数学理卷·2018届辽宁省凌源二中高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省凌源二中高三上学期期末考试（2018

辽宁省凌源市2018届高三上学期期末考试 数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.已知实数满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品的数量分别为：460,350,190.现在用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，下列说法正确的是（ ）‎ A.甲抽取样品数为48‎ B.乙抽取样品数为35‎ C.丙抽取样品数为21‎ D.三者中甲抽取的样品数最多，乙抽取的样品数最少 ‎4.“直线的倾斜角大于”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆(为坐标圆点）被曲线分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知正项等比数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.记表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A．4 B．5 C.6 D．7‎ ‎8.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线与拋物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知直线截圆所得的弦长为，点在圆 上，且直线过定点，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.已知函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知关于的不等式的解集中只有两个整数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中，含的项的系数为 ．‎ ‎14.已知函数，当时，函数的最小值与最大值之和为 ．‎ ‎15.已知实数满足则的最小值为 ．‎ ‎16.已知数列满足，若，则数列的首项的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知中，角所对的边分别是，的面积为，且,.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.‎ 最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.‎ ‎（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；‎ ‎（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.‎ ‎19.已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是的中点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若平面，且，求的值.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，且. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设，若，对任意成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于两点，为曲线上的动点，求面积的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知 .‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，证明：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BABBB 6-10: CCDAD 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（I )因为，得,得，‎ 有，故为锐角.‎ 又由，所以.‎ 又为锐角.所以,故，故.‎ 故 ‎.‎ ‎（2），所以，得①.‎ ‎∵，∴.‎ ‎ 在中，由正弦定理，得，即，得②.‎ 联立①②，解得.‎ ‎18.解：（1）记“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人“经常骑共享单车出行”为事件，则 .‎ ‎（2）显然的取值为0,1,2,3,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 故随机变量的分布列为 的数学期望.‎ ‎19.解：（1）设,则为底面正方形中心，连接,‎ 因为为正四梭锥.所以平面,所以.‎ 又,且,所以平面;‎ 因为平面,故.‎ ‎（2）作出点如图所示，连接.因为两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系.‎ 设,所以.‎ 设,其中,则,‎ 所以,‎ 设平面的法向量为，又，‎ 所以,即，‎ 所以,令,所以 因为平面，所以，‎ 即.解得,所以.‎ ‎20.解：（I )依题意，解得，故椭圆的方程为；‎ ‎（2）依题意，椭圆右焦点坐标为，设直线，‎ 直线与椭圆方程联立 化简并整理得，‎ ‎∴，‎ 由题设知直线的方程为，‎ 令得，∴点；‎ 故 ‎(当且仅当即时等号成立)‎ ‎∴的面积存在最大值，最大值为1. ‎ 21. 解：（1）依题意，，‎ 令,解得,故函数的单调增区间为； ‎ ‎（2）当时，对任意的都有；‎ 当时，对任意的，都有；‎ 故对成立，或对恒成立.‎ 而，设函数.‎ 则对恒成立，或对恒成立，， ‎ ‎①当时，∵，∴，∴恒成立，‎ 所以在上递增，，故在上恒成立，符合题意. ‎ ‎②当时，令得，令得，‎ 故在上递减，所以 而，设函数，‎ 则，∵恒成立，‎ ‎∴在上递增，恒成立，‎ ‎∴在上递增，恒成立.‎ 即，而不合题意. ‎ 综上①②，故实数的取值范围为. ‎ ‎22.解：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.‎ ‎（2）联立圆与直线的方程，‎ 可求两曲线交点坐标分别为，则，‎ 又到的距离，‎ 当时，，‎ 面积最大值为.‎ ‎23.解：（1）由得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴. ‎