数学卷·2017届安徽省蚌埠市高三第二次数学质量检查理科数学试卷（解析版）

数学卷·2017届安徽省蚌埠市高三第二次数学质量检查理科数学试卷（解析版）

安徽省蚌埠市2017届高三第二次数学质量检查理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．已知集合，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算.,则.‎ ‎ ‎ ‎2．已知复数满足，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为，所以，则 ‎ ‎ ‎3．函数的图象大致是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了分析问题与解决问题的能力.由函数的奇偶性的定义可知，函数是奇函数，故排除C；令x=2，y>0,排除D；令,y<0,排除B，故答案为A.‎ ‎ ‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，且满足，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查了数列公式的应用.设公差为d，首项为a1,则，所以，则 ‎ ‎ ‎5．如图所示的程序框图中，如输入，则输出 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：m=4,t=3,y=1,i=3;y=6,i=2;y=20,i=1;y=61,i=0;y=183,i=-1,此时，不满足条件，循环结束，输出y=183.‎ ‎ ‎ ‎6．平行四边形中，，点在边上，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查平面向量的数量积，考查了学生对公式的应用与计算能力.因为,所以，令，，则,由二次函数的性质可知，当t=0时，的最大值为 ‎ ‎ ‎7．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标 ”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 A. 为真命题 B. 为真命题 C.为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查随机事件与对立事件、充分条件与必要条件，考查了逻辑推理能力. “两次射击中至少有一次没有击中目标”与“两次射击都击中目标”是对立事件，“两次射击都击中目标”是，因为题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题，所以是假命题，则 为真命题，故答案为A.‎ ‎ ‎ ‎8．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查双曲线与圆的性质，考查了圆锥曲线的位置关系与计算能力.双曲线的渐近线方程为,a=1,圆的方程为,将代入圆的方程可得交点坐标为,由四边形的面积为可得,则c=2，所以双曲线的离心率e=2‎ ‎ ‎ ‎9．已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式、两角和与差公式、函数的零点，考查了 ‎,因为函数在区间内没有零点，所以,即,所以有或,解得, 因为,所以当k=0时，;解得, 因为,所以当k=1时，，故答案为D.‎ ‎ ‎ ‎10．已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>‎ ‎ ‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是以俯视图为底面、高为5的四棱锥，如图所示，则该几何体的体积V=‎ ‎ ‎ ‎12．数列是以为首项，为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了等比数列与计算能力.数列是以为首项，为公比的等比数列，当q=1时，1+na，，则，，，因为为等比数列，所以，此时无解；当时，，，因为为等比数列，所以,即,,则q=2,a=1,所以a+q=3.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查二项式定理.由题意可得2n=4096,则n=12.则通项,令得r=3，所以常数项为 ‎ ‎ ‎14．已知边长为的正的三个顶点都在球的表面上，且与平面所成的角为，则球的表面积为         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查球的表面积与体积，考查了空间想象能力. 边长为的正的的外接圆的半径r=1，即由球的性质可知，球的半径R=，则球的表面积为 ‎ ‎ ‎15．过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的射影，由区域内的点在直线上的射影构成线段记为，则的长度的最大为          .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查二元一次不等式组与线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由,所以直线l过定点,画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，三角形ABC的最大边长|AB|=5,当AB//l时，|MN|的长度最大是5.‎ ‎ ‎ ‎16．赌博有陷阱 .某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的倍作为其奖金(单位：元).‎ 若随机变量和分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则          (元).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，考查了分析问题与解决问题的能力.由题意，赌金的分布列为 则;‎ 奖金情况是：两个小球上数字之差绝对值为1，共4种情况，奖金为2元；两个小球上数字之差绝对值为2，共3种情况，奖金为4元；两个小球上数字之差绝对值为3，共2种情况，奖金为6元；两个小球上数字之差绝对值为4，共1种情况，奖金为8元，则,,,,则奖金的分布列为 所以，则 ‎ ‎ 三、解答题：共7题 ‎17．在中，内角所对的边分别为，已知，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)由，得，得 ‎，因为，所以，得，由正弦定理 ‎，故.‎ ‎(2) 由余弦定理可知：，又由(1)知，联立，解得，故三角形的面积为.