2016年高考数学（文科）真题分类汇编H单元　解析几何

2016年高考数学（文科）真题分类汇编H单元　解析几何

数 学 H单元　解析几何 ‎ H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎15．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．‎ ‎15．4　[解析] 联立消去x得 y2－3y＋6＝0，解之得或 不妨设A(－3，)，则过点A且与直线l垂直的直线方程为x＋y＋2＝0，令y＝0得xC＝－2.同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标xD＝2，∴|CD|＝4.‎ 所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.‎ ‎19．H1、H7、H8[2016·浙江卷] 如图16，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．‎ 图16‎ ‎19．解：(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.‎ ‎(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)．‎ 由消去x得y2－4sy－4＝0，‎ 故y1y2＝－4，所以B（，－）.‎ 又直线AB的斜率为，所以直线FN的斜率为－.‎ 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，‎ 所以N（，－）.‎ 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得 ＝，‎ 于是m＝，‎ 所以m＜0或m＞2.‎ 经检验，m＜0或m＞2满足题意．‎ 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ H2　两直线的位置关系与点到直线的距离 ‎5．H2，H5[2016·全国卷Ⅰ] 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．B　[解析] 不妨设直线l经过椭圆的焦点F(c，0)和顶点(0，b)，则直线l的方程为＋＝1，椭圆中心到直线l的距离为＝×2b.又a2＝b2＋c2，所以离心率e＝＝.‎ ‎15．H2，H3，H4[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎15．4π　[解析] x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，则圆心为C(0，a)．又|AB|＝2，C到直线y＝x＋2a的距离为，所以（）2＋（）2＝a2＋2，得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.‎ ‎12．H2、H3[2016·天津卷] 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为______________．‎ ‎12．(x－2)2＋y2＝9　[解析] 设圆心的坐标为(a，0)(a>0)，根据题意得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r＝＝3，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ ‎3．H2[2016·上海卷] 已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．‎ ‎3.　[解析] 由两平行线间距离公式得，l1与l2的距离d＝＝.‎ ‎12．E5、H2[2016·江苏卷] 已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．‎ ‎12.，13　[解析] 可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2为可行域中任一点(x，y)到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x2＋y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方，即2＝，最大值为OB2＝22＋32＝13.‎ H3　圆的方程 ‎15．H2，H3，H4[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎15．4π　[解析] x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，则圆心为C(0，a)．又|AB|＝2，C到直线y＝x＋2a的距离为，所以（）2＋（）2＝a2＋2，得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.‎ ‎10．H3[2016·浙江卷] 已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．‎ ‎10．(－2，－4)　5　[解析] 由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0⇒（x＋）2＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.‎ ‎12．H2、H3[2016·天津卷] 已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为______________．‎ ‎12．(x－2)2＋y2＝9　[解析] 设圆心的坐标为(a，0)(a>0)，根据题意得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r＝＝3，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ ‎18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图16，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ 图16‎ ‎18．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以00)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎7．B　[解析] 由垂径定理得（）2＋()2＝a2，解得a2＝4，∴圆M：x2＋(y－2)2＝4，∴圆M与圆N的圆心距d＝＝.∵2－1<<2＋1，∴两圆相交．‎ ‎5．H4[2016·北京卷] 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．2 ‎5．C　[解析] 根据点到直线的距离公式，得d＝＝.‎ ‎15．H2，H3，H4[2016·全国卷Ⅰ] 设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎15．4π　[解析] x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，则圆心为C(0，a)．又|AB|＝2，C到直线y＝x＋2a的距离为，所以（）2＋（）2＝a2＋2，得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.‎ ‎15．H1、H4[2016·全国卷Ⅲ] 已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．‎ ‎15．4　[解析] 联立消去x得 y2－3y＋6＝0，解之得或 不妨设A(－3，)，则过点A且与直线l垂直的直线方程为x＋y＋2＝0，令y＝0得xC＝－2.同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标xD＝2，∴|CD|＝4.‎ ‎13．H4[2016·天津卷] 如图14，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．‎ 图14‎ ‎13.　[解析] 记圆心为O，连接OD，AC，易得BO＝，△BOD∽△BDE，∴＝，∴BD2＝BO·BE＝3，∴BD＝DE＝.