专题07 排列组合、二项式定理（讲）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测

专题07 排列组合、二项式定理（讲）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测

考向一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎1.讲高考 ‎【考纲要求】‎ ‎①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.‎ ‎②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ ‎【命题规律】 ‎ 高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.最近几个年份考查多少不一，预测2017年高考对排列组合会更加注重分类、分步计数原理的考查,并且注重与概率的联系,以加强对本讲知识的理解深度.‎ 例1【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ‎（A）24 　（B）48 　（C）60 　（D）72‎ ‎【答案】D 例2【2014四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】B ‎【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选B.‎ ‎2.讲基础 ‎（1）分类加法计数原理．‎ 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同的方法．‎ ‎（2）分步乘法计数原理．‎ 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法．‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【【百强校】2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集，2本相同的小说全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）‎ A．24种 B．28种 ‎ C．32种 D．36种 ‎【答案】B ‎【趁热打铁】某次会展共展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该会展展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答)‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】2件书法作品看作一个整体，方法数是A＝2，把这个整体与标志性建筑作品排列，有A种排列方法，其中隔开了三个空位，在其中插入2件绘画作品，有方法数A＝6.根据乘法原理，共有方法数2×2×6＝24.‎ ‎【例2】【【百强校】2017届河南新乡市高三上学期第一次调研】由1，2，3三个数字组成的五位数中，相邻的数字不相同的五位数共有_________个．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先分类，只有个数字组成的位数，一共有种；由个数字组成的位数，其中是固定的，最后两个数可能是六种情况，其中的，先排三个相同的数字，在拍剩下两个数字，所以方法数有种，对于三种，由于有两个数字相同，各有种排法，共有种排法.综上所述，方法数一共有种.‎ ‎【趁热打铁】一袋中有除颜色外其他均相同的6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?‎ ‎【答案】72‎ ‎4.讲方法 两个基本原理是解决计数问题的根据，在计数问题中一般是先根据不同情况进行分类，然后对于每一类的计数问题再分步完成，根据分步乘法计数原理求出每类的数目，最后使用分类加法计数原理得到结果．‎ ‎“分类”与“分步”的区别:关键是看事件的完成情况,如果每种方法都能将事件完成是分类;如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步,分类要用分类加法计数原理将种数相加;分步要用分步乘法计数原理将种数相乘. ‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)‎ A．60种 B．63种C．65种 D．66种 ‎【错解】要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有两类：‎ ‎①2个偶数，2个奇数：CC＝60种；‎ ‎②4个都是奇数：C＝5种．‎ ‎∴不同的取法共有65种．故选C ‎【错因】分类不全而致误 ‎【正解】要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：‎ ‎①4个都是偶数：1种；‎ ‎②2个偶数，2个奇数：CC＝60种；‎ ‎③4个都是奇数：C＝5种．‎ ‎∴不同的取法共有66种．故选D ‎【反思提升】‎ ‎(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．在制定分类标准时要准确一致，切忌遗漏与重复．‎ ‎(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的．‎ ‎（3）两个原理的应用类型主要有：‎ ‎①涂色问题．‎ ‎②几何问题．‎ ‎③集合问题．‎ 考向二 排列与组合 ‎1.讲高考 ‎【考纲要求】‎ ‎①理解排列、组合的概念． ‎ ‎②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．‎ ‎③能解决简单的实际问题．‎ ‎【命题规律】‎ 高考中对本讲注重基础知识和基本解题方法、规律的考查,以及运算能力的考查,基本都为中等难度试题.预测2017年高考对排列组合会更加注重分类、分步计数原理的考查,并且注重与概率的联系,以加强对本讲知识的理解深度;计数原理是理科高考中常考小题，属于独立知识点与其它知识没多大的联系，掌握好两个基本原理是高考成功的关键．‎ 例1【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）‎ ‎（A）24 （B）18 （C）12 （D）9‎ ‎【答案】B 例2【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）‎ ‎（A）144个 （B）120个 （C）96个 （D）72个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.‎ ‎2.讲基础 ‎（1）排列：‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，___________________‎ ‎_____，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．‎ 排列数：‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________‎ ‎___，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作____.‎ 排列数公式：‎ A＝ ＝_________(m，n∈N*且m≤n)‎ 排列数公式的性质：‎ ‎①A＝ ；‎ ‎②0！＝ .‎ ‎（2）组合：‎ 从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个 ．‎ 组合数：‎ 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的 ，记作___.（1）排列数公式：‎ 组合数公式：‎ C＝＝____________________‎ ‎＝_____________.‎ 组合数公式的性质：‎ ‎①C＝ .‎ ‎②C＝ .‎ ‎③C＋C＝C.‎ ‎【答案】（1）按照一定的顺序排成一列 所有不同排列的个数 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 1;‎ ‎（2）组合 组合数 1 .‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【【百强校】2017届福建闽侯县二中高三上期中】把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ）‎ A．2680种 B．