专题15 数列的通项公式的求解方法-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

专题15 数列的通项公式的求解方法-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

一．高考命题类型：‎ ‎1.累和法求通项 ‎2.累积法求通项 ‎3.归纳法求通项 ‎4.项和互化求通项 ‎5.构造辅助数列求通项 ‎（1）的形式 ‎（2）的形式 ‎6.转化为等差等比求通项 ‎7.倒序相加求通项 ‎8.分奇偶数求解 ‎9.利用周期性求通项 ‎10.裂项求通项 二．类型举例 ‎1.累和法求通项 例1．数列的首项为， 为等差数列，且（），若， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 练习1. 已知数列满足， ，则数列的前40项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ 练习2. 数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得： ，则：‎ ‎，‎ 以上各式相加可得： ，则： ，‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【方法总结】：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ 练习3. 已知数列满足， ，若，则数列的通项（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2.累积法求通项 例2. 数列满足： (且)，则（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得， ，‎ ‎。选C。‎ 练习1已知数列满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.归纳法求通项 例3.已知数列,则一定是 A. 奇数 B. 偶数 C. 小数 D. 无理数 ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,则数列从第3项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3n项均为偶数,第3n+1项均为奇数,第3n+2项均为奇数,所以一定是奇数.‎ ‎【方法总结】：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.‎ 练习1. 数列的一个通项公式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 练习2.数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是an＝(　　)‎ A. (10n－1) B. C. (10n－1) D. (10n－1).‎ ‎【答案】B ‎【解析】1－＝0.9，1－＝0.99，…，故原数列的通项公式为an＝.选B.‎ 练习3．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数.根据图形的构成，记此数列的第2017项为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：观察梯形数的前几项，得 ‎5=2+3=a1‎ ‎9=2+3+4=a2‎ ‎14=2+3+4+5=a3‎ ‎…‎ an=2+3+…+(n+2)= ，‎ 由此可得 ，‎ 该数的个位数字为4，结合选项只有C选项符合题意.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【方法总结】：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．‎ ‎4.项和互化求通项 例4.设是数列的前项和，且，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 本题选择D选项.‎ ‎【方法规律总结】：给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.‎ 练习1. 设数列满足，通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时， ，‎ ‎…………...(1) ， ……....(2),‎ ‎(1)-(2)得： ， ， 符合，则通项公式是，选C.‎ 练习2. 设数列满足，通项公式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 练习3. 已知正项数列的前项和为，且， ，现有如下说法：‎ ‎①；②当为奇数时， ；③．‎ 则上述说法正确的个数为（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ,当 时, 当时, ‎ 因为 ,所以化简得 ,因此当为奇数时， ; 当为偶数时， ;因此 ;所以正确的个数为3,选D.‎ ‎【方法总结】：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎5.构造辅助数列求通项 ‎（1）的形式 例5.1数列满足则（ ）‎ A. 33 B. 32 C. 31 D. 34‎ ‎【答案】A 练习1. 已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝3an+2，则{an}的通项公式为 A. an＝2n-1 B. an＝3n-1 C. an＝2n-1 D. an＝6n-4‎ ‎【答案】B ‎【解析】，得是以3为首项，3为公比的等比数列，‎ 则，即。故选B。‎ ‎（2）的形式 例5.2设为数列的前项和， ，且.记 为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由2an﹣an﹣1=3•2n﹣1（n≥2），得， ‎ 由2an﹣an﹣1=3•2n﹣1（n≥2），且3a1=2a2，‎ 可得2a2﹣a1=6，即2a1=6，得a1=3．‎ ‎∵对∀n∈N*，Tn＜m，‎ ‎∴m的最小值为．‎ 故答案为A。‎ ‎【方法总结】：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0比研究单调性，直接研究表达式的单调性。‎ 练习1. 已知数列的前项和为， ，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】数列的前项和为， ，‎ 代入，得到 ，求数列的前项和，可以分组求和，分为一个等比数列和一个等差数列。 ‎ ‎ ‎ 故答案为C。‎ 练习2. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 练习3. 已知数列满足，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，∴‎ ‎，∴，当时也符合，∴数列的通项公式为.故选C.‎ ‎6.转化为等差等比求通项 例6．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）‎ A. B. 9 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C 练习1.已知数列和满足.若为等比数列，且 则与分别为（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列的公比为，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又由题意得，∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ 练习2.已知数列满足， ，则 ( )‎ A. 121 B. 136 C. 144 D. 169‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知， ‎ 即 ‎∴为等差数列，首项为0，公差为1‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故选：C 练习3. 数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 练习4. 已知数列则 （ ）‎ A. B. C. 或1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可知，两边去倒数得 是等差数列，故 ，故得 ‎ 故答案选B．‎ ‎【方法总结】：已知数列要求通项，可以两边取倒数，得到是等差数列，已知 可以求出 ，再根据等差数列的性质求出数列的通项公式， ‎ ‎，再取倒数可以求出，代入n=7,求得结果即可.‎ 练习4. 已知数列的首项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎7.倒序相加求通项 例7. 已知是上的奇函数， ，则数列的通项公式为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵是奇函数，∴，令， ，‎ 令， ，∴，∴，‎ 令，∴，令，∴，‎ ‎∵，∴，同理可得，‎ ‎，∴，‎ 故选 ‎【方法总结】：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对x赋值了，继续推导，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2．本题有一定的探索性，难度大.‎ ‎8.分奇偶数求解 例8. 已知数列满足， ，则数列的前40项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故答案为D。‎ ‎【方法总结】：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。‎ 练习1. 正整数数列满足，已知， 的前7项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列， 所有项和为，则（ ）‎ A. 32 B. 48 C. 64 D. 80‎ ‎【答案】C ‎（2）当，则， ， 或，‎ ‎①当，则，‎ ‎②当，则；‎ 所以， ，‎ 所以，故选C。‎ 练习2. 在数列中， ，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 可以看出四个循环一次故 ‎ 故选B ‎9.利用周期性求通项 例9. 已知数列中， ， ，则 等于（  ）‎ A. 1 B. -1 C. D. -2‎ ‎【答案】C 练习1. ．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)， a1·a2·a3·…·a2017＝（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. －3‎ ‎【答案】B 练习2.已知数列满足， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，对 进行变形，得 ‎ 则 ，即4个一循环，那么，故选A.‎ ‎【方法总结】：本题主要考查数列通项公式的求解，根据递推关系求出数列的循环是解决问题的关键.‎ 练习2. 在数列中， ，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵‎ ‎∴， ， ‎ ‎∴数列是周期为3的数列 ‎∴‎ 故选A 练习3. 已知数列满足，则＝（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎10.裂项求通项 例10. 数列满足，且对任意的都有，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对任意的都成立， ，即 ‎， ，把上面个式子相加可得， ， ，从而有， ，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查递推公式求通项、累加法的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ‎ ‎；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 三．高考真题演练 ‎1.【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】等差数列的基本量求解 ‎【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎2.