2018版高三数学（文）一轮复习（考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升）第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
考点1 函数的概念
1.(2015·湖北，7)设x∈R，定义符号函数＝则( )
A．|x|＝x|| B．|x|＝
C．|x|＝ D．|x|＝
1.解析 对于选项A，右边＝＝而左边＝|x|＝显然不正确；
对于选项B，右边＝＝而左边＝|x|＝显然不正确；
对于选项C，右边＝＝，而左边＝|x|＝显然不正确；
对于选项D，右边＝＝而左边＝|x|＝显然正确.故应选D.
答案 D
2.(2015·重庆，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
2.解析 需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪
(1，＋∞)．
答案 D
3.(2015·湖北，6)函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2,3) B．(2,4]
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
3.解析 依题意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4； ①
且>0，解得x>2且x≠3， ②
由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C.
答案 C
4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，
则f(6－a)＝( )
A． － B．－ C．－ D．－
4.解析 若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(无解)；
若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，
f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－2＝－.
答案 A
5.(2015·山东，10)设函数f(x)＝若＝4，则b＝( )
A．1 B. C. D.
5.解析 由题意，得＝3×－b＝－b.
若－b≥1，即b≤时，，解得b＝.
若－b＜1，即b＞时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．
所以b＝.
答案 D
6.(2015·陕西，4)设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
6.解析 ∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝＝1－＝1－＝，故选C.
答案 C
7.(2014·山东，3)函数f(x)＝的定义域为( )
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
7.解析 由题意可知x满足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根据对数函数的性质得x＞2，
即函数f(x)的定义域是(2，＋∞)．
答案 C
8.(2014·江西，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
8.解析 因为－1＜0，所以f(－1)＝＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，
解得a＝.
答案 A
9. (2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.
9.解析 由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.
答案 －2
考点2 函数的基本性质
1.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，
f(－x)＝－f(x)，当x＞时，＝.则f(6)＝( )
A.－2 B.－1
C.0 D.2
1.解析 当x＞时，＝，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，
∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.
答案 D
2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D.∪
2.解析 由f(x)＝ln(1＋|x|)－ 知f(x)为R上的偶函数，
于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|)．
当x＞0时，f(x)＝ln(1＋x)－，得f′(x)＝＋＞0，
所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，
则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，
平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1，故选A.
答案 A
3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝| ln x| D．y＝2x
3.解析 由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数．
答案 B
4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝ex
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
4.解析 由奇函数定义易知y＝ex－e－x为奇函数，故选D.
答案 D
5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
5.解析 对于A，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；
对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；
对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；
对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.
答案 D
6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，
且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A． －1 B．1 C．2 D．4
6.解析 设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，
将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，
由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.
答案 C
7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )
A．y＝e－x B．y＝x3
C．y＝ln x D．y＝|x|
7.解析 分别画出四个函数的图象，如图所示：
因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；
因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；
对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；
而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.
答案 B
8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2x
8.解析 因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝在(－∞，0)上是单调递增的，
又y＝为偶函数，故A对；
y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；
y＝x3为奇函数，故C错；
y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.
答案 A
9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是
偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
9.解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C.
答案 C
10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝2x－ B．y＝x3sin x
C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x
10.解析 选项B中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A中的函数是奇函数．
答案 A
11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2x D．f(x)＝2x＋2x
11.解析 函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；
选项D中f(x)＝2x＋2x，则f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2x为偶函数，故选D.
答案 D
12. (2016·北京，10)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________.
12.解析 f(x)＝＝1＋，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
则f(x)最大值为f(2)＝＝2.
答案 2
12. (2016·四川，14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
0}，值域为{y|y>0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝，故选D.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅰ，8)若a>b>0，0cb
2.解析 对A：＝，＝，
∵0b>0，所以lg a>lg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；
对于B：＝，＝，而lg a>lg b，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确；
对C：由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac>bc，所以C错；
对D：由y＝cx在R上为减函数，得ca8－2.82>0，排除A；
f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；
在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x∈时，f′(x)<×4－e0＝0，
因此f(x)在上单调递减，排除C，故选D.
答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f(x) (x∈R)满足f(x)= f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=( )
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
2.解析 函数f(x) (x∈R)满足f(x) = f(2-x)，
故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
函数y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2-2x-3|与y= f(x)图象的交点也关于直线x=1对称，
故xi=×2=m，故选B.
