2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-2函数的单调性与最值练习苏教版

2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-2函数的单调性与最值练习苏教版

‎2.2 函数的单调性与最值 考点一　函数的单调性(区间) ‎ ‎1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 (　　)‎ A.y=1-x2　 B.y=x2+2x C.y=- D.y=‎ ‎2.函数f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是 (　　)‎ A.(-∞,-2) B.(-∞,1)‎ C.(1,+∞) D.(4,+∞)‎ ‎3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 (　　)‎ A.y=在R上为减函数 B.y=|f(x)|在R上为增函数 C.y=-在R上为增函数 D.y=-f(x)在R上为减函数 ‎4.设函数f(x)=g(x)=x‎2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是(　　)‎ A.(-∞,0] B.[0,1)‎ C.[1,+∞)　 D.[-1,0]‎ ‎【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[-1,+∞)上是增函数;对于选项C,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项D,因为y==1+.易知其在(-∞,1)上为减函数.‎ ‎2.选D.函数有意义,则x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).‎ - 11 -‎ ‎3.选D.特例法:设f(x)=x,则y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.‎ ‎4.选B.因为g(x)=‎ 作出函数图象如图所示,‎ 所以其递减区间为[0,1).‎ ‎　　判断函数单调性的方法 ‎(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.‎ ‎(2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减.‎ ‎(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则.‎ ‎(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.‎ 其中(2)(3)一般用于选择题和填空题.‎ 考点二　函数的最值(值域) ‎ ‎【典例】1.函数y=的值域是________. ‎ ‎2.函数y=x+的最小值为________. ‎ ‎3.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为,则a=________. ‎ ‎【解题导思】‎ - 11 -‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由,想到分离常数 ‎2‎ 由x+,想到利用函数的单调性或换元法求解 ‎3‎ 由-,想到反比例函数的单调性 ‎【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x2≥1,所以0<≤2,所以-1<-1+≤1,所以函数的值域为(-1,1].‎ 答案:(-1,1]‎ ‎2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1.‎ 方法二:令t=,且t≥0,则x=t2+1,‎ 所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.‎ 配方得y=+,‎ 又因为t≥0,所以y≥+=1.‎ 故函数y=x+的最小值为1.‎ 答案:1‎ ‎3.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增,‎ - 11 -‎ 所以即解得a=.‎ ‎ 答案:‎ ‎　求函数最值的常用方法 ‎(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.‎ ‎(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.‎ ‎(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.‎ ‎(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.‎ ‎(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.‎ ‎1.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是 (　　)‎ A.(-∞,2) B.(-∞,2]‎ C.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,2)‎ ‎【解析】选A.当x<1时,0<2x<2,‎ 当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0,‎ 综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2).‎ ‎2.函数y=的值域为________. ‎ ‎【解析】y===3+,‎ 因为≠0,所以3+≠3,‎ - 11 -‎ 所以函数y=的值域为{y|y≠3}.‎ 答案:{y|y≠3}‎ ‎3.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. ‎ ‎【解析】因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.‎ 所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.‎ 答案:3‎ 考点三　函数单调性的应用 ‎ 命 题 精 解 读 考什么:(1)考查比较大小问题、与抽象函数有关的不等式和已知单调性求参数解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.‎ 怎么考:与基本初等函数、单调性、最值交汇考查函数的单调性、图象等知识.‎ 新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.比较大小问题的解题思路 ‎(1)利用函数的单调性判断两个值的大小.‎ ‎(2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用1,0,-1等.‎ ‎2.与抽象函数有关的不等式问题的解题策略 判断函数的单调性,并利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式,然后求解即可.‎ ‎3.已知函数单调性求参数值的解题策略 依据函数的图象或单调性得出含有所求参数的不等式或方程,解该不等式或方程即可. ‎ 比较大小问题 - 11 -‎ ‎【典例】(2020·徐州模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 (　　)‎ A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c ‎【解析】选D.因为f(x)的图象关于x=1对称,所以f=f,又由已知可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2)>f>f(e),即f(2)>f>f(e).‎ 如何比较函数值的大小?‎ 提示:应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.‎ 与抽象函数有关的不等式问题 ‎【典例】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有f=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0. ‎ ‎(1)求f(1)的值;‎ ‎(2)判断f(x)的单调性并证明;‎ ‎(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)-f<2.‎ ‎【解析】(1)f(1)=f=f(x)-f(x)=0.‎ ‎(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ - 11 -‎ 证明:设01,所以f>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.‎ ‎(3)因为f(6)=f=f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化为f(x2+5x)0,b为正数,则f(x)=的定义域D=∪[0,+∞),f(x)的值域A=[0,+∞),因为D≠A,所以a>0不符合条件.‎ - 11 -‎ ‎(3)若a<0,b为正数,则f(x)的定义域为D=,因为f(x)max=,所以f(x)的值域A=,则-=⇔‎ 解得a=-4.‎ 综上所述,a的值为0或-4.‎ ‎2.(2020·北京模拟)函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N*,‎ ‎①函数f(x)是增函数;‎ ‎②数列{an}是递增数列.‎ 写出一个满足①的函数f(x)的解析式________. ‎ 写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式________. ‎ ‎【解析】由题意可知:在x∈[1,+∞)这个区间上是增函数的函数有许多,可写为:f(x)=x2.‎ 第二个填空是找一个数列是递增数列,而对应的函数不是增函数,可写为:f(x)=.‎ 则这个函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以f(x)=在[1,+∞)上不是增函数,不满足①.而对应的数列为:an=在n∈N*上越来越大,属递增数列.‎ 答案:(答案不唯一)f(x)=x2　f(x)=‎ - 11 -‎ - 11 -‎