又△AEC∽△DEB，∴＝，即＝，∴EC＝.‎ ‎15．B14，H4[2016·四川卷] 在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：‎ ‎①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；‎ ‎②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；‎ ‎③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；‎ ‎④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．‎ 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．‎ ‎15．②③　[解析] ①设点A的坐标为(x，y)，则“伴随点”A′的坐标为 ‎，则点A′的“伴随点”的横坐标为＝－x，同理可得其纵坐标为－y，故点A′的“伴随点”的坐标为(－x，－y)，故①错误；‎ ‎②设单位圆上的点P的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P的“伴随点”P′的坐标为(sin θ，－cos θ)，所以点P′也在单位圆上，故②正确；‎ ‎③设点A的坐标为(x，y)，其关于x轴对称的点为A1(x，－y)，又点A的“伴随点”A′的坐标为，点A1的“伴随点”A1′的坐标为，所以A′与A′1两点关于y轴对称，故③正确；‎ ‎④反例：设A(0，1)，B(1，1)，C(2，1)，则这三个点的“伴随点”分别是A′(1，0)，B′，C′，此时A′，B′，C′三个点不在同一条直线上，故④错误．‎ ‎18．H3、H4[2016·江苏卷] 如图16，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．‎ 图16‎ ‎18．解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．‎ 因为圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以0b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．A　[解析] 设M(－c，y0)，则AM所在直线方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得E（0，）.BM所在直线方程为y＝(x－a)，令x＝0，得y＝.由题意得＝×，解得a＝3c，即e＝＝.‎ ‎10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图12，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ 图12‎ ‎10.　[解析] 方法一：由可得B(－a，)，C（a，）.‎ 又由F(c，0)，得＝(－a－c，)，＝(a－c，).又∠BFC＝90°，‎ 所以·＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.‎ 方法二：同方法一可得B(－a，)，C(a，)，所以BC＝a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e·a，CF＝a－exC＝a－e·a，‎ 又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即(a＋e·a)2＋(a－e·a)2＝(a)2，‎ 式子两边同除以a2可得e2＝，即e＝.‎ ‎19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C：＋＝1过A(2，0)，B(0，1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎19．解：(1)由题意得，a＝2，b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 又c＝＝，‎ 所以离心率e＝＝.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.‎ 又A(2，0)，B(0，1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．‎ 令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1，‎ 令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.‎ 所以四边形ABNM的面积 S＝|AN|·|BM|‎ ‎＝(2＋)(1＋)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝2，‎ 从而四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎21．H5、H8、H10[2016·山东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.‎ 图16‎ ‎(i)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎21．解：(1)设椭圆的半焦距为c，‎ 由题意知2a＝4，2c＝2，‎ 所以a＝2，c＝，b＝＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)(i)设 P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．‎ 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，‎ 所以直线PM的斜率k＝＝，‎ 直线QM的斜率k′＝＝－.‎ 此时＝－3，所以为定值－3.‎ ‎(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线PA的方程为y＝kx＋m，‎ 直线QB的方程为y＝－3kx＋m.‎ 联立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，‎ 由x0x1＝，可得x1＝，‎ 所以y1＝kx1＋m＝＋m.‎ 同理x2＝，y2＝＋m.‎ 所以x2－x1＝－＝，‎ y2－y1＝＋m－－m＝.‎ 所以kAB＝＝＝（6k＋）.‎ 由m>0，x0>0，可知k>0，‎ 所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．‎ 此时＝，即m＝，符合题意，‎ 所以直线AB的斜率的最小值为.‎ ‎19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A，已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎19．解：(1)设F(c，0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.‎ 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，‎ 由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，‎ 解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.‎ 由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝(，).由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝，因此直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－或k＝，‎ 所以直线l的斜率为－或.‎ ‎20．H5[2016·四川卷] 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.‎ ‎20．解：(1)由已知得，a＝2b.