4320种 ‎ C．4920种 D．5140种 ‎【答案】B 的摆放方法为种．故选B.‎ ‎【趁热打铁】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）‎ 【答案】．‎ ‎【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从人中任选两人的排列数，所以全班共写了条毕业留言，故应填入．‎ ‎【例2】【【百强校】2017届辽宁抚顺重点高中协作校高三上一模】在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）‎ A．1200 B．2400 C．3000 D．3600‎ ‎【答案】B ‎【趁热打铁】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】由已知可得不同的选法共有，故选C．‎ ‎4.讲方法 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径：‎ ‎(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即元素分析法.‎ ‎(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即位置分析法.‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接解法.‎ ‎（4）另外在考虑问题的解决时有分类法与分步法、插空法和捆绑法等.‎ ‎（5）组合中的“含”的问题，先将这些元素取出，再由其它元素补足；“不含”则先将这些元素剔除，再从余下的元素中选取.‎ ‎（6）经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中,则恰有1个空盒的放法共有　　　　　种.(用数字作答) ‎ ‎【错解】288 ‎ ‎【错因】未分清不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.。‎ ‎【正解】把4个球分成3组,每组至少1个,即分的小球个数分别为2,1,1的3组,有种.最后将三组球放入4个盒中的3个,有分配方法数种,因此,放法共有×=144(种).‎ ‎【反思提升】(1)本题涉及“分组问题”,这是组合中一种重要的题型,它有三种情况:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.以“将6本不同的书分成3组”为例,一是分为1,2,3,是不均匀分组,分法有种;二是分为2,2,2,是均匀分组,分法有种;三是分为4,1,1,是部分均匀分组,分法有种.‎ ‎(2)计算A时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．‎ ‎(3)易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．‎ ‎(4) 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．‎ 考向三 二项式定理 ‎1.讲高考 ‎【考纲要求】‎ ‎（1）能用计数原理证明二项式定理.‎ ‎（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．‎ ‎【命题规律】‎ ‎（1）在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎①几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题．‎ ‎②几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题．‎ ‎③三项展开式中的特定项(系数)问题．‎ ‎（2）二项式定理在高考中常考小题，属于独立知识点，偶有与其它知识相互联系的题目，掌握好这个定理是高考成功的关键．‎ 例1【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为 ‎（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.‎ 例2【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎2.讲基础 ‎(1)二项式定理．‎ ‎①定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*，k＝0，1，…，n)．‎ ‎②通项与二项式系数．‎ 二项展开式的通项为Tk＋1＝Can－kbk，其中C (k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数．‎ ‎(2)二项式系数的性质．‎ ‎①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C．‎ ‎②最大值．‎ 当n为偶数时，中间的一项，即第＋1项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项，即第、项的二项式系数、相等，且同时取得最大值．‎ ‎③各二项式系数的和．‎ ‎1οC＋C＋C＋…＋C＝；‎ ‎2οC＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝。‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【四川成都七中高2016届数学（理科）10月阶段考试（一）】二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x 2的系数为15，则n=( )‎ A． 5 B． 6 C． 8 D． 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，选B.‎ ‎【趁热打铁】将二项式的展开式按的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的指数是整数的项共有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 ‎ ‎【答案】A ‎【例2】【【百强校】2017届福建福州外国语学校高三适应性考试四】若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【趁热打铁】【长春外国语学校2016届上学期高三第一次质量检测13】二项式的展开式中常数项为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为二项式的展开式的通项为：，令，即，所以其展开式中的常数项为：，故应填.‎ ‎4.讲方法 运用二项式定理时，要牢记通项Tr+1=an-rbr,其中n∈N*,r∈N,r≤n.注意与(b+a)n的展开式虽然相同,但其展开式中的某一项是不相同的,所以一定要注意顺序问题.‎ 求展开式中系数和问题,往往要根据展开式的特点赋值.‎ 求两个二项式相乘时求其中某项的系数，需要根据多项式乘法法则进行，此时要注意不要漏掉了其中的项，要把各种可能的情况都考虑进去；‎ 二项式定理解决整除性问题时，需要构造二项式，基本原则是根据除数对已知式进行变换．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】已知的展开式中前三项的系数成等差数列,则n的取值所构成的集合为　　　　　.‎ ‎【错解】由已知条件可得2,‎ 化简可得n2-5n+2=0,‎ 此方程无整数解,故没有满足条件的n值.‎ ‎ 答案:⌀‎ ‎【错因】没有弄清二项式系数和二项式项的系数的区别.可能一是审题不清,二是概念不清。‎ ‎【正解】由题设,得=2×,‎ 即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).‎ 答案为{8}.‎ ‎【反思提升】‎ ‎(1)二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项．‎ ‎(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．‎ ‎(3)通项是Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．‎ ‎（4）(a＋b)n的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指C，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.‎