2019-2020学年江西省上饶市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省上饶市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省上饶市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由补集定义可直接求解得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由补集定义可得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由偶次根式、分式和对数有意义的要求得到不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：且 定义域为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查具体函数定义域的求解，涉及到偶次根式、分式和对数有意义的要求，属于基础题.‎ ‎3．已知函数，则（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代入解析式可求得，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题.‎ ‎4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数和对数函数单调性可求得，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据指数函数和对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过函数的单调性确定临界值，从而得到大小关系.‎ ‎5．已知，则函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】采用换元法，令，可换元求得结果.‎ ‎【详解】‎ 令，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解问题，关键是能够用换元法求得；易错点是忽略换元后参数的取值范围，造成定义域求解错误.‎ ‎6．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】设直线方程为，计算截距得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 易知斜率不存在时不满足；‎ 设直线方程为，则截距和为：解得或 ‎ 故直线方程为：和 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7．函数的单调递增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据偶次根式有意义的要求求得函数的定义域；依次判断、和的单调性，根据复合函数单调性的判断原则可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得： 定义域为 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递增，在上单调递减 又在上单调递减 的单调递增区间为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数型复合函数单调区间的求解问题，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.‎ ‎8．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则以下结论正确的是（ ）‎ A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据空间中平行与垂直关系的判定与性质定理和推论依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎， 或，又 可能互相平行，错误；‎ 当，，时，可能平行、相交或异面，错误；‎ ‎， ，又 ，正确；‎ 若，，，可能相交或异面，错误.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面相关命题的辨析，考查学生对于空间中的平行与垂直位置关系的相关定理的掌握情况.‎ ‎9．已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复合函数法可得知内层函数在上为减函数，且在上恒成立，由此列出关于实数的不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的内层函数为，外层函数为，‎ 由于函数在上为减函数，且外层函数为增函数，‎ 则内层函数在上为减函数，，得，‎ 且在上恒成立，则，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合型对数函数的单调性问题，在利用复合函数法判断内层函数和外层函数的单调性时，还应注意真数在定义域上要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据偶函数的性质及在区间上单调递增,结合不等式即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 偶函数在区间上单调递增 则在区间上单调递减 若满足 则 化简可得 解不等式可得,即 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了偶函数的性质及简单应用,根据函数单调性解不等式,属于基础题.‎ ‎11．已知正方体的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B、C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正方体体积得到棱长；取特殊位置为中点，可根据平行关系得到截面为四边形，进而分析和时的截面图形，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 正方体棱长为 当，即为中点时，‎ 截面为如下图所示的四边形 当时，截面为如下图所示的四边形 当时，截面为如下图所示的五边形 的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正方体截面的形状求解参数范围的问题，关键是能够根据平行关系确定平面截正方体所得截面的形状，对学生的空间想象能力有一定的要求.‎ ‎12．若函数在内存在两个互异的x，使得成立，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式和对数运算法则将已知等式化为，从而将问题转化为方程在上有两个不等实根的问题；通过对二次函数的图象的讨论可最终求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由知：‎ 由得：‎ ‎ ‎ 即方程在上有两个不等实根 当，即时，方程为，解得：，不合题意 当，即时，，解集为 当，即时，，解得：‎ 综上所述：的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据方程根的个数求解参数范围问题，涉及到对数运算法则的应用、根据一元二次方程在区间内根的个数求解参数范围的问题；解题关键是能够将一元二次方程在区间内根的个数问题转化为二次函数图象的讨论问题，讨论二次函数图象通常要根据判别式、对称轴位置、区间端点值符号几个方面来构造不等式.‎ 二、填空题 ‎13．已知全集，集合，，则集合的子集个数为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】解一元二次方程求得集合，从而得到集合；由并集和补集定义可求得，根据元素个数可确定子集个数.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎，共包含个元素 的子集个数为个 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合子集个数的求解问题，涉及到一元二次方程的求解、集合运算中的并集和补集运算问题；关键是能够明确对于含有个元素的集合，其子集个数为个.