宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

宁夏回族自治区银川市兴庆区宁一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

银川一中2019/2020学年度(上)高二期中考试数学(理科)试卷 ‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.对于命题，使得，则是 A. ， B. ，‎ C. ， D. , ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由特称命题的否定为全称命题，得 命题，使得，则，‎ 故选C.‎ ‎2.为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 ( )‎ A. 都相等，且为 B. 不全相等 C. 都相等，且为 D. 都不相等 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 系统抽样方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，结合概率的定义，即可判断每个个体被抽取的概率．‎ ‎【详解】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，‎ 所以每个个体被抽到包括两个过程；一是被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，‎ 所以每人入选的概率 故选C ‎【点睛】本题考查系统抽样的方法，解题的关键是理解系统抽样是一个等可能抽样，即每个个体被抽到的概率相等，由此算出每人被抽取的概率．‎ ‎3.“”是“方程表示椭圆”的 A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且，‎ 所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.‎ ‎4.某同学10次数学检测成绩统计如下：设这组数的平均数为，中位数为，众数为，则有(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将数据从小到达的顺序排列，求出平均数、中位数、众数，即可比较出大小．‎ ‎【详解】将数据从小到达的顺序排列 平均数： ‎ 中位数： ‎ 众数： ‎ 所以 ‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查平均数、中位数、众数的求法，属于基础题，要解答本题首先要弄清平均数、中位数、众数的定义，然后根据定义和公式求解，‎ ‎（1）平均数是样本数据的算数平均数 ‎ ‎（2）中位数，如果样本容量是奇数个，中间数即为中位数；如果样本容量是偶数个，中间两个数的平均数即为中位数．‎ ‎（3）众数是一组数据中出现次数最多的数据．‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 7 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图以及已知中输入可得：进入循环的条件为，即，模拟程序的运行结果，即可得到输出的值．‎ ‎【详解】当时， ‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，退出循环，输出 故选C ‎【点睛】本题考查了读程序框图，此题是循环结构，属于基础题．‎ ‎6.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则 （ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出抛物线的焦点，‎ 再由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得求解即可．‎ ‎【详解】由抛物线，所以抛物线的焦点为，‎ 又因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，‎ 所以 解得或（舍去） ‎ ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题．‎ ‎7.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得双曲线的标准方程，结合双曲线的离心率，求得双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】依题意可得，故双曲线的焦点在轴上，设双曲线的半焦距为，则，解得，故双曲线的渐近线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的渐近线的求法，考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.由于题目所给条件中的和双曲线标准方程中的不一样，解题过程中要注意区分清楚.‎ ‎8.甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型概率求解其概率值即可 ‎【详解】由题意可得甲的平均数：‎ 被污损的数字设为，则乙的平均数为： ‎ 满足题意时，，即，解得 ‎ 即可能的取值为，‎ 由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为： ‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读、平均数的计算方法、古典概型概率计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎9.已知曲线和直线为非零实数）在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项．‎ ‎【详解】A选项中，直线的斜率大于，故系数的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；‎ B选项中，直线的斜率小于，故系数的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；‎ C选项中，直线的斜率为正，故系数的符号相反且正，负，此时曲线应是焦点在轴上的双曲线，图形符合结论，可选；‎ D选项中，直线的斜率小于，故系数的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是根据直线的位置关系判断出两个参数的符号，以此确定曲线的类型，再结合选项中图形的形状，得出正确答案．‎ ‎10.抛物线y2=4x的焦点为F，点A（3，2），P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求周长的最小值，即求的最小值，设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，即可求出的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】由抛物线为可得焦点坐标，准线方程为：，‎ 由题可知求周长的最小值，即求的最小值，‎ 设点在准线上的射影为点，则根据抛物线的定义，可知，‎ 因此求的最小值即求的最小值，‎ 根据平面几何知识，当、、三点共线时，最小，‎ 所以 又因为，‎ 所以周长的最小值为，‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，简单性质的应用，判断出、、三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题．‎ ‎11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数；最后再根据统计数来估计的值.假如统计结果是，那么可以估计（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由实验结果知对之间的均匀随机数，对应区域的面积为，两个数能与构成钝角三角形三边的数对，满足且都小于，，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，对都小于的正实数对，对应区域的面积为，两个数能与构成钝角三角形三边的数对，满足 ，面积为，‎ 因为统计两数能与构成钝角三角形的数对的个数，‎ 设阴影部分的面积为： ，构成样本的总区域面积为： ‎ ‎，所以 ‎ ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查几何概型，关键是构造出样本空间，，利用几何概型概率公式可得概率，而估值法就是把题中的频率看成概率，从而建立等量关系，得到估值．‎ ‎12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，‎ ‎∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，‎ 设PA的倾斜角为，则，‎ 当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，‎ 设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，‎ ‎∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），‎ ‎∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．