答案 B
3.(2016·浙江，3)函数y＝sin x2的图象是( )
3.解析 y＝sin x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、C.
又当x2＝，即x＝±时，ymax＝1，排除B，故选D.
答案 D
4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
4.解析 当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tan x，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tan x，
它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；
当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.故选B.
答案 B
5.(2015·浙江，5)函数f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
5.解析 ∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；
当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.
答案 D
6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
6.解析 根据对数函数性质知，a＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a＜1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a＞1，与幂函数图象矛盾.故选D.
答案 D
7.(2014·辽宁，10)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝
则不等式f(x－1)≤的解集为( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
7.解析 当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；
当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，故有≤x≤.
因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，
故f(x－1)≤的解集为∪.故选A.
答案 A
考点6 函数与方程
1.(2015·天津，8)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝
f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
1.解析
函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数，记h(x)＝－f(2－x)，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象，如图所示，g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位，可知f(x)与g(x)的图象有两个交点，故选A.
答案 A
2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
2.解析 对数函数y＝ln x是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sin x是奇函数；y＝cos x是偶函数且有零点，故选D.
答案 D
3.(2014·重庆，10)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
3.解析 g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)＝和函数y＝m(x＋1)的图象，如图所示，当直线y＝m(x＋1)与y＝－3，x∈(－1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交时，0＜m≤；当直线y＝m(x＋1)与y＝
－4，x∈(－1，0]有两个交点时，由方程组消元得－3＝m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化简得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当Δ＝9＋4m＝0，m＝－时，直线y＝m(x＋1)与y＝－3相切，当直线y＝m(x＋1)过点(0，－2)时，m＝－2，
所以m∈.
综上所述，实数m的取值范围是∪(0，]，选择A.
答案 A
4.(2014·北京，6)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞)
4.解析 因为f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－log24＝－＜0，
所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选C.
答案 C
5. (2016·山东，15)已知函数f(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
5.解析 如图，当x≤m时，f(x)＝|x|.
当x＞m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数.
若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m＜|m|.
∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3.
答案 (3，＋∞)
6. (2015·江苏，13)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________．
6.解析 令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，
在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根的个数为4.
答案4
5. (2015·湖北，13)函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．
7.解析 f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2.
令f(x)＝0，则sin 2x＝x2，
则函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2的图象的交点个数．
作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f(x)的零点个数为2.
答案 2
6. (2014·天津，14)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．
8.解析 由题意，函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，得函数y1＝f(x)与y2＝a|x|的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a显然大于0)．由图知，当y2＝－ax(x＜0)与y1＝－x2－5x－4(－4＜x＜－1)相切时，x2＋(5－a)x＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a)2－16＝0，解得a＝1(a＝9舍去).所以当x＜0时，y1与y2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y＝
f(x)－a|x|恰有4个零点．
答案 (1，2)
5. (2014·福建，15))函数f(x)＝的零点个数为________．
9.解析 当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－；当x＞0时，f(x)＝2x－6＋ln x，
因为f′(x)＝2＋＞0，所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f(3)＝ln 3＞0，
所以函数f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上所述，函数f(x)的零点个数为2.
答案 2
考点7 函数模型及其应用
1.(2016·四川，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)
A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
1.解析 设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝，∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－
＝＝＝3.8.
即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.
答案 B
2.(2014·山东，9)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项A、C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数的图象的对称轴为y轴，只有选项D中函数的图象存在不是y轴的对称轴．
答案 D
3.(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
3.解析 (1)F＝≤＝1 900，当且仅当v＝11时等号成立．
(2)F＝≤＝2 000，当且仅当v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.
答案 (1)1 900 (2)100
4.(2014·四川，15)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B，现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
4.解析 ①显然正确；
②反例：函数y＝的值域为(0，1)，存在M＝1符合题意，但此函数没有最值；
③当f(x)趋于＋∞时，无论g(x)在[－M，M]内如何取值，f(x)＋g(x)都趋于＋∞，所以f(x)＋g(x)不可能有最大值，此命题正确；
④由于ln(x＋2)的值域为R，的值域为，由③知如果a≠0，则函数f(x)＝aln(x＋2)＋的值域为R，无最大值，与已知矛盾，所以a＝0，所以此命题正确．
答案 ①③④
