2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题 第一周 星期六

2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）解答题 第一周 星期六

星期六　(解答题综合练)　2017年____月____日 ‎1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝‎ ‎(cos C，cos A).‎ ‎(1)若m∥n，c＝a，求角A；‎ ‎(2)若m·n＝3bsin B，cos A＝，求cos C的值.‎ 解　(1)∵m∥n，∴acos A＝ccos C.‎ 由正弦定理得sin Acos A＝sin Ccos C，‎ 化简得sin 2A＝sin 2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝，∴B＝，‎ 在Rt△ABC中，tan A＝＝，A＝.‎ ‎(2)∵m·n＝3bcos B，∴acos C＋ccos A＝3bsin B.‎ 由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝3sin2B，‎ 从而sin(A＋C)＝3sin2B.‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sin B，且sin B≠0，从而sin B＝，∵cos A＝>0，A∈(0，π)，‎ ‎∴A∈，sin A＝.∵sin A>sin B，‎ ‎∴a>b，从而A>B，B为锐角，cos B＝.‎ ‎∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B ‎＝－×＋×＝.‎ ‎2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.‎ 求证：(1)BE⊥AC；‎ ‎(2)BE∥平面ACD1.‎ 证明　(1)如图，连接BD交AC于点F，由于E是A1C1‎ 的中点，则连接B1D1交A1C1于点E.‎ 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.‎ 因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，‎ 又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.‎ 又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，‎ 所以AC⊥平面B1BDD1.‎ 而BE⊂平面B1BDD1，‎ 所以BE⊥AC.‎ ‎(2)如图，连接D1F，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，‎ 所以四边形B1BDD1为矩形.‎ 又E，F分别是B1D1，BD的中点，‎ 所以BF＝D1E，且BF∥D1E.‎ 所以四边形BED1F是平行四边形.‎ 所以BE∥D1F.‎ 又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，‎ 所以BE∥平面ACD1.‎ ‎3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)‎ ‎(1)解　由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，‎ 椭圆C1的离心率e＝.‎ 设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.‎ 因为＝＝，所以a＝2.‎ 所以椭圆C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明　设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，‎ 从而y＝12－2x.‎ 将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，‎ 从而y2＝3－＝，‎ 即y＝±.‎ 因为P，H在x轴的同侧，‎ 所以取y＝，即H(x0，).‎ 所以kA1P·kA2H＝·＝ ‎＝＝－1，‎ 从而A1P⊥A2H.‎ 又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心.‎ ‎4.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米.‎ ‎(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；‎ ‎(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？‎ 解　(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，‎ 建立如图所示的直角坐标系xOy，‎ 因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，‎ 则半圆的方程为x2＋y2＝1(－1≤x≤1，y≤0).‎ 因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，‎ 在Rt△ODM中，DM＝＝＝0.8米.‎ 所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.‎ ‎(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P(cos θ，‎ sin θ)是圆弧BC上的一点，过点P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcos θ＋ysin θ＝1.‎ 令y＝0，得E，令y＝－1，得F.‎ 设直角梯形OCFE的面积为S.‎ 则S＝＝＝.‎ S′＝＝，令S′＝0，解得θ＝－.‎ 当－＜θ＜－时，S′＜0，函数单调递减；‎ 当－＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增.‎ 所以θ＝－时，面积S取得最小值，最小值为，‎ 此时CF＝＝，即当渠底宽为米时，所挖的土最少.‎ ‎5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.‎ ‎(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.‎ ‎(ⅰ)求a1，a2的值；‎ ‎(ⅱ)求数列{an}的通项公式.‎ 解　(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有： 因为数列{an}的各项均为正整数，‎ 所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.‎ 当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；‎ 当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.‎ 因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.‎ ‎(2)(ⅰ)记An＝{1，2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.‎ 对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1，2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1，2，3，4}，‎ 故1＋a2＝4，所以a2＝3.‎ ‎(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数.‎ 而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1，2，…，Sn)，共2Sn＋1个数.‎ 所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.‎ 又Sn＋1＋＝3，‎ 所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1‎ ‎＝·3n－－＝3n－1.‎ 而a1＝1也满足an＝3n－1.‎ 所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.‎ ‎6.已知函数f(x)＝aln x－(a为常数).‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围.‎ 解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.‎ ‎(2)由f′(x)＝(x＞0)，当a≥0时，‎ f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞).‎ 当a＜0时，由f′(x)＞0，‎ 得0＜x＜－，‎ 所以f(x)的单调增区间为；‎ 由f′(x)＜0，得x＞－，‎ 所以f(x)的单调减区间为.‎ ‎(3)设g(x)＝aln x－－2x＋3，x∈[1，＋∞)，‎ 则g′(x)＝＋－2＝.‎ 令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，‎ 当a≤1时，‎ h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝＜1，‎ h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，‎ 所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是减函数，‎ 所以g(x)≤g(1)＝0，‎ 即f(x)≤2x2－3恒成立.‎ 当a＞1时，令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0，‎ 得x1＝＞1，x2＝＜0，‎ 当x∈[1，x1)时，h(x)＞0，‎ 即g′(x)＞0，‎ g(x)在[1，x1)上是增函数；‎ 当x∈(x1，＋∞)时，h(x)＜0，‎ 即g′(x)＜0，‎ g(x)在(x1，＋∞)上是减函数.‎ 所以0＝g(1)＜g(x1)，‎ 即f(x1)＞2x1－3，不满足题意.‎ 综上，a的取值范围为(－∞，1].‎