高三数学期末考试典型考题精选
高三数学期末考试典型考题精选
爱智康高中学科部 何婷老师
高三上学期期末考试是一轮复习成果的检验,对同学们的心态及后续学习计划的安排都有很大的影响。为了帮助同学们更好的为期末考试做准备,我们整理了高三上学期数学考试的经典试题。本套试题共分为三个部分,选择题、填空题和解答题。其中选择题共6道,填空题共3道,解答题共2道,共计11道,涉及了集合与常用逻辑用语、复数、函数综合、导数综合、平面向量、解三角形、三角函数、不等式、数列等内容。
选择题:
1. 已知集合A={x|x(x−2)<0},B={x|lnx>0},则A∩B是( ).
A.{x|1
0} D.{x|x>2}
答案:A
解析:∵A={x|01},∴A∩B={x|122x1∙2x2,化简得:2x1+x2<14,即x1+x2<−2.
5. 已知圆(x−2)2+y2=9的圆心为C.直线l过点M(−2,0)且与x轴不重合,l交圆C于A,B两点,点A在点M,B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹是( ).
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分
答案:B
解析:大致作出图像如图所示,
∵CA=CB=3,且AC//MP,∴∠BAC=∠ABC=∠BMP,∴PM=PB,∴PM−PC=PB−PC=BC=3(为定值),∴点P的轨迹是以M,C为焦点,实轴长为3的双曲线.
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填空题:
6. 已知数列{an}满足an+1=an−an−1(n⩾2),a1=p,a2=q(p,q∈R).设Sn=i=1nai,则a10= ;S2018= .(用含p,q的式子表示)
答案:1.−p 2.p+q
解析:由已知:a10=a9−a8=a8−a7−a8=−a7=a5−a6=a5−(a5−a4)=a4,a4=a3−a2=a2−a1−a2=−a1=−p;可知数列是周期为6的数列:p,q,q−p,−p,−q,p−q……,一个周期的和为0,2018除以6余2,故 S2018=0+a1+a2=p+q.
7. 在△ABC中,a=3,∠C=2π3,△ABC的面积为334,则c= .
答案:13
解析:S△ABC=12absinC=32b⋅32=334,解得:b=1.则
c2=a2+b2−2abcosC=9+1+3=13,故c=13.
8. 设抛物线C:y2=4x的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A,B两点,则∣OA+OB∣= .
答案:2
解析:焦点为(1,0),代入曲线方程,得y=±2,故A(1,2),B(1,−2),OA+ OB=(2,0),∣OA+OB∣=2.
解答题:
9. 已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+12.
(1)求f(x)的单调递增区间.
答案:[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z).
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解析:由题知
f(x)= 12sin2x−12(1−cos2x)+ 12 =12sin2x+12cos2x =22sin[2x+π4].由
2kπ−π2⩽2x+π4⩽2kπ+π2(k∈Z),解得 kπ−3π8⩽x⩽kπ+π8 .所以f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z).
(2)在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且满足bcos2A=bcosA−asinB.且00.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.
答案:y=x−1.
解析:当a=1时,f(x)=ex⋅sinx−1,所以f′(x)=ex(sinx+cosx).因为f′(0)=1,f(0)=−1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x−1
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(2)证明:f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点.
答案:证明见解析.
解析:f′(x)=eax(asinx+cosx).由f′(x)=0,得asinx+cosx=0.因为a>0,所以f′(π2)≠0.当x∈(0, π2)∪(π2,π)时,由asinx+cosx=0,得tanx=−1a.所以存在唯一的x0∈(π2,π),使得tanx0=−1a.f(x)与f′(x)在区间(0,π)上的情况如下:
x
(0, x0)
x0
(x0, π)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)在区间(0, x0)上单调递增,在区间(x0, π)上单调递减.因为f(x0)>f(π2)=eaπ2−1>e0−1=0,且f(0)=f(π)=−1<0,所以f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点.
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