数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考试题（11月）（2017

数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考试题（11月）（2017

衡阳市八中2018届高三第三次月考试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A．58 B．54 C．56 D．52‎ ‎3.已知平面向量的夹角为，，，则（ ）‎ A． 2 B．3 C. 4 D． ‎ ‎4.将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（ ）‎ A． 10 B．20 C. D．40‎ ‎6.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是（ ）‎ A． 4 B． 3 C. 2 D．1‎ ‎7.从某社区随即选取5名女士，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高 155 160 165 170 175‎ 体重 50 52 55 58 62‎ 根据上表可得回归直线方程，据此得出的值为（ ）‎ A．43.6 B．-43.6 C. 33.6 D．-33.6‎ ‎8.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，‎ 俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生 长 1 日，长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）‎ A．1.3 日 B．1.5 日 C．2.6 日 D．2.8 日 ‎11．在三棱锥 中，底面 是边长为 2 的正三角形，顶点 在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A． B. C． D．‎ ‎12.定义在上的偶函数，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（ ）‎ A．有两个 B．有一个 C.没有 D．上述情况都有可能 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这 100名学生中，该月饮料消费支出超过 150元的人数是 ．‎ ‎14.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ．‎ ‎15. 已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________.‎ ‎16.设是的三边垂直平分线的交点，是的三边中线的交点，分别为角的对应的边，已知，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知分别为锐角内角的对边，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎18. 在等差数列中，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为（是常数，）的等比数列，求的前项和.‎ ‎19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎20. 某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物（下简称 作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 作物种植点，其生长状况如表：‎ 其中生长指数的含义是：2 代表“生长良好”，1 代表“生长基本良好”，0 代表“不良好，但仍有收成”，﹣1代表“不良好，绝收”．‎ ‎（1）估计该市空气质量差的作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；‎ ‎（2）能否有 99%的把握认为“该市作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？‎ ‎（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市作物的种植点中，绝收种植点的比例？请说明理由.‎ ‎21.已知椭圆的两个顶点分别为，，点为椭圆上异于的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若，设直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的面积的最大值.‎ ‎22.已知函数与.‎ ‎（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：.‎ 衡阳市八中2018届高三第三次月考 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D C B A B C A C D A ‎【解析】‎ ‎1．，故选A．‎ ‎2.得,.故选D ‎3．，所以，故选D．‎ ‎4．，故选C．‎ ‎5.双曲线C1：﹣=1（m＞0）的渐近线为y=±，‎ 双曲线C2：﹣=1的渐近线为y=±2x，‎ ‎∵两个双曲线有相同的渐近线，‎ ‎∴=2，即=4，得m=1，‎ 则双曲线C1：﹣x2=1，则对应的焦点坐标为E（0，），F（0，﹣），‎ 双曲线C2：﹣=1的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），‎ 则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×=20，‎ 故选：B ‎6．当时，z取得最大值4，故选A．‎ ‎7．由表中数据可得，因为回归直线必过，代入回归方程得,故选B． ‎ ‎9..故选A ‎10. 蒲、莞长度相等:.选C.‎ ‎11.∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，‎ 而且底面BCD是正三角形，‎ ‎∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，‎ 令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，‎ ‎∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，‎ ‎∴DE=，∴PE=，DP=‎ ‎∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即 ‎∴AP=，‎ ‎∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，‎ ‎∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，‎ ‎∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为 ‎∴外接球的表面积=4πr2=6π．‎ 故选：D．‎ ‎12．由题意知：在上单调递增，在上恒成立，必有，则的根有2个，故选A．‎ 二 填空题 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎30‎ y2=16x ‎【解析】13.该月饮料消费支出超过150元的频率:,人数:‎ ‎14．直线平分圆周，则直线过圆心，所以有，‎ ‎（当且仅当时取“=”）.‎ ‎15．解：由题意可得=cos30°且|DF|=p，‎ 可得|BF|=，从而|AF|=，‎ 由抛物线的定义可得A到准线的距离也为，‎ 又△ABC的面积为，‎ 可得••=，‎ 解得p=8，则抛物线的方程为y2=16x．‎ ‎16．设AB,AC的中点为D,E,‎ 又，代入得：，又，所以，代入得的取值范围为．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解：（1）∵a=2csinA，‎ ‎∴正弦定理得，‎ ‎∵A锐角，∴sinA＞0，‎ ‎∴sinC=，‎ 又∵C为锐角，‎ ‎∴C=，‎ ‎（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，‎ 又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，‎ ‎∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，‎ ‎∵由于a+b为正，‎ ‎∴a+b=5．‎ ‎18．解:（Ⅰ）设等差数列的公差是．‎ ‎∵，∴=－3．‎ ‎∴，解得．∴数列的通项公式为 ．‎ ‎（Ⅱ）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ ‎∴，即，∴．‎ 故当时，；当时，．‎ ‎19.‎ 解:（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．‎ ‎（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．‎ 设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），‎ ‎=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），‎ 取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．‎ 设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，‎ 即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），‎ 依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．‎ 于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．‎ ‎20．解：（1）调查的500处种植点中共有120处空气质量差，其中不绝收的共有110处，‎ ‎∴空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例．‎ ‎（2）列联表如下：‎ 收 绝收 合计 南区 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ 北区 ‎270‎ ‎30‎ ‎300‎ 合计 ‎430‎ ‎70‎ ‎500‎ ‎∴K2=≈9.967．‎ ‎∵9.967＞6.635，‎ ‎∴有99%的把握认为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关“．‎ ‎（3）由（2）的结论可知该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关，‎ 因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好．‎ ‎　21. 解：（Ⅰ），‎ 整理得：，‎ 又，，所以，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，所以椭圆C的方程为.‎ 设直线l的方程为：代入椭圆的方程有：，‎ 设，‎ ‎，‎ 令，则有，‎ 代入上式有，‎ 当且仅当即时等号成立，‎ 所以的面积的最大值为．‎ ‎22. 解析：（1）‎ 所以 ‎（2）方法一: 时，‎ 记,则,又记 ‎(ⅰ)时, 时,,‎ 不恒成立.‎ ‎(ⅱ)时,在递增, ,‎ 不恒成立.‎ ‎(ⅲ)时, 在递减, ‎ ‎,‎ 恒成立.‎ 综上所述, 实数的取值范围为: ‎ 方法二：（先找必要条件）‎ 注意到时，恰有 令 则 在恒成立的必要条件为 即 下面证明：当时，‎ 令 即 在递减，‎ 恒成立，即也是充分条件，故有.‎ 方法三：（分参）‎ 即时，，时，显然成立；‎ 时，即4分 令，则 令 即 在上单调递减 故8分 （3）不妨设为前项和，则 要证原不等式，只需证 而由（2）知：当时恒有 即当且仅当时取等号 取，则 即即 即成立，从而原不等式获证.‎