‎ 故选B．‎ 点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义和抽取方法，求得样本间隔，进行抽取，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生，其样本间隔为，‎ 因为在33～48这16个数中取的数是39，‎ 所以从33～48这16个数中取的数是第3个数，‎ 所以第1组1～16中随机抽到的数是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的概念和抽取的方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14.已知样本的平均数是，标准差是，则的值为 ‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：样本的平均数是，标准差是 所以 ‎15.已知点分别是椭圆左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆可得椭圆的左焦点，右焦点，过作倾斜角为的直线，可得直线 的方程为，设，，与椭圆的方程联立化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可求解．‎ ‎【详解】由椭圆可得椭圆的左焦点、右焦点，‎ 直线方程为，‎ 设，，‎ 联立，化为，‎ ‎，，‎ ‎ ‎ ‎ 点到直线的距离 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式，属于中档题．‎ ‎16.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当此直线绕焦点旋转时，弦中点的轨迹方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出，进而根据直线方程求得，进而求得焦点弦的中点坐标的表达式，消去参数，则焦点弦的中点轨迹方程可得．‎ ‎【详解】由题意知抛物线焦点，‎ 当直线的斜率存在时，设为，则焦点弦方程为，代入抛物线方程 得，‎ 由题意知斜率不等于，‎ ‎ 方程是一个一元二次方程，由韦达定理： ‎ ‎ 所以中点横坐标： ‎ 代入直线方程，则中点纵坐标：，即中点为 ‎ ‎ 消参数，得其方程为 ‎ 当直线的斜率不存在时，直线的中点是，符合题意，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查动点的轨迹方程，解此题时注意讨论直线的斜率存在与否，属于中档题．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，‎ 若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；‎ 若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．‎ ‎【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的 其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件 所以点落在区域内的概率为 ‎（2），表示如图的正方形区域，易得面积为 若方程有两个不同实数根，即，解得 为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为 则方程有两个不同实数根的概率 ‎【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．‎ ‎18.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.‎ ‎（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出命题的等价条件，根据“”是真命题，即可求出实数的取值范围．‎ ‎（2）若“”为假命题，“”为真命题，则只有一个为真命题，即可求实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为,不等式恒成立，‎ 所以，解得，又“”是真命题等价于“”是假命题．‎ 所以所求实数的取值范围是 ‎ ‎（2）方程表示焦点在轴上的椭圆， ‎ ‎ “”为假命题，“”为真命题，‎ 一个为真命题，一个为假命题，‎ 当真假时， 则，此时无解． ‎ 当假真时，则，此时或 ‎ ‎ 综上所述，实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎19.某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：‎ 单价（元）‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 销量（册）‎ ‎61‎ ‎56‎ ‎50‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：‎ ‎（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？‎ 附：，，，.‎ ‎【答案】(1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到 ‎（2）计算利润为：计算最大值.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以对的回归直线方程为：．‎ ‎（2）设获得的利润为，‎ ‎，‎ 因为二次函数的开口向下，‎ 所以当时，取最大值，‎ 所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润．‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎20.年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：‎ 满意度评分 低于60分 ‎60分到79分 ‎80分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有人．‎ ‎(1)求频率分布于直方图中的值，及评分等级不满意的人数；‎ ‎(2)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) ，120人；(2)能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图小矩形的面积之和为“‎1”‎即可求出值；不满意的人数为：‎ 总人数不满意频率即可求解．‎ ‎（2）由频率分布直方图：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图知，‎ ‎ ‎ 由解得，‎ 设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人.‎ 不满意的频率为，所以共有人，‎ 即不满意的人数为120人. ‎ ‎（2）所选样本满意程度的平均得分为：‎ ‎，‎ 估计市民满意程度的平均得分为，‎ 所以市民满意指数为，‎ 故该项目能通过验收.‎ ‎【点睛】本题考查由频率分布直方图求样本容量、频数以及平均数，属于基础题．‎ ‎21.抛物线的焦点为F，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足．‎ ‎(1)求直线l的斜率；‎ ‎(2)设点在线段上运动，原点关于点对称点为，求四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】(1)； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，设直线方程为，代入抛物线方程，由韦达定理知：，，由，，联立求解，即可求出直线l的斜率． ‎ ‎（2）由(1)知： ‎ 四边形的面积等于，又 代入化简可得，即可求出四边形的面积的最小值．‎ ‎【详解】（1）依题意，设直线方程为，‎ 则 ，消去得，‎ 设，，由韦达定理可得 ‎，，①‎ ‎， ‎ ‎ 因为，所以，② ‎ 联立①和②，消去得，‎ 所以斜率为正的直线l的斜率是 ‎ ‎（2）‎ ‎ 由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线l的距离相等，所以四边形的面积等于，‎ 因为 ‎ ‎ ‎ 所以，四边形的面积的最小值．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，是解析几何中的常见题型，属于中档题．‎ ‎22.已知椭圆，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(1)若线段的中点坐标为，求直线的方程；‎ ‎(2)若直线过点，点满足（分别是直线的斜率），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据点差法求出直线斜率，由点斜式即可写出直线的方程；‎ ‎（2）设出直线的方程，以及，，将转化为和，‎ 有关的等式，联立直线方程和椭圆方程，求出，，代入上述等式，化简即可求出的值．‎ ‎【详解】（1）设，，由点都在椭圆上，‎ 故，则 故直线的方程为 ‎（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，‎ 则 即①‎ 联立，则 将其代入①得 故的值为 ‎【点睛】本题主要考查了点差法的应用，以及利用直线与椭圆的位置关系解决和定点有关的问题，意在考查学生的数学计算能力．‎