高三数学期末考试典型考题精选

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高三数学期末考试典型考题精选

高三数学期末考试典型考题精选 爱智康高中学科部 何婷老师 高三上学期期末考试是一轮复习成果的检验,对同学们的心态及后续学习计划的安排都有很大的影响。为了帮助同学们更好的为期末考试做准备,我们整理了高三上学期数学考试的经典试题。本套试题共分为三个部分,选择题、填空题和解答题。其中选择题共6道,填空题共3道,解答题共2道,共计11道,涉及了集合与常用逻辑用语、复数、函数综合、导数综合、平面向量、解三角形、三角函数、不等式、数列等内容。‎ 选择题:‎ ‎1. 已知集合A={x|x(x−2)<0},B={x|lnx>0},则A∩B是(  ).‎ A.{x|10} D.{x|x>2}‎ 答案:A 解析:∵A={x|01},∴A∩B={x|12‎2‎x‎1∙‎‎2‎x‎2‎,化简得:2x1+x2<14,即x1+x2<−2.‎ ‎5. 已知圆(x−2)2+y2=9的圆心为C.直线l过点M(−2,0)且与x轴不重合,l交圆C于A,B两点,点A在点M,B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹是(  ).‎ A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分 答案:B 解析:大致作出图像如图所示,‎ ‎∵CA=CB=3,且AC//MP,∴∠BAC=∠ABC=∠BMP,∴PM=PB,∴PM−PC=PB−PC=BC=3(为定值),∴点P的轨迹是以M,C为焦点,实轴长为3的双曲线.‎ ‎ 6 / 6‎ 填空题:‎ ‎6. 已知数列{an}满足an+1=an−an−1(n⩾2),a1=p,a2=q(p,q∈R).设Sn=i=1‎nai,则a10=            ;S2018=           .(用含p,q的式子表示)‎ 答案:1.−p 2.p+q 解析:由已知:a10=a9−a8=a8−a7−a8=−a7=a5−a6=a5−(a5−a4)=a4,a4=a3−a2=a2−a1−a2=−a1=−p;可知数列是周期为6的数列:p,q,q−p,−p,−q,p−q……,一个周期的和为0,2018除以6余2,故 S2018=0+a1+a2=p+q.‎ ‎7. 在△ABC中,a=3,∠C=‎2π‎3‎,△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎4‎,则c=          .‎ 答案:‎‎13‎ 解析:S△ABC=‎1‎‎2‎absinC=‎3‎‎2‎b⋅‎3‎‎2‎=‎3‎‎3‎‎4‎,解得:b=1.则 c2=a2+b2−2abcosC=9+1+3=13,故c=‎13‎.‎ ‎8. 设抛物线C:y2=4x的顶点为O,经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A,B两点,则∣OA+OB∣=            .‎ 答案:2‎ 解析:焦点为(1,0),代入曲线方程,得y=±2,故A(1,2),B(1,−2),OA+ OB=(2,0),∣OA+OB∣=2.‎ 解答题:‎ ‎9. 已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间.‎ 答案:[kπ−‎3π‎8‎,kπ+π‎8‎](k∈Z).‎ ‎ 6 / 6‎ 解析:由题知 f(x)=‎ ‎‎1‎‎2‎sin2x−‎1‎‎2‎(1−cos2x)+‎ ‎‎1‎‎2‎ =‎1‎‎2‎sin2x+‎1‎‎2‎cos2x =‎2‎‎2‎sin[2x+π‎4‎].由 ‎2kπ−π‎2‎⩽2x+π‎4‎⩽2kπ+π‎2‎(k∈Z),解得 kπ−‎3π‎8‎⩽x⩽kπ+π‎8‎ .所以f(x)单调递增区间为[kπ−‎3π‎8‎,kπ+π‎8‎](k∈Z).‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且满足bcos2A=bcosA−asinB.且00.‎ ‎(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.‎ 答案:y=x−1.‎ 解析:当a=1时,f(x)=ex⋅sinx−1,所以f′(x)=ex(sinx+cosx).因为f′(0)=1,f(0)=−1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x−1‎ ‎ 6 / 6‎ ‎(2)证明:f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点.‎ 答案:证明见解析.‎ 解析:f′(x)=eax(asinx+cosx).由f′(x)=0,得asinx+cosx=0.因为a>0,所以f′(π‎2‎)≠0.当x∈(0,‎ ‎π‎2‎)∪(π‎2‎,π)时,由asinx+cosx=0,得tanx=−‎1‎a.所以存在唯一的x0∈(π‎2‎,π),使得tanx0=−‎1‎a.f(x)与f′(x)在区间(0,π)上的情况如下:‎ x ‎(0, x0)‎ x0‎ ‎(x0, π)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎−‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以f(x)在区间(0, x0)上单调递增,在区间(x0, π)上单调递减.因为f(x0)>f(π‎2‎)=eaπ‎2‎−1>e0−1=0,且f(0)=f(π)=−1<0,所以f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点.‎ ‎ 6 / 6‎ ‎ ‎ ‎ 6 / 6‎
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