‎ 又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P（，），故＋＝1，解得b2＝1，‎ 所以椭圆E的方程是＋y2＝1，‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①‎ 方程①的判别式Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎4．A　[解析] 根据题意，得＝，2c＝2，又a2＋b2＝c2，所以a＝2，b＝1，所以所求双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎13．H6[2016·浙江卷] 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．‎ ‎13．(2，8)　[解析] 由已知得a＝1，b＝，c＝2.当∠F1F2P＝时，|PF2|＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝5，则|PF1|＋|PF2|＝8；当∠F1PF2＝时，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则而(m－n)2＝4＝m2＋n2－2mn＝16－2mn，所以mn＝6，则(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝28，则m＋n＝2.又△F1PF2为锐角三角形，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是(2，8)．‎ ‎12．H6[2016·北京卷] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．‎ ‎12．1　2　[解析] 根据题意得＝2，c＝，即＝，所以a＝1，b＝2.‎ ‎3．H6[2016·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．‎ ‎3．2　[解析] 由题目所给方程可得a2＝7，b2＝3，故c2＝10，所以焦距为2.‎ ‎14．H6[2016·山东卷] 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎14．2　[解析] 将x＝－c代入－＝1，得y＝±，∴|AB|＝.又∵2|AB|＝3|BC|，∴2×＝3×2c，整理得2c2－2a2－3ac＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍)．‎ ‎21．H6，H8[2016·上海卷] 双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎(2)设b＝，若l的斜率存在，且|AB|＝4，求l的斜率．‎ ‎21．解：(1)设A(xA，yA)．‎ 由题意得，F2(c，0)，c＝，y＝b2(c2－1)＝b4.‎ 因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝|yA|，‎ 即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎(2)由已知得，F2(2，0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)．‎ 由得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.‎ 因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.‎ 由x1＋x2＝，x1x2＝，得(x1－x2)2＝，‎ 故|AB|＝＝|x1－x2|＝＝4，解得k2＝，‎ 故l的斜率为±.‎ ‎19．D2，D4，H6[2016·四川卷] 已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.‎ ‎(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.‎ ‎19．解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．‎ 所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，‎ 从而an＝qn－1.‎ 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，‎ 所以an＝2n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)可知，an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.‎ 由e2＝＝2，解得q＝，‎ 所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．‎ H7　抛物线及其几何性质 ‎5．H7[2016·全国卷Ⅱ] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ ‎5．D　[解析] 易知F(1，0)，因为曲线y＝(k>0)与抛物线C交于点P，且PF⊥x轴，所以＝2，所以k＝2.‎ ‎3．H7[2016·四川卷] 抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)‎ A．(0，2) B．(0，1)‎ C．(2，0) D．(1，0)‎ ‎3．D　[解析] 由已知得2p＝4，故p＝2，故该抛物线的焦点坐标为(1，0)．‎ ‎20．H7，H8[2016·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎20．解：(1)由已知得M(0，t)，P(，t).‎ 又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，则直线ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H(，2t)，‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)，‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．‎ ‎20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎20．解：由题可知F（，0）.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A（，a），B（，b），P（－，a），Q（－，b），R（－，）.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)证明：由于F在线段AB上，所以1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2，‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.‎ 由题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ 所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.‎ ‎19．H1、H7、H8[2016·浙江卷] 如图16，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．‎ 图16‎ ‎19．解：(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.‎ ‎(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)．‎ 由消去x得y2－4sy－4＝0，‎ 故y1y2＝－4，所以B（，－）.‎ 又直线AB的斜率为，所以直线FN的斜率为－.‎ 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，‎ 所以N（，－）.‎ 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得 ＝，‎ 于是m＝，‎ 所以m＜0或m＞2.‎ 经检验，m＜0或m＞2满足题意．