甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

甘肃省张掖市高台一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

高台一中2019-2020学年下学期期中模拟试卷 高一数学 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、 单项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若，则（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．下列函数中最小正周期为π的函数是（　　）‎ A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝tan2x D．y＝|sinx|‎ ‎2．圆x2+y2＝4被直线y＝x+2截得的劣弧所对的圆心角的大小为（　　）‎ A．30° B．45° C．90° D．120°‎ ‎3．已知α终边与单位圆的交点，且sinα•tanα＜0，则的值等于（　　）‎ A． B． C．3 D．﹣3‎ ‎4．已知cos（﹣70°）＝k，那么tan110°＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，若，则λ等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，2π]恰有两个根α，β，则sin（α+β）+cos（α+β）＝（　　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．1或﹣1 D．‎‎2a ‎7．已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，λ∈（0，+∞），则△ABC一定是（　　）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 ‎8．已知α+β+γ＝π，β为锐角，tanα＝3tanβ，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为‎50米，最高点距离地面‎110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为（　　）‎ A．‎75米 B．‎85米 C．米 D．米 ‎10．已知函数f（x）＝cosx（x∈[0，π]）的图象与函数g的图象交于M，N两点，则△OMN的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数，则下列说法正确的是（　　）‎ A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的最大值为 ‎ C．f（x）在上单调递增 D．f（x）的图象关于直线x对称 ‎12．已知函数为f（x）的一个零点，x为f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（　　）‎ A． B．f（x）的最小正周期为 ‎ C．ω＝5 D．f（x）在（0，）上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13．化简：　 　．‎ ‎14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的最小正周期为π，其图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，则：f（x）＝　 　；当x∈[，]时，f（x）的值域为　 　．‎ ‎15．若，x∈[0，2π），则x的取值范围是　 　；若，则x的取值范围是　 　．‎ ‎16．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为　 　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知平面向量，满足．‎ ‎（1），求与的夹角；‎ ‎（2）若对一切实数x，不等式恒成立，求与的夹角θ．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，已知函数y＝2sin（πx+φ）（x∈R，其中）的图象与y轴交于点（0，1）．‎ ‎（1）求φ的值；‎ ‎（2）求函数y＝2sin（πx+φ）的单调递增区间；‎ ‎（3）求使y≥1的x的集合．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在①函数为奇函数 ‎②当时，‎ ‎③是函数f（x）的一个零点 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．‎ 已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴间的距离为π，　 　．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向左平移个单位长度．‎ ‎（1）写出函数f（x）的解析式和其图象的对称中心坐标；‎ ‎（2）已知关于x的方程f（x）＝m在[0，π]上有两个不同的解α，β，求实数m的取值范围和cos（α+β）的值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知向量．‎ ‎（I）求函数f（x）的单调增区间．‎ ‎（2）若方程上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎（3）设，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值．‎ 高一数学·参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D C B B A B A B B B D ‎13．Tanα 14．sin（2x）；[，1]‎ ‎15．；，k∈Z 16．（﹣3，9）‎ ‎17．【解析】（1）∵tanα是关于x的方程2x2﹣x﹣1＝0的一个实根，且α是第三象限角，‎ ‎∴tanα＝1，或tanα（舍去），∴．‎ ‎（2）3sin2α﹣sinαcosα+2cos2α2．‎ ‎18．【解析】（1）∵，平方可得，设与的夹角为θ，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）不等式 两边平方可得：x2+2x•cosθ﹣1﹣2cosθ≥0，‎ ‎∴△≤0，即4cos2θ+4（1+2cosθ）≤0，‎ 故（cosθ+1）2≤0，‎ 只能cosθ＝﹣1，而0≤θ≤π，所以θ＝π．‎ ‎19．【解析】（1）因为函数图象过点（0，1），所以2sin φ＝1，即sin φ．因为0≤φ，‎ 所以φ．‎ ‎（2）∵由（1）得y＝2sin（πx），∴2kπ≤πx2kπ，（k∈Z）单调递增，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递增，‎ 故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递增．‎ ‎∵2kπ≤πx2kπ，（k∈z）单调递减，即2k≤x2k，（k∈Z）单调递减 故y＝2sin（πx）在[2k，2k]单调递减；‎ ‎（3）由y≥1，可得2sin（πx）≥1，所以2kπ≤πx2kπ，（k∈Z），解得2k≤x≤2k（k∈Z）．‎ 故当y≥1的解集为[2k，2k]（k∈Z）．‎ ‎20．【解析】∵函数f（x）的图象相邻对称轴间的距离为π，‎ ‎∴，‎ ‎∴ω＝1，‎ ‎∴f（x）＝2sin（x+φ）．‎ 方案一：选条件①∵为奇函数，‎ ‎∴，k∈Z，‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由，k∈Z，‎ 得，k∈Z，‎ ‎∴令k＝0，得，‎ 令k＝1，得，‎ ‎∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，‎ 方案二：选条件②，‎ ‎∴，‎ ‎∴φ＝2kπ，k∈Z，或，k∈Z，‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由，k∈Z，‎ 得，k∈Z，‎ ‎∴令k＝0，得，‎ 令k＝1，得，‎ ‎∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，，‎ 方案三：选条件③∵是函数f（x）的一个零点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，k∈Z，‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（2）由，k∈Z，‎ 得，k∈Z，‎ ‎∴令k＝0，得，‎ 令k＝1，得．‎ ‎∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递增区间为，．‎ 故答案为：．‎ ‎21．【解析】（1）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），‎ 可得y＝cos（2x）的图象；‎ 再将所得到的图象向左平移个单位长度，得到f（x）＝cos（2x）的图象．‎ 令2xkπ，求得x，k∈Z，可得函数f（x）的图象的对称中心为 （ ，0），k∈Z．‎ ‎（2）在[0，π]上，2x∈[，]，cos（2x）∈[﹣1，]，‎ 关于x的方程f（x）＝m在[0，π]上有两个不同的解α，β，‎ ‎∴﹣1＜m，且2α（2β）＝2×π，∴α+β，‎ 故 cos（α+β）＝coscos．‎ ‎22．【解析】（1）向量．‎ 即有f（x）2•1+cos2xsinxcosx﹣1sin2xcos2x＝sin（2x），‎ 由2kπ2x2kπ，解得kπx≤kπ，‎ 则f（x）的增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；‎ ‎（2）令t＝f（x），由x∈（0，），可得2x∈（，），t∈（，1]，‎ 方程上有解，‎ 即为3t2﹣t+m＝0在t∈（，1]有解，‎ 即为﹣m＝3t2﹣t，由h（t）＝3t2﹣t＝3（t）2，可得h（t）∈[，2]，‎ 可得m的范围是[﹣2，]；‎ ‎（3）g（x）＝sin（2x），‎ 由g（x）＝0，可得2x2kπ或2kπ，k∈Z，‎ 即为x＝kπ或x＝kπ，k∈Z，‎ 即g（x）的零点相离间隔依次为和，‎ y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，‎ 若b﹣a最小，则a和b都是零点，‎ 此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，nπ+a]（n∈N*）‎ 分别恰有3，5，…，2n+1个零点，‎ 所以在区间[a，49π+a]是恰有99个零点，从而在区间（49π+a，b]至少有一个零点，‎ ‎∴b﹣a﹣49π，即b﹣a，‎ 则b﹣a的最小值为．‎