2020届二轮复习（文）专题五第1讲　直线与圆作业

2020届二轮复习（文）专题五第1讲　直线与圆作业

第1讲　直线与圆 一、选择题 ‎1.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)‎ A.(3,‎3‎) B.(2,‎3‎)‎ C.(1,‎3‎) D.‎‎1,‎‎3‎‎2‎ 答案　C　直线l1的斜率k1=tan 30°=‎3‎‎3‎,因为直线l2与直线l1垂直,所以直线l2的斜率k2=-‎1‎k‎1‎=-‎3‎,又直线l1过点(-2,0),直线l2过点(2,0),所以直线l1的方程为y=‎3‎‎3‎(x+2),直线l2的方程为y=-‎3‎(x-2),联立得y=‎3‎‎3‎(x+2),‎y=-‎3‎(x-2),‎解得x=1,‎y=‎3‎,‎即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,‎3‎).‎ ‎2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是(　　)‎ A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8‎ C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8‎ 答案　A　根据题意知,圆C的圆心为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=‎|-1+0+3|‎‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎2‎,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.‎ ‎3.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2‎2‎.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案　B　由题意知,圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2‎2‎,所以圆心M到直线x+y=0的距离d=‎|a|‎‎2‎=a‎2‎‎-2‎(a>0),解得a=2,又圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=‎2‎,因为R-r<‎2‎0,y1+y2=‎2kk‎2‎‎+1‎,x1+x2=k(y1+y2)-2=-‎2‎k‎2‎‎+1‎,因为OM=OA+OB,故M‎-‎2‎k‎2‎‎+1‎,‎‎2kk‎2‎‎+1‎,又点M在圆C上,故‎4‎‎(k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎+‎4‎k‎2‎‎(k‎2‎+1‎‎)‎‎2‎=4,解得k=0.‎ 解法二:由直线与圆相交于A,B两点,OM=OA+OB,且点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线x-ky+1=0的距离为半径的一半,为1,即d=‎|1|‎‎1+‎k‎2‎=1,解得k=0.‎ 二、填空题 ‎7.(2019广东湛江一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=　　　　. ‎ 答案　2或10‎ 解析　圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=6‎2‎,‎ 因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为2‎2‎,‎ 则有d=‎|6-m|‎‎1+1‎=2‎2‎,‎ 解得m=2或10.‎ ‎8.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为　　　　. ‎ 答案　±1‎ 解析　由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离为‎2‎‎2‎,所以‎|a-a-1|‎‎1+‎a‎2‎=‎2‎‎2‎,解得a=±1.‎ ‎9.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为　　　　. ‎ 答案　2‎ 解析　圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是(0,1),‎ 半径r=1,‎ ‎∵PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA长度的最小值为2,∴PC长度的最小值为‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎.‎ 由点到直线的距离公式可得‎|1+4|‎k‎2‎‎+1‎=‎5‎.∴k=±2,∵k>0,∴k=2.‎ ‎10.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)过点(‎2‎,0)的直线l与曲线y=‎1-‎x‎2‎相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎3‎ 解析　解法一:设点P(‎2‎,0),结合题意可设直线l的方程为y=k(x-‎2‎)(k<0),将其代入y=‎1-‎x‎2‎,整理得(1+k2)x2-2‎2‎k2x+2k2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=‎2‎‎2‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎,x1x2=‎2k‎2‎-1‎‎1+‎k‎2‎,‎ Δ=(-2‎2‎k2)2-4(1+k2)(2k2-1)=4-4k2>0,得k2<1.‎ 所以弦长|AB|=‎1+‎k‎2‎·‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎1+‎k‎2‎·‎2‎‎1-‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎=2‎1-‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎.‎ 因为点O到直线l:kx-y-‎2‎k=0的距离d=‎|-‎2‎k|‎k‎2‎‎+1‎,‎ 所以S△AOB=‎1‎‎2‎·|AB|·d=‎1‎‎2‎×2‎1-‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎×‎|-‎2‎k|‎k‎2‎‎+1‎=‎2‎‎|k|·‎‎1-‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎≤‎1‎‎2‎‎(2k‎2‎+1-k‎2‎)‎‎1+‎k‎2‎=‎1‎‎2‎,当且仅当‎2‎‎|k|=‎1-‎k‎2‎,‎k<0,‎即k=-‎3‎‎3‎时取等号.‎ 故当△AOB的面积取最大值‎1‎‎2‎时,直线l的斜率为-‎3‎‎3‎.‎ 解法二:设点P(‎2‎,0),结合题意可设直线l的方程为x=my+‎2‎(m<0),将其代入y=‎1-‎x‎2‎,整理得(1+m2)y2+2‎2‎my+1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-‎2‎2‎m‎1+‎m‎2‎,y1y2=‎1‎‎1+‎m‎2‎,‎ Δ=(2‎2‎m)2-4(1+m2)=4m2-4>0,得m2>1.