数学理卷·2017届黑龙江省大庆市高三第三次教学质量检测（2017

数学理卷·2017届黑龙江省大庆市高三第三次教学质量检测（2017

黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测（三模）‎ 数学（理）试题 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 设为等差数列的前项和，若，则首项（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 在区间内随机取两个数分别为，则使得方程有实根的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 给出下列四个命题：①若，则或；‎ ‎②,都有；‎ ‎③若是实数，则是的充分不必要条件；‎ ‎④“” 的否定是“” ；‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知等比数列的公比，则的前项和（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 ‎ C. 向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎9. 在平行四边形中，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知点分别为双曲线的右焦点与右支上的一点，为坐标原点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知，则 ．‎ ‎14. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为 ．‎ ‎15. 某校高三年级要从名男主和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是 ．‎ ‎16. 巳知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则 的大小关系是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知在中，角的对边分别为,且. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎18. 五一期间，某商场决定从种服装、种家电、种日用品中，选出种商品进行促销活动.‎ ‎（1）试求选出种商品中至少有一种是家电的概率；‎ ‎（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高元，规定购买该商品的顾客有次抽奖的机会: 若中一次奖，则获得数额为元的奖金；若中两次奖，则获得数额为元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 元的奖金. 假设顾客每次抽奖中奖的概率都是，请问: 商场将奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面, 是直角梯形，，且是的中点.‎ ‎（1）求证: 平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于不同的两点，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）设是曲线图象上的两个相异的点，若直线的斜率恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设函数有两个极值点且,若恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 将圆为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.‎ ‎（1）求出的普通方程；‎ ‎（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）设，试比较与的大小.‎ 理科数学 参考答案：(请各位阅卷教师核对答案和评分标准后，再开始阅卷）‎ 一． ‎ 二．13．2 14． 15． 16． ‎ ‎17．解： ‎ ‎（1）由，‎ 应用余弦定理，可得 ‎ ‎ 化简得则 ‎ ‎（2）‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一.,‎ 则 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ 又 ‎ 得，‎ 又因为，当且仅当时“”成立。‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知 综上 ‎ ‎18．解：⑴设选出的 种商品中至少有一种是家电为事件A，从 种服装、 种家电、 种日用品中，选出 种商品，一共有种不同的选法，‎ 选出的 种商品中，没有家电的选法有种， ‎ 所以，选出的 种商品中至少有一种是家电的概率为 ‎ ‎⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为0，，，.（单元：元），‎ 表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以，‎ 同理;‎ ‎;‎ ‎; ‎ 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 ‎， ‎ 由，解得，‎ 所以最高定为元，才能使促销方案对商场有利. ‎ ‎19.解： （1）平面平面 ,‎ ‎ ，‎ ‎，∴AC又平面， ‎ 平面平面平面． ‎ ‎(2)如图，以 为原点，为中点）、‎ 分别为 轴、 轴、 轴正向，建立空间直角坐标系，则．‎ 设，则 ，取为面的法向量． ‎ 设为面的法向量，则，‎ 即取，则，则，‎ 依题意，，则．‎ 于是．‎ 设直线 与平面所成角为 ，‎ 则 . ‎ 20． 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为．‎ 则， ‎ 解得：椭圆方程为，‎ ‎（Ⅱ）设，不妨，设的内切圆的半径，‎ 则的周长为因此最大，‎ 就最大， ‎ 由题知，直线 的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，‎ 得 .‎ 则，‎ 令，可知，则 ，‎ 令，则，当时，，在上单调递增，有， ‎ 即当时，，这时所求内切圆面积的最大值为．‎ 故直线内切圆面积的最大值为.‎ ‎ 21. 解：（1），‎ 令或，‎ ‎ 的单调增区间为；单调减区间为.‎ （2） 即，所以，‎ 令在上单调递增，‎ ‎ ∴，对恒成立，‎ ‎ ,对恒成立，‎ 又 ，当时取等号，‎ ‎，故.‎ ‎（3），因为函数有两个极值点，所以是方程的两个根，即，所以是方程的两个根，‎ 所以有， ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则，设，‎ ‎∴， ‎ ‎∴在上单减，∴，‎ 故. ‎ ‎22.解 ：(1)设为圆上的任意一点，在已知的变换下变为上的点，‎ 则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2) ‎ 解得： ‎ 所以则线段的中点坐标为，所求直线的斜率，于是所求直线方程为.‎ 化为极坐标方程得：，即 ‎23解：‎ ‎（1） ‎ 得或或，解得或或，‎ 所以不等式的解集为． ‎ ‎（2）由（1）易知，所以．由于．‎ 且，所以，即，‎ 所以.‎