‎ 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎20．H7[2016·上海卷] 有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1，0)，如图14.‎ ‎(1)求菜地内的分界线C的方程．‎ ‎(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”．‎ 图14‎ ‎20．解：(1)因为C上的点到直线EH与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分，其方程为y2＝4x(00)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ 图18‎ ‎22．解：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，0，‎ 由点，0在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1，2＝－p±，从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.‎ 因此，p的取值范围为(0，).‎ H8　直线与圆锥曲线（AB课时作业）‎ ‎10．H5，H8[2016·江苏卷] 如图12，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ 图12‎ ‎10.　[解析] 方法一：由可得B(－a，)，C（a，）.‎ 又由F(c，0)，得＝(－a－c，)，＝(a－c，).又∠BFC＝90°，‎ 所以·＝0，化简可得2a2＝3c2，即e2＝＝，故e＝.‎ 方法二：同方法一可得B(－a，)，C(a，)，所以BC＝a，由椭圆的焦半径公式得BF＝a－exB＝a＋e·a，CF＝a－exC＝a－e·a，‎ 又∠BFC＝90°，所以BF2＋CF2＝BC2，即(a＋e·a)2＋(a－e·a)2＝(a)2，‎ 式子两边同除以a2可得e2＝，即e＝.‎ ‎20．H7，H8[2016·全国卷Ⅰ] 在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎20．解：(1)由已知得M(0，t)，P(，t).‎ 又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，则直线ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝.因此H(，2t)，‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)，‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．‎ ‎21．H8[2016·全国卷Ⅱ] 已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；‎ ‎(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：0.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.‎ 又A(－2，0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.‎ 将x＝y－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0.‎ 解得y＝0或y＝，所以y1＝.‎ 因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.‎ ‎(2)证明：将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)代入＋＝1，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.‎ 由x1·(－2)＝，得x1＝，‎ 故|AM|＝|x1＋2|＝.‎ 由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)．‎ 故同理可得|AN|＝.‎ 由2|AM|＝|AN|得＝，即4k3－6k2＋3k－8＝0.‎ 设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增．又f()＝15－26<0，f(2)＝6>0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．‎ 图16‎ ‎19．解：(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.‎ ‎(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)．‎ 由消去x得y2－4sy－4＝0，‎ 故y1y2＝－4，所以B（，－）.‎ 又直线AB的斜率为，所以直线FN的斜率为－.‎ 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，‎ 所以N（，－）.‎ 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得 ＝，‎ 于是m＝，‎ 所以m＜0或m＞2.‎ 经检验，m＜0或m＞2满足题意．‎ 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎19．H5，H8[2016·北京卷] 已知椭圆C：＋＝1过A(2，0)，B(0，1)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎19．解：(1)由题意得，a＝2，b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 又c＝＝，‎ 所以离心率e＝＝.‎ ‎(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.‎ 又A(2，0)，B(0，1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．‎ 令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.‎ 直线PB的方程为y＝x＋1，‎ 令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.‎ 所以四边形ABNM的面积 S＝|AN|·|BM|‎ ‎＝(2＋)(1＋)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝2，‎ 从而四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎21．H5、H8、H10[2016·山东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.‎ 图16‎ ‎(i)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎21．解：(1)设椭圆的半焦距为c，‎ 由题意知2a＝4，2c＝2，‎ 所以a＝2，c＝，b＝＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)(i)设 P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．‎ 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，‎ 所以直线PM的斜率k＝＝，‎ 直线QM的斜率k′＝＝－.‎ 此时＝－3，所以为定值－3.‎ ‎(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线PA的方程为y＝kx＋m，‎ 直线QB的方程为y＝－3kx＋m.‎ 联立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，‎ 由x0x1＝，可得x1＝，‎ 所以y1＝kx1＋m＝＋m.‎ 同理x2＝，y2＝＋m.‎ 所以x2－x1＝－＝，‎ y2－y1＝＋m－－m＝.‎ 所以kAB＝＝＝（6k＋）.