高二数学人教A版选修4-5教案：1-1-3三个正数的算术几何平均数x

高二数学人教A版选修4-5教案：1-1-3三个正数的算术几何平均数x

‎1.1.3 三个正数的算术几何平均数 一、教学目标 ‎1．探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程．‎ ‎2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．‎ ‎3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．‎ 四、教学难点 会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.‎ ‎【证明】　因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥‎ ‎3>0,1＋x2＋y≥3>0，‎ 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　三个正数的算术几何平均不等式 ‎1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3 3abc，当且仅当 时，等号成立．‎ ‎2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么 ，当且仅当 时，等号成立．‎ 即三个正数的算术平均 它们的几何平均．‎ 教材整理2　基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均 它们的几何平均，即 ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ 教材整理3　利用基本不等式求最值 若a，b，c均为正数，①如果a＋b＋c是定值S，那么 时，积abc有 值；②如果积abc是定值P，那么当a＝b＝c时，和 有最小值．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、证明简单的不等式 例1 设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)2≥27.‎ ‎【精彩点拨】　根据不等式的结构特点，运用a＋b＋c≥3，结合不等式的性质证明．‎ ‎【自主解答】　∵a>0，b>0，c>0，‎ ‎∴a＋b＋c≥3>0，‎ 从而(a＋b＋c)2≥9>0.‎ 又＋＋≥3>0，‎ ‎∴(a＋b＋c)2‎ ‎≥3·9＝27，‎ 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0，b>0.‎ ‎(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．‎ ‎2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．‎ ‎[再练一题]1．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)3≥81.‎ ‎【证明】　因为a，b，c为正数，‎ 所以有＋＋≥3＝＞0.‎ 又(a＋b＋c)3≥(3)3＝27abc＞0，‎ ‎∴(a＋b＋c)3≥81，‎ 当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 题型二、用平均不等式求解实际问题 例2如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？‎ ‎【精彩点拨】　根据题设条件建立r与θ的关系式，将它代入E＝k，得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．‎ ‎【自主解答】　∵r＝，‎ ‎∴E＝k·.‎ ‎∴E2＝·sin2θ·cos4θ ‎＝(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ‎≤3＝，‎ 当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，‎ 即tan2θ＝，tan θ＝时，等号成立．‎ ‎∴h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．‎ 因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮．‎ 规律总结：‎ ‎1．本题的关键是在获得了E＝k·后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值．‎ ‎2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．制造容积为立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？‎ ‎【解】　设圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面积为πr2平方米，侧面积为2πrh平方米．‎ 设用料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.‎ ‎∵桶的容积为，∴πr2h＝，∴rh＝.‎ ‎∴y＝30πr2＋π＝10π≥10π×3，‎ 当且仅当3r2＝时，‎ 即r＝时等号成立，此时h＝.‎ 故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米．‎ 当且仅当2x2＝1－x2，‎ 即x＝时等号成立．‎ ‎∴y≤，∴y的最大值为.‎ 题型三、利用平均不等式求最值 例3已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．‎ ‎【精彩点拨】　为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×，求出最值后再开方．‎ ‎【自主解答】　∵y＝x(1－x2)，‎ ‎∴y2＝x2(1－x2)2‎ ‎＝2x2(1－x2)(1－x2)·.‎ ‎∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，‎ ‎∴y2≤＝.‎ 规律总结：‎ ‎1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：‎ y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝·x(2－2x)·(1＋x)≤＝.‎ 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．‎ ‎2‎ ‎．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．‎ ‎[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋的最小值.‎ ‎【解】　a＋＝＋ ‎＝＋＋ ‎≥3·＝3，‎ 当且仅当＝＝，‎ 即a＝b＝2时取等号．‎ 所以当a＝b＝2时，‎ a＋有最小值为3.‎ ‎（四）归纳小结 平均不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)‎ A．3　　　B．2　　　C．12　　　D．12 ‎【解析】　∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z ‎≥3＝3＝12.‎ 当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，等号成立．‎ ‎【答案】　C ‎2．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D.3‎ ‎【解析】　∵a＋＝(a－b)＋b＋≥3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，∴a＋的最小值为3.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3．函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________，最小值为________．‎ ‎【解析】　∵y2＝16sin2 x·sin2x·cos2x ‎＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)‎ ‎≤83‎ ‎＝8×＝，‎ ‎∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，‎ 即tan x＝±时取等号．‎ ‎∴ymax＝，ymin＝－.‎ ‎【答案】　　－ 六、板书设计 ‎1.1.3 三个正数的算术几何平均数 教材整理1　三个正数的算术几何平均不等式 教材整理2　基本不等式的推广 教材整理3　利用基本不等式求最值 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数 八、教学反思