1 2x x+ 1 2x x 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2,F F 1 2 P C 1 2PF F∆ 3 C 2PF ( 0)k k ≠ 2PF C Q ，使得 若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）由题可得当 为 的短轴顶点时， 的面积有最大值，根据椭圆的性质得到 、 、 的方程，解方程即可得到椭圆 的方程； （2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立消去 ，得到关于 的一元二次方程，表示出 根与系数的关系，即可得到 的中点坐标，要使 ，则直线 为线段 的垂 直平分线，利用直线垂直的关系即可得到 关于 的式子，再利用基本不等式即可求出 的 取值范围。 【详解】解（1）当 为 的短轴顶点时， 的面积有最大值 所以 ，解得 ，故椭圆 的方程为： . （2）设直线 的方程为 ， 将 代入 ，得 ； 设 ，线段 的中点为 ， ， 即 因为 ，所以直线 为线段 的垂直平分线， (0, )T t | | | | TP TQ= t 2 2 14 3 x y+ = P C 1 2PF F∆ a b c C PQ y x PQ | | | | TP TQ= TN PQ t k t P C 1 2PF F∆ 3 2 2 2 1 2 1 2 32 c a a b c c b  =  = +   × × =  2 3 1 a b c =  =  = C 2 2 14 3 x y+ = PQ ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ ( )0 0,N x y ( )2 1 2 1 2 0 0 02 2 4 3, 12 3 4 2 3 4 x x y yk kx y k xk k + + −= = = = − =+ + 2 2 2 4 3,3 4 3 4 k kN k k  −  + +  | |TP TQ= TN PQ 所以 ，则 ，即 ， 所以 ， 当 时，因为 ，所以 ， 当 时，因为 ，所以 . 综上，存在点 ，使得 ，且 的取值范围为 . 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等 式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。 TN PQ⊥ 1TN PQk k = − 2 2 2 3 4 3 14 4 3 k tk kk k − −+ ⋅ = − + 2 1 34 3 4 kt k k k = =+ + 0k > 34 4 3k k + ≥ 30, 12t  ∈   k 0< 34 4 3k k + ≤ − 3 ,012t  ∈ −    T | |TP TQ= t 3 3,0 0,12 12    −       