‎ 由m>0，x0>0，可知k>0，‎ 所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．‎ 此时＝，即m＝，符合题意，‎ 所以直线AB的斜率的最小值为.‎ ‎21．H6，H8[2016·上海卷] 双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎(1)若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎(2)设b＝，若l的斜率存在，且|AB|＝4，求l的斜率．‎ ‎21．解：(1)设A(xA，yA)．‎ 由题意得，F2(c，0)，c＝，y＝b2(c2－1)＝b4.‎ 因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝|yA|，‎ 即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.‎ 故双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎(2)由已知得，F2(2，0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)．‎ 由得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.‎ 因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.‎ 由x1＋x2＝，x1x2＝，得(x1－x2)2＝，‎ 故|AB|＝＝|x1－x2|＝＝4，解得k2＝，‎ 故l的斜率为±.‎ ‎22．H7、H8[2016·江苏卷] 如图18，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ 图18‎ ‎22．解：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，0，‎ 由点，0在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)，‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1，2＝－p±，从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.‎ 因此，p的取值范围为(0，).‎ ‎19．H5、H8[2016·天津卷] 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A，已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎19．解：(1)设F(c，0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2.‎ 又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，‎ 由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，‎ 解得x＝2或x＝.由题意得xB＝，从而yB＝.‎ 由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝(，).由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝，因此直线MH的方程为y＝－x＋.‎ 设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－或k＝，‎ 所以直线l的斜率为－或.‎ H9　曲线与方程 ‎20．H7、H9[2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎20．解：由题可知F（，0）.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A（，a），B（，b），P（－，a），Q（－，b），R（－，）.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)证明：由于F在线段AB上，所以1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2，‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，‎ 则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.‎ 由题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ ‎ H10 单元综合 ‎21．H5、H8、H10[2016·山东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.‎ 图16‎ ‎(i)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值．‎ ‎21．解：(1)设椭圆的半焦距为c，‎ 由题意知2a＝4，2c＝2，‎ 所以a＝2，c＝，b＝＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)(i)设 P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．‎ 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，‎ 所以直线PM的斜率k＝＝，‎ 直线QM的斜率k′＝＝－.‎ 此时＝－3，所以为定值－3.‎ ‎(ii)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线PA的方程为y＝kx＋m，‎ 直线QB的方程为y＝－3kx＋m.‎ 联立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，‎ 由x0x1＝，可得x1＝，‎ 所以y1＝kx1＋m＝＋m.‎ 同理x2＝，y2＝＋m.‎ 所以x2－x1＝－＝，‎ y2－y1＝＋m－－m＝.‎ 所以kAB＝＝＝（6k＋）.‎ 由m>0，x0>0，可知k>0，‎ 所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．‎ 此时＝，即m＝，符合题意，‎ 所以直线AB的斜率的最小值为.‎ ‎3．[2016·山西八校联考]若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　 )‎ A. B．5 ‎ C．2 D．10‎ ‎3．B　[解析] 把圆的方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心M的坐标为(－2，－1)，半径r＝2.∵直线l始终平分圆M的周长，∴直线l过圆心M，把M(－2，－1)代入直线l：ax＋by＋1＝0得－2a－b＋1＝0，即2a＋b－1＝0.∵(2，2)到直线2a＋b－1＝0的距离d＝＝，∴(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.‎ ‎9．[2016·河北衡水联考]已知椭圆＋＝1(a>b>0)短轴的两个端点为A，B，点C为椭圆上异于A，B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为－，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9．A　[解析] 设C(x0，y0)，则＋＝1，故x＝a2＝，所以kAC·kBC＝·＝＝－＝－，故a2＝4b2，c2＝a2－b2＝3b2，因此e＝＝＝.‎ ‎5．2016·武汉调研已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M (x0，4) 到焦点F 的距离|MF |＝x0，则直线 MF 的斜率kMF＝(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎5．B　[解析] 由抛物线定义得x0＋＝x0，可得x0＝2p，所以16＝2p·2p，得p＝2，所以M(4，4)，F(1，0)，则直线 MF 的斜率kMF＝.‎