2020高中数学 第一章解三角形的实际应用举例

2020高中数学 第一章解三角形的实际应用举例

第1课时　解三角形的实际应用举例 学习目标：1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点).2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)．‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．基线的概念与选择原则 ‎ ‎(1)定义 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．‎ ‎(2)性质 在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．‎ 思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？‎ 提示：利用正弦定理和余弦定理．‎ ‎2．测量中的有关角的概念 ‎(1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图121所示)．‎ 图121‎ ‎(2)方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图122所示)‎ 图122‎ 思考：李尧出校向南前进了‎200米，再向东走了‎200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？‎ 提示：东南方向．‎ ‎[基础自测]‎ - 8 -‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　)‎ ‎(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(　　)‎ ‎(3)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　)‎ ‎(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　‎ 提示：已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．‎ ‎2．如图123，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　) ‎ ‎【导学号：91432044】‎ 图123‎ A．α，a，b　　　　　　 B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b C　[选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]‎ ‎3．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)‎ A．α＋β B．α－β ‎ C．β－α D．α C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]‎ ‎4．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了‎3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为(　　) ‎ ‎【导学号：91432045】‎ A. B．2 C．2或 D．3‎ C　[如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°，‎ 即x2－3x＋6＝0，解之得x＝2或.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 测量距离问题 ‎　海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C - 8 -‎ 岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) ‎ ‎【导学号：91432046】‎ A．10 海里　　　　　 B.海里 C．5海里 D．5海里 D　[根据题意，可得右图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]‎ ‎[规律方法]　三角形中与距离有关的问题的求解策略：‎ ((1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.‎ ((2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．如图124所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝‎120 m，则河的宽度为________ m.‎ 图124 ‎ ‎60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin 30°＝60(m)．]‎ 测量高度问题 ‎　(1)如图125，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝‎100米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)‎ 图125‎ A．‎100米　　　　 B．‎50‎米 C．‎50‎米 D．50(＋1)米 ‎(2)在一幢‎20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　) ‎ - 8 -‎ ‎【导学号：91432047】‎ A．‎20 m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．‎ ‎(2)解决本题关键是画出示意图．‎ ‎(1)D　(2)B　[(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50(＋1)．‎ ‎(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝‎20 m，BC＝AD＝‎20 m.‎ 在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝‎20 m，∴EC＝CD·tan 60°＝‎20 m，∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B.]‎ ‎[规律方法]　解决测量高度问题的一般步骤：‎ ‎(1)画图：根据已知条件画出示意图.‎ ‎(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.‎ ‎(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用. ‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图126所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝‎4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．‎ 图126‎ ‎[解] 由AB＝，BD＝，‎ AD＝及AB＋BD＝AD，‎ 得＋＝，‎ 解得H＝＝＝124.‎ 因此电视塔的高度H是‎124 m.‎ 与立体几何有关的测量问题 - 8 -‎ ‎[探究问题]‎ ‎1．已知A，B是海平面上的两个点，相距‎800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．‎ 提示：用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．‎ ‎2．在探究1中若要求山高CD怎样求解？‎ 提示：由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.‎ 如图127，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝‎200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB. ‎ ‎【导学号：91432048】‎ 图127‎ 思路探究：利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．‎ ‎[解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.‎ 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，‎ 即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，‎ 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，‎ 即塔高AB＝‎200米．‎ 母题探究：(变条件)若将例题中的条件“CD＝‎200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°”改为“CD＝‎800米，在D点测得塔顶A的仰角为45°，∠CDB＝120°，又在C点测得∠DCB＝45°.”求塔高AB.‎ ‎[解]　在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，‎ - 8 -‎ CD＝‎800 m，∠BCD＝45°，‎ 由正弦定理，＝，‎ BD＝＝ ‎＝800(＋1)m，‎ 又∠ADB＝45°，AB＝BD.‎ ‎∴AB＝800(＋1)m.‎ 即山的高度为800(＋1) m.‎ ‎[规律方法]　测量高度问题的两个关注点 ‎(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.‎ ‎(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测‎20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　) ‎ ‎【导学号：91432049】‎ A．d1>d2　　　　　　　 B．d1‎20 m D．d2<‎‎20 m B　[如图，设旗杆高为h，‎ 则d1＝，d2＝.‎ 因为tan 50°>tan 40°，所以d1

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