‎ 于是,S△AOB=|S△AOP-S△BOP|=‎1‎‎2‎·|OP|·|y1-y2|=‎1‎‎2‎·|OP|·‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎=‎1‎‎2‎×‎2‎×‎-‎‎2‎2‎m‎1+‎m‎2‎‎2‎‎-‎‎4‎‎1+‎m‎2‎=‎2‎‎·‎m‎2‎‎-1‎‎1+‎m‎2‎≤‎1‎‎2‎‎(2+m‎2‎-1)‎‎1+‎m‎2‎=‎1‎‎2‎,‎ 当且仅当‎2‎‎=m‎2‎‎-1‎,‎m<0,‎即m=-‎3‎时取等号.‎ 故当△AOB的面积取最大值‎1‎‎2‎时,‎ 直线l的斜率为‎1‎m=-‎3‎‎3‎.‎ 解法三:设点P(‎2‎,0),则结合题意画出图形如图所示.‎ 根据图形可得S△AOB=‎1‎‎2‎|OA|·|OB|sin∠AOB=‎1‎‎2‎sin∠AOB≤‎1‎‎2‎,当且仅当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时取等号.于是,当△AOB的面积取最大值‎1‎‎2‎时,有∠AOB=90°,此时作OM⊥l,垂足为M,易得|OM|=‎2‎‎2‎,又|OP|=‎2‎,所以可得∠MPO=30°,故所求直线l的斜率为tan(180°-30°)=-‎3‎‎3‎.‎ 三、解答题 ‎11.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点.‎ ‎(1)求圆A的方程;‎ ‎(2)当|MN|=2‎19‎时,求直线l的方程.‎ 解析　(1)易知A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r,∴r=‎|-1+4+7|‎‎5‎=2‎5‎,‎ ‎∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.‎ ‎(2)记MN的中点为Q,则∠MQA=90°,且|MQ|=‎19‎,‎ 在Rt△AMQ中,|AQ|=‎|AM‎|‎‎2‎-|MQ‎|‎‎2‎=1,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,显然x=-2符合题意.‎ 当直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+2),‎ 由A(-1,2)到l的距离为1,得‎|-k+2k-2|‎‎1+‎k‎2‎=1,解得k=‎3‎‎4‎.‎ ‎∴所求l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.‎ ‎12.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.‎ 解析　(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,‎ 所以圆心为C(0,4),半径为4.‎ 设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).‎ 由题设知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 由于点P在圆C的内部,‎ 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,‎2‎为半径的圆.‎ 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又点P在圆N上,从而ON⊥PM.‎ 因为直线ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-‎1‎‎3‎,‎ 故直线l的方程为y=-‎1‎‎3‎x+‎8‎‎3‎.‎ 又|OM|=|OP|=2‎2‎,点O到直线l的距离为‎4‎‎10‎‎5‎,所以|PM|=‎4‎‎10‎‎5‎,所以△POM的面积为‎16‎‎5‎.‎ ‎13.(2018广东广州调研)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点(A,B两点在x轴的上方),点A关于x轴的对称点为D,且FA⊥FB,求△ABD的外接圆的方程.‎ 解析　(1)抛物线的准线方程为x=-p‎2‎,‎ 所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p‎2‎=3,‎ 解得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)解法一:设直线l的方程为x=my-1(m>0).‎ 将x=my-1代入y2=4x,并整理得y2-4my+4=0,‎ 由Δ=(-4m)2-16>0,解得m>1.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),‎ y1+y2=4m,y1y2=4,易知抛物线的焦点为F(1,0),‎ 所以FA·FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,‎ 因为FA⊥FB,所以FA·FB=0,‎ 即8-4m2=0,结合m>1,解得m=‎2‎.‎ 所以直线l的方程为x-‎2‎y+1=0.‎ 设AB的中点坐标为(x0,y0),‎ 则y0=y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=2m=2‎2‎,x0=my0-1=3,‎ 所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2‎2‎=-‎2‎(x-3).‎ 因为线段AD的垂直平分线的方程为y=0,‎ 所以△ABD的外接圆的圆心坐标为(5,0).‎ 因为圆心(5,0)到直线l的距离d=2‎3‎,‎ 且|AB|=‎1+‎m‎2‎‎(y‎1‎+y‎2‎‎)‎‎2‎-4‎y‎1‎y‎2‎=4‎3‎,‎ 所以圆的半径r=d‎2‎‎+‎‎|AB|‎‎2‎‎2‎=2‎6‎.‎ 所以△ABD的外接圆的方程为(x-5)2+y2=24.‎ 解法二:依题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k>0).‎ 将直线l与抛物线C的方程联立,并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.‎ 由Δ=(2k2-4)2-4k4>0,结合k>0,得00,得b2<2+2k2.①‎ 由根与系数的关系,得x1+x2=-‎2bk‎1+‎k‎2‎,x1x2=b‎2‎‎-2‎‎1+‎k‎2‎.②‎ 由k1·k2=y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=kx‎1‎+bx‎1‎·kx‎2‎+bx‎2‎=3,‎ 得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,‎ 即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0.③‎ 将②代入③,整理得b2=3-k2.④‎ 由④得b2=3-k2≥0,解得-‎3‎≤k≤‎3‎.⑤‎ 由①和④,解得k<-‎3‎‎3‎或k>‎3‎‎3‎.⑥‎ 要使k1,k2,k有意义,则x1≠0,x2≠0,‎ 所以0不是方程(*)的根,‎ 所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1.⑦‎ 由⑤⑥⑦,得k的取值范围是 ‎[-‎3‎,-1)∪‎-1,-‎‎3‎‎3‎∪‎3‎‎3‎‎,1‎∪(1,‎3‎].‎