‎ ‎【解析】本题主要考查两角和与差公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由，再利用两角和与差公式化简可得，由，结合正弦定理可得结论；(2)由余弦定理，结合(1)的结论求出a、b的值，再利用三角形的面积公式求解即可.‎ ‎ ‎ ‎18．如图，四棱锥中，平面平面,，‎ ‎.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，求二面角的余弦值 .‎ ‎【答案】(1) 如图，连接交于点，，即为等腰三角形，又平分，故，因为平面底面，平面底面平面，因平面，所以 ‎(2)作于点，则底面，以为坐标原点的方向分别为 轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，而，得，又，故.‎ 由，得，故，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，得，因此可取.‎ 由，得，因此可取,从而法向量的夹角的余弦值为 ‎.由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.(1) 连接交于点，证明，由面面垂直的性质定理可得平面，则结论易得；(2) 作于点，则底面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.‎ ‎ ‎ ‎19．某学校高一、高二、高三三个年级共有名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层 抽样获得了名教师一周的备课时间，数据如下表(单位：小时)：‎ ‎(1)试估计该校高三年级的教师人数；‎ ‎(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，假设所有教师的备课时间相对独立，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率；‎ ‎(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是(单位：小时)，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，试判断与的大小. (结论不要求证明)‎ ‎【答案】(1) 抽出的位教师中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，高三年级的教师共有 ‎ (人).‎ ‎(2) 设事件为 “ 甲是现有样本中高一年级中的第个教师 ”, , 事件 “ 乙是现有样本中高二年级中的第个教师 ” ，,由题意知：,‎ ‎.设事件为“ 该周甲的备课时间比乙的备课时间长 ” . 由题意知，，所以 ‎，‎ 故.‎ ‎(3)，‎ ‎，三组总平均值，新加入的三个数的平均数为，比小，故拉低了平均值，.‎ ‎【解析】本题主要考查分层抽样、相互独立性事件同时发生的概率、平均数，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由分层抽样法易得结论；(2)由相互独立性事件同时发生的概率公式求解即可；(3)由平均数公式求解可得结论.‎ ‎ ‎ ‎20．如图，已知椭圆的左右顶点分别是,离心率为,设点,连接交椭圆于点，坐标原点是.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值 .‎ ‎【答案】(1) 由已知易得: 椭圆方程为,设直线的方程为,由，整理得，解得：，则点的坐标是，故直线的斜率为，由于故直线的斜率为，所以 ‎(2)由(1)知，，整理得.‎ ‎【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的方程与斜率、两条直线的位置关系，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)易得椭圆方程,设直线的方程为,联立求出点C的坐标，再利用直线的斜率公式求出直线PA、BC 的斜率，证明，即可得出结论；(2)由(1)，分别求出三角形的面积与四边形的面积，根据题意求解即可.‎ ‎ ‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)求函数在区间上的最大值；‎ ‎(2)若是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明 .‎ ‎【答案】(1),‎ 当时，时，；‎ 当时，时，；‎ 当时，由，得，又，则有如下分类：‎ ‎①当，即时，在上是增函数，所以；②当，即时，在上是增函数，在上是减函数，所以；③当，即时，在上是减函数，所以，综上，函数在上的最大值为.‎ ‎(2)‎ ‎, ,‎ ‎,令，所以在上是增函数，又，当时，，故；当时，，故，综上知：.‎ ‎【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了分类讨论思想与函数的构造、逻辑思维能力与计算能力.(1),分、、、、等情况讨论的符号，判断函数的单调性，即可得出结论；(2)由题意化简可得,令，求导并判断函数的单调性，则结论易得.‎ ‎ ‎ ‎22．在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为为参数).‎ ‎(1)求的直角坐标方程；‎ ‎(2)与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎【答案】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接 ‎，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.‎ ‎【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、参数的几何意义与方程思想、弦长公式.(1)利用公式化简可得曲线的直角坐标方程；(2)由曲线C1的方程易得为正三角形，将代入曲线C2的直角坐标方程，再利用参数的几何意义即可求出|KH|,则结果易得.‎ ‎ ‎ ‎23．已知.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)设，求的最小值 .‎ ‎【答案】(1),当时，，成立；当时，，即；当时，，即，综合以上可知：.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用，考查了逻辑思维能力与计算能力.(1)由题意，分、、三种情况讨论去绝对值求解即可；(2)由题意可得，两式相加，再利用绝对值三角不等式求解即可.‎