【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差为 ，由a2，a3，a6成等比数列可得： ，‎ 即： ，整理可得： ，公差不为 ，则 ，‎ 数列的前6项和为 .‎ 故选A.‎ ‎【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算 ‎【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.‎ ‎3.【2017课标II，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【考点】 等比数列的应用；等比数列的求和公式 ‎【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论。　‎ ‎4.【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴 趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，‎ ‎1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来 的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么 该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，‎ 所以，则，此时，‎ 对应满足的最小条件为，故选A.‎ ‎【考点】等差数列、等比数列的求和.‎ ‎【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.‎ ‎5.【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】 等差数列、充分必要性 ‎【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故为充要条件．‎ ‎6.【2015高考北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C 考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.‎ ‎7.【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知,所以故选C.‎ 考点：等差数列及其运算 ‎【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎8.【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 考点：等差数列的定义．‎ ‎【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．‎ ‎9.【2016年高考四川理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%‎ ‎，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )‎ ‎（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）‎ ‎（ A）2018年 （B）2019年 （C）2020年 （D）2021年 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设第年的研发投资资金为，，则，由题意，需 ‎，解得，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.‎ 考点：等比数列的应用.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．‎ ‎10.【2015高考浙江，理3】已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念 ‎【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求 解能力，属于容易题，将，表示为只与公差 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.‎ ‎11.【2014高考重庆理第2题】对任意等比数列,下列说法一定正确的是( )‎ 成等比数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列为等比数列，设其公比为，则 所以，一定成等比数列，故选D.‎ 考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.‎ ‎【名师点睛】本题考查了等比数列的概念与通项公式，等比数列的性质，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的积相等更能快速作答.‎ ‎12.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则=　　　　（　　）‎ A、-1 B、0 C、1 D、6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质得，选B.‎ ‎【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.‎ ‎【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.‎ ‎13.【2014福建，理3】等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎14.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．‎ ‎【考点定位】等差中项和等比中项．‎ ‎【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．‎ ‎15. 【2014辽宁理8】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：1.等差数列的概念；2.递减数列. ‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用是递减数列，确定得到，得到结论.‎ 本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.‎ ‎16. 【2015课标2理4】已知等比数列满足a1=3， =21，则 ( )‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．‎ ‎【考点定位】等比数列通项公式和性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题．‎ ‎17. 【2016高考浙江理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，‎ 再由，又，‎ 所以 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前项和．‎ ‎【易错点睛】由转化为的过程中，一定要检验当时是否满足，否则很容易出现错误．‎ ‎18.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】 等比数列的通项公式 ‎【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎19.【2017课标II，理15】等差数列的前项和为，，，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的首项为，公差为，‎ 由题意有： ，解得 ，‎ 数列的前n项和,‎ 裂项有：，据此：‎ ‎ 。‎ ‎【考点】 等差数列前n项和公式；裂项求和。‎ ‎【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。‎ ‎20.【2017北京，理10】若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为 和 ， ，求得 ，那么 .‎ ‎【考点】等差数列和等比数列 ‎【名师点睛】‎ 我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎21.【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：等比数列及其应用 ‎【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. ‎ ‎21.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．‎ ‎【考点定位】等差数列和递推关系．‎ ‎【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与 的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题．‎ ‎22.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 考点：等差数列性质 ‎【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及等差数列广义通项公式 ‎【考点定位】等比数列的通项公式．‎ ‎【名师点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎23.【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】数列通项，裂项求和 ‎【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝f(n)·an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.‎ ‎24.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．‎ ‎【考点定位】等差中项．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若，，成等差数列，则称为与的等差中项，即．‎ ‎25.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】等差数列和递推关系．‎ ‎【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项与的关系，从而转化为与的递推式，并根据等差数列的定义判断是等差数列，属于中档题．‎ ‎26.【2014，安徽理12】数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵成等比，∴，令，则，即，∴，即，∴．‎ 考点：1．等差，等比数列的性质．‎ ‎【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是，则（等差数列），（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前项和公式等.‎ ‎27.【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.‎ ‎【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是，则（等差数列），（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前项和公式等.‎ ‎28.【2014天津，理11】设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意得，∴，解得．‎ 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前项和公式表示出然后依据成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出.‎ ‎29.【2015湖南理14】设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【考点定位】等差数列与等比数列的性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列 基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.‎