‎ ‎14．已知幂函数是偶函数，则m的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代回解析式验证函数奇偶性可确定结果.‎ ‎【详解】‎ 为幂函数 ，解得：或 当时，为奇函数，不合题意；当时，为偶函数 综上所述：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据幂函数的定义和性质求解参数值的问题；关键是明确幂函数的定义为形式定义，从而根据定义构造方程.‎ ‎15．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱的外接球表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接交于点，根据垂直关系和棱柱特点可知为三棱柱外接球的球心，进而可知即为半径，由勾股定理求得半径后，代入球的表面积公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 连接交于点，取中点，连接 ‎，为中点 ‎ 同理可知：‎ 又棱柱为直三棱柱，四边形为矩形 为三棱柱外接球球心 外接球半径 外接球表面积 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱柱外接球表面积的求解问题，关键是能够根据棱柱的结构特征确定外接球球心的位置，进而确定球的半径.‎ ‎16．已知二次函数，对任意的，恒有成立，且.设函数.若函数的零点都是函数的零点，则的最大零点为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得，代入求得，从而得到解析式，进而得到；设为的零点，得到，由此构造关于的方程，求得；分别在和两种情况下求得所有零点，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设 ‎，解得：‎ 又 ‎ ‎，‎ 设为的零点，则，即 即，解得：或 ‎①当时 的所有零点为 ‎②当时 的所有零点为 综上所述：的最大零点为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.‎ 三、解答题 ‎17．求下列函数的值域.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）采用分离常数法可求得函数值域；‎ ‎（2）利用换元法将函数变为二次函数，根据二次函数值域求解方法即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ 值域为 ‎（2）设，则 当时， 值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查分式型、根式型函数值域的求解问题；求解分式型函数值域常采用分离常数法；求解根式型函数值域常采用换元法的方式，将问题转化为二次函数值域的求解；易错点是采用换元法时，忽略新参数的取值范围.‎ ‎18．已知集合，.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求得集合，由交集定义得到结果；‎ ‎（2）将集合整理为，根据并集结果可知 ‎；分别在、和三种情况下求得集合，根据包含关系可构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 当，即时，，不合题意 当时， ‎ 当时， ‎ 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算中的交集运算、根据并集运算结果求解参数范围的问题；关键是能够通过并集运算结果确定两个集合之间的包含关系，进而根据包含关系构造不等式.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，，，，，是正三角形.‎ ‎（1）求证：平面PBC；‎ ‎（2）求点P到平面ABC的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据长度关系可验证得到，由线面垂直判定定理可证得结论；‎ ‎（2）设点到平面的距离为，采用体积桥的方式，由可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）且是正三角形 ‎ ‎ ‎ ‎，，平面 平面 ‎（2）设点到平面的距离为 由（1）知：平面 由得：‎ 即，解得：‎ 即点到平面的距离为 ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、点到面的距离的求解问题；求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥的高的求解问题，结合棱锥体积公式构造方程求得结果.‎ ‎20．在中，，，AD为角A的角平分线，直线AD的方程为.记的面积为，的面积为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求A点坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用方程可求得点坐标，从而得到的长度，进而得到所求面积比；‎ ‎（2）利用点关于直线对称点的求解方法可求得关于直线的对称点，联立直线与方程即可求得点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将代入方程，得：‎ ‎， ‎ ‎（2）设点关于直线对称的点为 直线与直线的交点为，则的方程为：‎ 联立直线与方程得：，解得：，即 根据中点坐标公式得：，则直线的方程为 联立直线与方程得：，解得：，即 ‎【点睛】‎ 本题考查直线部分知识的综合应用，涉及到直线交点坐标的求解、点关于直线对称点的求解等知识；关键是能够明确两点关于直线对称的性质：①两点连线与对称轴垂直；②两点连线中点必在对称轴上.‎ ‎21．已知二次函数满足以下条件：①；②对任意的，都有.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据确定函数的对称轴，由二次函数对称轴和可构造方程求得，进而得到函数解析式；‎ ‎（2）将问题转化为在上恒成立问题的求解；分别在和两种情况下，根据二次函数的单调性确定最小值点，利用可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 关于对称，又 ‎，解得： ‎ ‎（2）由得：‎ 令 ‎①当，即时，在上单调递增 ‎ ‎ ‎②当即时，在上单调递减，在上单调递增 ‎ ‎ 综上所述：的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数解析式的求解、恒成立问题的求解；处理恒成立问题的关键是能够将问题转化为二次函数最值的求解问题，通过对二次函数单调性的讨论确定最值点，进而构造不等式求得结果.‎ ‎22．已知定义在上的函数满足，，且当时，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：在定义域内单调递增;‎ ‎（3）求解不等式.‎ ‎【答案】（1）0；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）取，代入即可求得；‎ ‎（2）任取，可确定，根据单调性定义得到结论；‎ ‎（3）利用将所求不等式变为，结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）取，则，解得：‎ ‎（2）任取 则 ‎ ，即 在定义域内单调递增 ‎（3） ‎ 由（2）知为增函数 ‎ 解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题；关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性，进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较；易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.‎