高三数学期末考试典型考题精选
高三数学期末考试典型考题精选
爱智康高中学科部 何婷老师
高三上学期期末考试是一轮复习成果的检验，对同学们的心态及后续学习计划的安排都有很大的影响。为了帮助同学们更好的为期末考试做准备，我们整理了高三上学期数学考试的经典试题。本套试题共分为三个部分，选择题、填空题和解答题。其中选择题共6道，填空题共3道，解答题共2道，共计11道，涉及了集合与常用逻辑用语、复数、函数综合、导数综合、平面向量、解三角形、三角函数、不等式、数列等内容。
选择题：
1. 已知集合A={x|x(x−2)<0}，B={x|lnx>0}，则A∩B是（ ）．
A.{x|1
0} D.{x|x>2}
答案：A
解析：∵A={x|01}，∴A∩B={x|122x1∙2x2，化简得：2x1+x2<14，即x1+x2<−2．
5. 已知圆(x−2)2+y2=9的圆心为C．直线l过点M(−2,0)且与x轴不重合，l交圆C于A，B两点，点A在点M，B之间．过M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是（ ）．
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分
答案：B
解析：大致作出图像如图所示，
∵CA=CB=3，且AC//MP，∴∠BAC=∠ABC=∠BMP，∴PM=PB，∴PM−PC=PB−PC=BC=3（为定值），∴点P的轨迹是以M，C为焦点，实轴长为3的双曲线．
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填空题：
6. 已知数列{an}满足an+1=an−an−1（n⩾2），a1=p，a2=q(p，q∈R)．设Sn=i=1nai，则a10= ;S2018= ．（用含p，q的式子表示）
答案：1．−p 2．p+q
解析：由已知：a10=a9−a8=a8−a7−a8=−a7=a5−a6=a5−(a5−a4)=a4，a4=a3−a2=a2−a1−a2=−a1=−p；可知数列是周期为6的数列：p,q,q−p,−p,−q,p−q……，一个周期的和为0，2018除以6余2，故 S2018=0+a1+a2=p+q．
7. 在△ABC中，a=3，∠C=2π3，△ABC的面积为334，则c= ．
答案：13
解析：S△ABC=12absinC=32b⋅32=334，解得：b=1．则
c2=a2+b2−2abcosC=9+1+3=13，故c=13．
8. 设抛物线C：y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则∣OA+OB∣= ．
答案：2
解析：焦点为(1,0)，代入曲线方程，得y=±2，故A(1,2)，B(1,−2)，OA+ OB=(2,0)，∣OA+OB∣=2．
解答题：
9. 已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+12．
（1）求f(x)的单调递增区间．
答案：[kπ−3π8,kπ+π8]（k∈Z）.
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解析：由题知
f(x)= 12sin2x−12(1−cos2x)+ 12 =12sin2x+12cos2x =22sin[2x+π4]．由
2kπ−π2⩽2x+π4⩽2kπ+π2（k∈Z），解得 kπ−3π8⩽x⩽kπ+π8 ．所以f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8]（k∈Z）．
（2）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A=bcosA−asinB．且00．
（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．
答案：y=x−1．
解析：当a=1时，f(x)=ex⋅sinx−1，所以f′(x)=ex(sinx+cosx)．因为f′(0)=1，f(0)=−1，所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x−1
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（2）证明：f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．
答案：证明见解析．
解析：f′(x)=eax(asinx+cosx)．由f′(x)=0，得asinx+cosx=0．因为a>0，所以f′(π2)≠0．当x∈(0, π2)∪(π2,π)时，由asinx+cosx=0，得tanx=−1a．所以存在唯一的x0∈(π2,π)，使得tanx0=−1a．f(x)与f′(x)在区间(0,π)上的情况如下：
x
(0, x0)
x0
(x0, π)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)在区间(0, x0)上单调递增，在区间(x0, π)上单调递减．因为f(x0)>f(π2)=eaπ2−1>e0−1=0，且f(0)=f(π)=−1<0，所以f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．
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